专题 6.6 一次函数章末重难点突破 【苏科版】 【考点 1 函数的概念】 【例 1】（2021 秋•余杭区期中）下列说法不正确的是（ ） A．正方形面积公式 S＝a2 中有两个变量：S，a B．圆的面积公式 S＝πr2 中的π是常量 C．在一个关系式中，用字母表示的量可能不是变量 D．如果 a＝b，那么 a，b 都是常量 【解题思路】根据自变量与常量、因变量的定义解答． 【解答过程】解：A、正方形面积公式 S＝a2 中有两个变量：S，a，正确； B、圆的面积公式 S＝πr2 中的π是常量，正确； C、在一个关系式中，字母表示的量可能不是变量，正确； D、如果 a＝b，那么 a，b 都是变量，故错误． 故选：D． 【变式 1-1】（2021 春•青县期末）下列曲线中不能表示 y 是 x 的函数的是（ ） A． B． C． D． 【解题思路】设在一个变化过程中有两个变量 x 与 y，对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与其对 应，那么就说 y 是 x 的函数，x 是自变量．由此即可得出结论． 【解答过程】解：当 x 取一个值时，y 有唯一的值与其对应，就说 y 是 x 的函数，x 是自变量． 选项 C 中的曲线，当 x 取一个值时，y 的值可能有 2 个，不满足对于自变量的每一个确定的值，函数值 有且只有一个值与之对应． 故 C 中曲线不能表示 y 是 x 的函数， 故选：C． 【变式 1-2】（2021 春•红谷滩区校级期末）下面每个选项中给出了某个变化过程中的两个变量 x 和 y，其 中 y 不是 x 的函数的选项是（ ） A．y：正方形的面积，x：这个正方形的周长 B．y：某班学生的身高，x：这个班学生的学号 C．y：圆的面积，x：这个圆的直径 D．y：一个正数的平方根，x：这个正数 【解题思路】根据题意对各选项分析列出表达式，然后根据函数的定义分别判断即可得解． 1 1 【解答过程】解：A、y＝（ x）2= 16x2，y 是 x 的函数，故 A 选项错误； 4 B、每一个学生对应一个身高，y 是 x 的函数，故 B 选项错误； 1 1 C、y＝π（ x）2= 4πx2，y 是 x 的函数，故 C 选项错误； 2 D、y＝± �，每一个 x 的值对应两个 y 值，y 不是 x 的函数，故 D 选项正确． 故选：D． 【变式 1-3】（2021 春•栾城区期中）地表以下岩层的温度与它所处的深度有表中的关系： 岩层的深 1 2 3 4 5 6 … 55 90 125 160 195 230 … 度 h/km 岩层的温 度 t/℃ （1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）岩层的深度 h 每增加 1km，温度 t 是怎样变化的？试写出岩层的温度 t 与它的深度 h 之间的关系式； （3）估计岩层 10km 深处的温度是多少． 【解题思路】（1）直接利用常量与变量的关系得出自变量和因变量； （2）利用表格中数据进而得出答案； （3）直接利用（2）中函数关系式得出 t 的值． 【解答过程】解：（1）上表反映了岩层的深度 h（km）与岩层的温度 t（℃）之间的关系； 其中岩层深度 h（km）是自变量，岩层的温度 t（℃）是因变量； （2）岩层的深度 h 每增加 1km，温度 t 上升 35℃， 关系式：t＝55+35（h﹣1）＝35h+20； （3）当 h＝10km 时，t＝35×10+20＝370（℃）． 【题型 2 函数自变量的取值范围】 【例 2】（2021•吴江区一模）函数� = � − 4中，自变量 x 的取值范围为 x≥4 ． 【解题思路】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，据此即可求解． 【解答过程】解：根据题意得 x﹣4≥0， 解得：x≥4． 故答案是：x≥4． 【变式 2-1】（2021•曲靖二模）若整数 x 满足|x|≤4，则使函数 y= 1 − 2�有意义的 x 的值是 0 （只需 填一个）． 【解题思路】根据题意可以求得使得二次根式有意义的 x 满足的条件，又因为整数|x|≤4，从而可以写出 一个符号要求的 x 值． 【解答过程】解：∵y= 1 − 2�， ∴1﹣2x≥0， 1 解得 x≤ ， 2 ∵整数|x|≤4， ∴当 x＝0 时符合要求． 故答案为：0． 【变式 2-2】（2019•椒江区校级二模）函数 y＝1− 2� − 4中自变量 x 的取值范围是 x≥2 ． 【解题思路】根据被开方数大于等于 0 列式计算即可得解 【解答过程】解：根据题意得，2x﹣4≥0 解得 x≥2 故答案为：x≥2． 【变式 2-3】 （2021 春•天心区期末）若函数 y= 2� − 3在实数范围内无意义，则自变量 x 的取值范围是 3 2 x＜ ． 【解题思路】根据二次根式无意义列出不等式，解不等式得到答案． 【解答过程】解：由题意得：2x-3＜0， 3 解得：x＜ ， 2 3 故答案为：x＜ ． 2 【题型 3 一次函数和正比例函数的定义】 【例 3】（2021 春•普陀区校级期中）下列函数中，一次函数是（ A．� = 1 +2 � C．y＝x2+2 ） B．y＝﹣2x D．y＝mx+n（m，n 是常数） 【解题思路】根据一次函数的定义：形如 y＝kx+b（k≠0，k、b 是常数）的函数，叫做一次函数逐一判 断即可． 