专题 6.5 一次函数与方程、不等式的关系-重难点题型 【苏科版】 【知识点 1 一次函数与一元一次方程、不等式的关系】 1. 任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b 为常数，k≠0）的形式． 而一次函数解析式形式正是 y=kx+b（k、b 为常数，k≠0）．当函数值为 0 时，即 kx+b=0 就与一元一次方 程完全相同． 结论：由于任何一元一次方程都可转化为 kx+b=0（k、b 为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以 转化为：当一次函数值为 0 时，求相应的自变量的值． 从图象上看，这相当于已知直线 y=kx+b 确定它与 x 轴交点的横坐标值． 2.解一元一次不等式可以看作：当一次函数的函数值大（小）于 0 时，求自变量相应的取值范围. 【题型 1 一次函数的与一元一次方程】 【例 1】（2020 秋•包河区期中）根据一次函数 y＝kx+b 的图象，直接写出下列问题的答案： （1）关于 x 的方程 kx+b＝0 的解； （2）代数式 k+b 的值； （3）关于 x 的方程 kx+b＝﹣3 的解． 【解题思路】（1）利用函数图象写出函数值为 0 时对应的自变量的值即可； （2）利用函数图象写出 x＝1 时对应的函数值即可 （3）利用函数图象写出函数值为﹣3 时对应的自变量的值即可． 【解答过程】解：（1）当 x＝2 时，y＝0， 所以方程 kx+b＝0 的解为 x＝2； （2）当 x＝1 时，y＝﹣1， 所以代数式 k+b 的值为﹣1； （3）当 x＝﹣1 时，y＝﹣3， 所以方程 kx+b＝﹣3 的解为 x＝﹣1． 1 【变式 1-1】（2021 秋•泰兴市校级期末）已知一次函数 y＝kx+1 与 y=− 2x+b 的图象相交于点（2，5），求 关于 x 的方程 kx+b＝0 的解． 【解题思路】首先将（2，5）点代入一次函数解析式求出 k，b 的值，进而解方程得出答案． 1 【解答过程】解：∵一次函数 y＝kx+1 与 y=− x+b 的图象相交于点（2，5）， 2 1 ∴5＝2k+1，5=− ×2+b， 2 解得：k＝2，b＝6， 则 kx+b＝0 为：2x+6＝0， 解得：x＝﹣3． 【变式 1-2】一次函数 y＝kx+b（k，b 为常数，且 k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于 x 的方 程 kx+b＝4 的解为多少？ 【解题思路】先求出函数的解析式，再把 y＝4 代入，即可求出 x． 【解答过程】解：把（0，1）和（2，3）代入 y＝kx+b 得： �=1 ， 2� + � = 3 解得：k＝1，b＝1， 即 y＝x+1， 当 y＝4 时，x+1＝4， 解得：x＝3， ∴方程 kx+b＝4 的解为 x＝3． 【变式 1-3】已知一次函数 y＝kx﹣6 的图象如图 （1）求 k 的值； （2）在图中的坐标系中画出一次函数 y＝﹣3x+3 的图象（要求：先列表，再描点，最后连线）； （3）根据图象写出关于 x 的方程 kx﹣6＝﹣3x+3 的解． 【解题思路】（1）将点（4，0）代入 y＝kx﹣6，利用待定系数求出 k 的值； （2）利用描点法画出一次函数 y＝﹣3x+3 的图象； （3）根据图象写出它们的交点坐标，即可得到关于 x 的方程 kx﹣6＝﹣3x+3 的解． 