专题 8.5 期末满分计划之解答压轴专项训练（30 道） 【苏科版】 1．（2021•沈北新区期末）如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE 拼在一起（图 1），△ABD 不 动． （1）若将△ACE 绕点 A 逆时针旋转，连接 DE，M 是 DE 的中点，连接 MB、MC（图 2），证明：MB ＝MC． （2）若将图 1 中的 CE 向上平移，∠CAE 不变，连接 DE，M 是 DE 的中点，连接 MB、MC（图 3）， 判断并直接写出 MB、MC 的数量关系． （3）在（2）中，若∠CAE 的大小改变（图 4），其他条件不变，则（2）中的 MB、MC 的数量关系还 成立吗？说明理由． 【解题思路】（1）连接 AM，根据全等三角形的对应边相等可得 AD＝AE，AB＝AC，全等三角形对应角 相等可得∠BAD＝∠CAE，再根据等腰三角形三线合一的性质得到∠MAD＝∠MAE，然后利用“边角边” 证明△ABM 和△ACM 全等，根据全等三角形对应边相等即可得证； （2）延长 DB、AE 相交于 E′，延长 EC 交 AD 于 F，根据等腰三角形三线合一的性质得到 BD＝BE′， 然后求出 MB∥AE′，再根据两直线平行，内错角相等求出∠MBC＝∠CAE，同理求出 MC∥AD，根据 两直线平行，同位角相等求出∠BCM＝∠BAD，然后求出∠MBC＝∠BCM，再根据等角对等边即可得证； （3）延长 BM 交 CE 于 F，根据两直线平行，内错角相等可得∠MDB＝∠MEF，∠MBD＝∠MFE，然后 利用“角角边”证明△MDB 和△MEF 全等，根据全等三角形对应边相等可得 MB＝MF，然后根据直角 三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明即可． 【解答过程】证明：（1）如图 2，连接 AM，由已知得△ABD≌△ACE， ∴AD＝AE，AB＝AC，∠BAD＝∠CAE， ∵MD＝ME， ∴∠MAD＝∠MAE， ∴∠MAD﹣∠BAD＝∠MAE﹣∠CAE， 即∠BAM＝∠CAM， �� = �� 在△ABM 和△ACM 中， ∠��� = ∠���， �� = �� ∴△ABM≌△ACM（SAS）， ∴MB＝MC； （2）MB＝MC． 理由如下：如图 3，延长 DB、AE 相交于 E′，延长 EC 交 AD 于 F， ∴BD＝BE′，CE＝CF， ∵M 是 ED 的中点，B 是 DE′的中点， ∴MB∥AE′， ∴∠MBC＝∠CAE， 同理：MC∥AD， ∴∠BCM＝∠BAD， ∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠MBC＝∠BCM， ∴MB＝MC； 解法二：如图 3 中，延长 CM 交 BD 于点 T． ∵EC∥DT， ∴∠CEM＝∠TDM， 在△ECM 和△DTM 中， ∠��� = ∠��� ， �� = �� ∠��� = ∠��� ∴△ECM≌△DTM（ASA）， ∴CM＝MT， ∵∠CBT＝90°， ∴BM＝CM＝MT． （3）MB＝MC 还成立． 如图 4，延长 BM 交 CE 于 F， ∵CE∥BD， ∴∠MDB＝∠MEF，∠MBD＝∠MFE， 又∵M 是 DE 的中点， ∴MD＝ME， 在△MDB 和△MEF 中， ∠��� = ∠��� ∠��� = ∠��� ， �� = �� ∴△MDB≌△MEF（AAS）， ∴MB＝MF， ∵∠ACE＝90°， ∴∠BCF＝90°， ∴MB＝MC． 2．（2021 秋•梁园区期末）如图 1 是 3×3 的正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使涂黑后的整个图案 是轴对称图形，（要求：绕正方形 ABCD 的中心旋转能重合的图案都视为同一种图案，例如图 2 中的两 幅图就视为同一种图案），请在图 3 中的四幅图中完成你的设计． 【解题思路】根据轴对称的性质画出图形即可． 【解答过程】解：如图所示． 3．（2021•昌平区期末）（1）如图 1，在四边形 ABCD 中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F 分别是边 1 BC、CD 上的点，且∠EAF= 2∠BAD．求证：EF＝BE+FD； （2）如图 2，在四边形 ABCD 中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F 分别是边 BC、CD 上的点，且∠ 1 EAF= 2∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图 3，在四边形 ABCD 中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F 分别是边 BC、CD 延长线上的 1 点，且∠EAF= ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间 2 的数量关系，并证明． 【解题思路】（1）可通过构建全等三角形来实现线段间的转换．延长 EB 到 G，使 BG＝DF，连接 AG．目 的就是要证明三角形 AGE 和三角形 AEF 全等将 EF 转换成 GE，那么这样 EF＝BE+DF 了，于是证明两 组三角形全等就是解题的关键．三角形 ABE 和 AEF 中，只有一条公共边 AE，我们就要通过其他的全等 三角形来实现，在三角形 ABG 和 AFD 中，已知了一组直角，BG＝DF，AB＝AD，因此两三角形全等， 1 那么 AG＝AF，∠1＝∠2，那么∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠EAF= 2∠BAD．