1 【解答过程】解：A．� = � + 2 右边不是整式，不是一次函数，不符合题意； B．y＝﹣2x 是一次函数，符合题意； C．y＝x2+2 中自变量的次数为 2，不是一次函数，不符合题意； D．y＝mx+n（m，n 是常数）中 m＝0 时，不是一次函数，不符合题意； 故选：B． 【变式 3-1】（2021 春•九龙坡区期中）若 y＝（a﹣2）�� 2 ． 2 −3 +5 是 y 关于 x 的一次函数，则 a 的值为 ﹣ 【解题思路】根据形如 y＝kx+b（k≠0，k、b 是常数）的函数，叫做一次函数可得 a2﹣3＝1，且 a﹣2≠ 0，再解即可． 【解答过程】解：由题意得：a2﹣3＝1，且 a﹣2≠0， 解得：a＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【变式 3-2】（2021 秋•泰兴市校级期中）已知函数 y＝（n﹣3）x+9﹣n2 是正比例函数，则 n＝ ﹣3 ． 【解题思路】根据正比例函数：正比例函数 y＝kx 的定义条件是：k 为常数且 k≠0，可得答案． 【解答过程】解：函数 y＝（n﹣3）x+9﹣n2 是正比例函数，得 9 − �2 = 0 ， �−3≠0 解得 n＝﹣3，n＝3（不符合题意要舍去）． 故答案为：﹣3． 【变式 3-3】（2021 春•洛宁县期中）若函数 y＝mx 2 ． �2 −3 是正比例函数，且图象在二、四象限，则 m＝ ﹣ 【解题思路】依据正比例函数的定义可知 m2﹣3＝1，由正比例函数的性质可知 m＜0，故此可求得 m 的 值． 【解答过程】解：∵函数 y＝mx �2 −3 是正比例函数，且图象在二、四象限， ∴m2﹣3＝1 且 m＜0，解得：m＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【题型 4 一次函数的系数与图象的关系 】 【例 4】（2021 春•雄县期末）若 k＞1，则一次函数 y＝（k﹣1）x+1﹣k 的图象是（ A． B． C． D． ） 【解题思路】判断出 k﹣1、1﹣k 的正负，再根据一次函数的图象与系数的关系，进而判断函数不经过的 象限． 【解答过程】解：∵k＞1， ∴k﹣1＞0，1﹣k＜0， 所以一次函数 y＝（k﹣1）x+1﹣k 的图象可能是： ， 所以，一次函数 y＝（k﹣1）x+1﹣k 的图象不经过第二象限， 故选：A． 【变式 4-1】（2021 秋•莲湖区期中）若 k＜0，则一次函数 y＝﹣2x﹣k 的图象大致是（ A． B． C． D． ） 【解题思路】根据一次函数 y＝﹣2x﹣k 中的﹣2、﹣k 的符号判定该直线所经过的象限． 【解答过程】解：∵k＜0， ∴﹣k＞0， ∴直线 y＝﹣2x﹣k 的图象经过第第一、二、四象限， ∴该直线不经过第三象限； 故选：A． 【变式 4-2】（2021 秋•达川区期末）如图，四个一次函数 y＝ax，y＝bx，y＝cx+1，y＝dx﹣3 的图象如图所 示，则 a，b，c，d 的大小关系是（ ） A．b＞a＞d＞c B．a＞b＞c＞d C．a＞b＞d＞c D．b＞a＞c＞d 【解题思路】根据一次函数图象的性质分析． 【解答过程】解：由图象可得：a＞0，b＞0，c＜0，d＜0， 且 a＞b，c＞d， 故选：B． 【变式 4-3】（2019•杭州）已知一次函数 y1＝ax+b 和 y2＝bx+a（a≠b），函数 y1 和 y2 的图象可能是（ A． B． C． D． ） 【解题思路】根据直线判断出 a、b 的符号，然后根据 a、b 的符号判断出直线经过的象限即可，做出判 断． 【解答过程】解：A、由图可知：直线 y1＝ax+b，a＞0，b＞0． ∴直线 y2＝bx+a 经过一、二、三象限，故 A 正确； B、由图可知：直线 y1＝ax+b，a＜0，b＞0． ∴直线 y2＝bx+a 经过一、四、三象限，故 B 错误； C、由图可知：直线 y1＝ax+b，a＜0，b＞0． ∴直线 y2＝bx+a 经过一、二、四象限，交点不对，故 C 错误； D、由图可知：直线 y1＝ax+b，a＜0，b＜0， ∴直线 y2＝bx+a 经过二、三、四象限，故 D 错误． 故选：A． 【题型 5 一次函数的图象与坐标轴的交点及面积】 【例 5】（2021 秋•攸县校级期中）已知函数 y＝﹣2x+3． （1）画出这个函数的图象； （2）写出这个函数的图象与 x 轴，y 轴的交点的坐标； （3）求此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积． 【解题思路】先写出函数 y＝﹣2x+3 与坐标轴的两个交点的坐标，根据坐标画图．读图、据解析式计算， 问题可求． 【解答过程】解：（1）如图： （ 2 ） 函 数 y ＝ ﹣ 2x+3 与 坐 标 轴 的 两 个 交 点 的 坐 标 （ 0 ， 3 ） ， （ 3 2 ， 0 ） 1 3 9 （3）此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积= 2 ×3× 2 = 4． 1 【变式 5-1】（2021 秋•峄城区期中）作出函数 y= 2x﹣3 的图象并回答以下问题： （1）当 x 的值增大时，y 的值如何变化？ （2）图象与 x 轴，y 轴的交点坐标分别是多少？ （3）求出该图象与 x 轴，y 轴所围成的三角形的面积． 【解题思路】利