【解答过程】解：（1）∵一次函数 y＝kx﹣6 的图象过点（4，0）， ∴4k﹣6＝0， 3 ∴k= 2； （2）列表： 描点：在平面直角坐标系中描出两点（0，3）、（1，0）， 连线：过点（0，3）、（1，0）画直线，得出一次函数 y＝﹣3x+3 的图象； （3）一次函数 y＝kx﹣6 与 y＝﹣3x+3 的图象交于点（2，﹣3）， 则关于 x 的方程 kx﹣6＝﹣3x+3 的解为 x＝2． 【题型 2 一次函数的与一元一次不等式（数形结合）】 【例 2】（2021 春•高明区期末）一次函数 y1＝ax+b 与 y2＝cx+d 的图象如图所示，下列说法：①对于函数 y1＝ax+b 来说，y 随 x 的增大而增大；②函数 y＝ax+d 不经过第二象限；③不等式 ax﹣d≥cx﹣b 的解 1 集是 x≥4；④a﹣c= （d﹣b），其中正确的是（ 4 A．①②③ B．①③④ ） C．②③④ D．①②④ 【解题思路】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题． 【解答过程】解：由图象可得， 对于函数 y＝ax+b 来说，y 随 x 的增大而增大，故①正确； a＞0，d＞0，则函数 y＝ax+d 经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故②不正确； 由 ax﹣d≥cx﹣b 可得 ax+b≥cx+d，故不等式 ax﹣d≥cx﹣b 的解集是 x≥4，故③正确； 1 4a+b＝4c+d 可以得到 a﹣c= 4（d﹣b），故④正确； 故选：B． 【变式 2-1】（2021•安徽模拟）已知一次函数 y1＝kx+3（k 为常数，且 k≠0）和 y2＝x﹣3．当 x＜2 时，y1 ＞y2，则 k 的取值范围是（ ） A．﹣2≤k≤1 且 k≠0 B．k≤﹣2 C．k≥1 D．﹣2＜k＜1 且 k≠0 6 【解题思路】解不等式 kx+3＞x﹣3，根据题意得出 k﹣1＜0 且− �−1 ≥2 且 k≠0，解此不等式即可． 【解答过程】解：∵一次函数 y1＝kx+3（k 为常数，且 k≠0）和 y2＝x﹣3，当 x＜2 时，y1＞y2， ∴kx+3＞x﹣3， ∴kx﹣x＞﹣6， ∴k﹣1＜0 且− 6 ≥2 且 k≠0， �−1 6 当 k﹣1＜0 时，− �−1 ≥2 时，k≥﹣2， 所以不等式组的解集为﹣2≤k＜1 且 k≠0； 当 k＝1 时，也成立， 故 k 的取值范围是﹣2≤k≤1 且 k≠0， 故选：A． 【变式 2-2】（2021 春•盐湖区校级期末）我们知道，若 ab＞0．则有 �＞0 �＞0 或 �＜0 �＜ 0 ．如图，直线 y＝kx+b 与 y＝mx+n 分别交 x 轴于点 A（﹣0.5，0）、B（2，0），则不等式（kx+b）（mx+n）＞0 的解集是（ A．x＞2 B．﹣0.5＜x＜2 C．0＜x＜2 D．x＜﹣0.5 或 x＞2 【解题思路】由若不等式（kx+b）（mx+n）＞0，则 据函数图象求得解集． 【解答过程】解：∵若 ab＞0．则有 �＞0 �＜0 或 ， �＞0 �＜ 0 ∴若不等式（kx+b）（mx+n）＞0，则 �� + �＞0 �� + �＞0 或 �� + �＞0 �� + �＜0 或 ，然后分类讨论，分别根 �� + �＞0 �� + �＜0 �� + �＜0 ． �� + �＜0 当 �� + �＞0 ，由图得： �＜ − 0.5 ，此时该不等式无解． 当 �� + �＜0 ，由图得： �＞ − 0.5 ，此时不等式组的解集为﹣0.5＜x＜2． �� + �＞0 �� + �＜0 综上：﹣0.5＜x＜2． �＞2 �＜2 ） 故选：B． 