由此就构成了三角形 ABE 和 AEF 全等的所有条件（SAS），那么就能得出 EF＝GE 了． （2）思路和作辅助线的方法与（1）完全一样，只不过证明三角形 ABG 和 ADF 全等中，证明∠ABG＝ ∠ADF 时，用到的等角的补角相等，其他的都一样．因此与（1）的结果完全一样． （3）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在 BE 上截取 BG，使 BG＝DF，连接 AG．根据（1）的证法，我们可得出 DF＝BG，GE＝EF，那么 EF＝GE＝BE﹣BG＝BE ﹣DF．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的． 【解答过程】证明：（1）延长 EB 到 G，使 BG＝DF，连接 AG． ∵∠ABG＝∠ABC＝∠D＝90°，AB＝AD， ∴△ABG≌△ADF． ∴AG＝AF，∠1＝∠2． 1 ∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠EAF= ∠BAD． 2 ∴∠GAE＝∠EAF． 又∵AE＝AE， ∴△AEG≌△AEF． ∴EG＝EF． ∵EG＝BE+BG． ∴EF＝BE+FD （2）（1）中的结论 EF＝BE+FD 仍然成立． （3）结论 EF＝BE+FD 不成立，应当是 EF＝BE﹣FD． 证明：在 BE 上截取 BG，使 BG＝DF，连接 AG． ∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠ADF． ∵AB＝AD， ∴△ABG≌△ADF． ∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF． ∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD 1 ＝∠EAF= ∠BAD． 2 ∴∠GAE＝∠EAF． ∵AE＝AE， ∴△AEG≌△AEF． ∴EG＝EF ∵EG＝BE﹣BG ∴EF＝BE﹣FD． 4．（2021 春•杨浦区期末）已知在△ABC 与△CDE 中，AB＝CD，∠B＝∠D，∠ACE＝∠B，点 B、C、D 在同一直线上，射线 AH、EI 分别平分∠BAC、∠CED． （1）如图 1，试说明 AC＝CE 的理由； （2）如图 2，当 AH、EI 交于点 G 时，设∠B＝α，∠AGE＝β，求β与α的数量关系，并说明理由； （3）当 AH∥EI 时，求∠B 的度数． 【解题思路】（1）由∠ACD＝∠ACE+∠ECD＝∠A+∠B，∠B＝∠ACE，可得∠A＝∠ECD．再结合已 知用 ASA 可证明△ABC≌△CDE，从而 AC＝CE； （2）连接 GC 并延长至点 K．因为 AH、EI 分别平分∠BAC、∠DEC，则设∠CAH＝∠BAH＝a，∠CEI ＝∠DEI＝b，由三角形外角关系可得∠ACK＝a+∠AGC，∠ECK＝b+∠EGC，所以∠ACE＝∠ACK+∠ ECK＝α＝（a+∠AGC）+（b+∠EGC）＝a+b+β，即 a+b＝α﹣β．又由（1）中结论可知∠ECD＝∠BAC ＝2a，根据三角形内角和公式可得∠ECD+∠DEC+∠D＝180°，即 2a+2b+α＝180°，可得 3α﹣2β＝ 180°； （3）当 AH∥EI 时，过点 C 作 MN∥AH，则 MN∥AH∥EI．易证∠ACE＝∠ACM+∠ECM，即α＝a+b．在 △CED 中，根据三角形内角和定理有 2a+2b+α＝180°，解得α＝60°，故∠B＝60°． 【解答过程】（1）证明：∵∠ACD＝∠ACE+∠ECD＝∠A+∠B， 又∠B＝∠ACE， ∴∠A＝∠ECD． 在△ABC 和△CDE 中， ∠� = ∠� �� = �� ， ∠� = ∠��� ∴△ABC≌△CDE（ASA）． ∴AC＝CE． （2）解：3α﹣2β＝180°．理由如下： 如图 1 所示，连接 GC 并延长至点 K． ∵AH、EI 分别平分∠BAC、∠DEC， 则设∠CAH＝∠BAH＝a，∠CEI＝∠DEI＝b， ∵∠ACK 为△ACG 的外角， ∴∠ACK＝a+∠AGC， 同理可得∠ECK＝b+∠EGC， ∴∠ACE＝∠ACK+∠ECK＝∠B＝α ＝（a+∠AGC）+（b+∠EGC）＝a+b+∠AGE＝a+b+β， 即α＝a+b+β， ∴a+b＝α﹣β． 又由（1）中证明可知∠ECD＝∠BAC＝2a， 由三角形内角和公式可得∠ECD+∠DEC+∠D＝180°， 即 2a+2b+α＝180°， ∴2（a+b）+α＝180°， ∴3α﹣2β＝180°． （3）当 AH∥EI 时，如图 2 所示， 过点 C 作 MN∥AH，则 MN∥AH∥EI． ∴∠CAH＝∠ACM＝a，∠CEI＝∠ECM＝b， ∴∠ACE＝∠ACM+∠ECM＝a+b＝α，即α＝a+b． 由（1）中证明可得∠ECD＝∠BAC＝2a，∠D＝∠B＝α． 在△CED 中，根据三角形内角和定理有∠ECD+∠CED+∠D＝180°， 即 2a+2b+α＝180°， 即 2（a+b）＝180°﹣α， 即 3α＝180°，解得：α＝60°． 故∠B＝60°． 5．（2021 秋•大安市期末）已知：如图，在△ABC 中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE． 求证：AC﹣AB＝2BE． 【解题思路】延长 BE 交 AC 于 M，利用三角形内角和定理，得出∠3＝∠4，AB＝AM，∴AC﹣AB＝AC ﹣AM＝CM． 再利用∠4 是△BCM 的外角，再利用等腰三角形对边相等，CM＝BM 利用等量代换即可求证． 【解答过程】证明：延长 BE 交 AC 于 M ∵BE⊥AE， ∴∠AEB＝∠AEM＝90° 在△ABE 中， ∵∠1+∠3+∠AEB＝180°， ∴∠3＝90°﹣∠1 同理，∠4＝90°﹣∠