【变式 2-3】（2021 春•中山市期末）一次函数 y1＝ax+b 与 y2＝cx+d 的图象如图所示，下列说法： ①对于函数 y1＝ax+b 来说，y 随 x 的增大而减小； ②函数 y＝ax+d 的图象不经过第一象限； ③不等式 ax+b＞cx+d 的解集是 x＞3； ④d﹣b＝3（a﹣c）． 其中正确的有（ ） A．①③ B．②③④ C．①②④ D．②③ 【解题思路】仔细观察图象：①根据函数图象直接得到结论； ②观察函数图象可以直接得到答案； ③以两条直线的交点为分界，哪个函数图象在上面，则哪个函数值大； ④根据两直线交点可以得到答案． 【解答过程】解：由图象可得：对于函数 y1＝ax+b 来说，y 随 x 的增大而减小，故①说法正确； 由于 a＜0，d＜0，所以函数 y2＝ax+d 的图象经过第二，三，四象限，即不经过第一象限，故②说法正 确， 由图象可得当 x＜3 时，一次函数 y1＝ax+b 图象在 y2＝cx+d 的图象上方， ∴ax+b＞cx+d 的解集是 x＜3，故③说法不正确； ∵一次函数 y1＝ax+b 与 y2＝cx+d 的图象的交点的横坐标为 3， ∴3a+b＝3c+d ∴3a﹣3c＝d﹣b， ∴d﹣b＝3（a﹣c）．故④说法正确， 故选：C． 【题型 3 一次函数的与一元一次不等式（取值范围）】 【例 3】（2021 春•海淀区期末）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：y1＝x+1 与直线 l2：y2＝2x﹣2 交于点 A． （1）求点 A 的坐标； （2）当 y1＞y2 时，直接写出 x 的取值范围； （3）已知直线 l3：y3＝kx+1，当 x＜3 时，对于 x 的每一个值，都有 y3＞y2，直接写出 k 的取值范围． 【解题思路】（1）由直线 l：y1＝x+1 与直线 l2：y2＝2x﹣2 交于点 A，故可联立方程组： 得 �=3 ，故 A（3，4）． �=4 � = � + 1， � = 2� − 2． （2）根据函数图象，可知：当 y1＞y2 时，x＜3． （3）当 x＜3 时，对于 x 的每一个值，都有 y3＞y2，故当 x＜3，y3﹣y2＞0 恒成立，得 1≤k≤2． 【解答过程】解：（1）由题意得： 解得： � = 3， � = � + 1， � = 2� − 2． � = 4． ∴A（3，4）． （2）如图，当 y1＞y2 时，x＜3． （3）当 x＜3，y3＞y2 恒成立，则 x＜3，y3﹣y2＞0 恒成立． ∵y3＝kx+1，y2＝2x﹣2， ∴y3﹣y2＝（kx+1）﹣（2x﹣2）＝（k﹣2）x+3． ∴若 x＜3，y3﹣y2＞0 恒成立，则[（k﹣2）x+3]min＞0． 当 k﹣2＝0，即 k＝2，[（k﹣2）x+3]min＝3＞0． 当 k﹣2＞0，即 k＞2，[（k﹣2）x+3]min 不存在． 当 k﹣2＜0，即 k＜2，[（k﹣2）x+3]min＝3（k﹣2）+3≥0，故 k≥1． 综上：1≤k≤2． 【变式 3-1】（2021 春•茌平区期末）已知：如图一次函数 y1＝﹣x﹣2 与 y2＝x﹣4 的图象相交于点 A． （1）求点 A 的坐标； （2）若一次函数 y1＝﹣x﹣2 与 y2＝x﹣4 的图象与 x 轴分别相交于点 B、C，求△ABC 的面积． （3）结合图象，直接写出 y1≥y2 时 x 的取值范围． 【解题思路】（1）将两个函数的解析式联立得到方程组 � =− � − 2 ，解此方程组即可求出点 A 的坐标； �=�−4 （2）先根据函数解析