专题 6.1 函数-重难点题型 【苏科版】 【知识点 1 函数的概念】 一般地，在某一变化过程中有两个变量 x 与 y，如果给定一个 x 值，相应地就确定了一个 y 值，那么 我们称 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量，y 是因变量。 注意：要判断一个关系式是不是函数，首先看这个变化过程中是否只有两个变量，其次看每一个 x 的 值是否对应唯一确定的 y 值． 【知识点 2 求函数的值】 (1)当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．(2) 函数表达式中只有两个变量，给定一个变量的值，将其代入函数表达式即可求另一个变量的值，即给自变 量的值可求函数值，给函数值可求自变量的值． 【题型 1 常量与变量】 【例 1】如图，等腰直角三角形 ABC 的直角边长与正方形 MNPQ 的边长均为 10cm，AC 与 MN 在同一直线 上，开始时 A 点与 M 点重合，让△ABC 向右运动，最后 A 点与 N 点重合．试写出重叠部分的面积 ycm2 与 MA 的长度 xcm 之间的关系式，并指出其中的常量与变量． 【解题思路】根据图形及题意所述可得出重叠部分是等腰直角三角形，从而根据 MA 的长度可得出 y 与 x 的关系．再根据变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变 的量称为常量可得答案． 【解答过程】解：由题意知，开始时 A 点与 M 点重合，让△ABC 向右运动，两图形重合的长度为 AM＝ x， ∵∠BAC＝45°， ∴S 阴影= 1 1 1 ×AM×h= AM2= �2 ， 2 2 2 1 则 y= x2，0＜x≤10， 2 1 其中的常量为 ，变量为重叠部分的面积 y 与 MA 的长度 x． 2 【变式 1-1】．用同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第 n 个图形的 棋子数 y＝ （用含 n 的代数式表示），其中变量是 ． 【解题思路】解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前 一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论． 【解答过程】解：第一个图需棋子 4； 第二个图需棋子 4+3＝7； 第三个图需棋子 4+3+3＝10； … 第 n 个图需棋子 4+3（n﹣1）＝（3n+1）枚． 其中变量是 n，y． 故答案为：3n+1；y，n． 【变式 1-2】按如图方式摆放餐桌和椅子．用 x 来表示餐桌的张数，用 y 来表示可坐人数． （1）题中有几个变量？ （2）你能写出两个变量之间的关系吗？ 【解题思路】由图形可知，第一张餐桌上可以摆放 6 把椅子，进一步观察发现：多一张餐桌，多放 4 把 椅子．x 张餐桌共有 6+4（x﹣1）＝4x+2． 【解答过程】解：（1）观察图形：x＝1 时，y＝6，x＝2 时，y＝10；x＝3 时，y＝14；… 可见每增加一张桌子，便增加 4 个座位， 因此 x 张餐桌共有 6+4（x﹣1）＝4x+2 个座位． 故可坐人数 y＝4x+2， 故答案为：有 2 个变量； （2）能，由（1）分析可得：函数关系式可以为 y＝4x+2． 【变式 1-3】在烧开水时，水温达到 100℃就会沸腾，下表是某同学做“观察水的沸腾”实验时记录的数据： （1）上表反映了哪两个量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）水的温度是如何随着时间的变化而变化的？ （3）时间推移 2 分钟，水的温度如何变化？ （4）时间为 8 分钟，水的温度为多少？你能得出时间为 9 分钟时，水的温度吗？ （5）根据表格，你认为时间为 16 分钟和 18 分钟时水的温度分别为多少？ （6）为了节约能源，你认为应在什么时间停止烧水？ 【解题思路】（1）在函数中，给一个变量 x 一个值，另一个变量 y 就有对应的值，则 x 是自变量，y 是 因变量，据此即可判断； （2）根据表格中数据得出水的温度变化即可； （3）根据表格中数据得出水的温度变化即可； （4）根据表格中数据得出水的温度，进而可得出时间为 9 分钟时，水的温度； （5）根据表格中数据得出水的温度变化规律即可； （6）根据表格中数据得出答案即可． 【解答过程】解：（1）上表反映了水的温度与时间的关系，时间是自变量，水的温度是因变量； （2）水的温度随着时间的增加而增加，到 100℃时恒定； （3）时间推移 2 分钟，水的温度增加 14 度，到 10 分钟时恒定； （4）时间为 8 分钟，水的温度是 86℃，时间为 9 分钟，水的温度是 93℃； （5）根据表格，时间为 16 分钟和 18 分钟时水的温度均为 100℃； （6）为了节约能源，应在 10 分钟后停止烧水． 【题型 2 判断函数关系】 【例 2】（2021 春•海淀区期末）如图，有一个球形容器，小海在往容器里注水的过程中发现，水面的高度 h、水面的面积 S 及注水量 V 是三个变量．下列有四种说法： ①S 是 V 的函数；②V 是 S 的函数；③h 是 S 的函数，④S 是 h 的函数． 其中所有正确结论的序号是（ A．①③ ） B．①④ C．②③ D．②④ 【解题思路】根据函数的定义可知，满足对于 x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应关系，据此 即可判断函数． 【解答过程】解：因为这是球形容器， ①S 是 V 的函数，故符合题意， ②V 不是 S 的函数，故不符合题意， ③h 不是 S 的函数，故不符合题意， ④S 是 h 的函数．故符合题意． 故选：B． 【变式 2-1】（2021 春•开福区校级月考）下列式子中，y 不是 x 的函数的是（ A．y＝x2 B．y＝|x| C．y＝2x+1 ） D．� =± �（x≥0） 【解题思路】利用函数的定义：给定一个自变量的值，都有唯一确定的函数值与其对应可得答案． 【解答过程】解：A、y＝x2，y 是 x 的函数，故此选项不合题意； B、y＝|x|，y 是 x 的函数，故此选项不合题意； C、y＝2x+1，y 是 x 的函数，故此选项不合题意； D、y＝± �，y 不是 x 的函数，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式 2-2】（2021 春•邯郸期末）下列不能表示 y 是 x 的函数的是（ A． x 0 5 10 15 ） 3 3.5 4 4.5 x 1 3 5 7 y 2 ﹣1 4 0.2 y B． C． D． 【解题思路】根据函数的定义，一个 x 只能对应一个 y，函数的表示方法有列表法，图像法，和解析式法， 根据此定义判断即可． 【解答过程】解：A 和 D 选项是用列表法表示的函数，一个 x 只对应了一个 y， ∴y 是 x 的函数， ∴A 选项，D 选项不合题意， B 选项从图象上看，一个 x 对应了两个 y 的值，不符合函数定义， ∴B 选项符合题意， C 选项是用图象表示的函数关系，一个 x 只对应一个 y， ∴y 是 x 的函数， ∴C 选项不合题意， 故选：B． 【变式 2-3】（2021 春•贵港期末）下列各曲线中能表示 y 不是 x 的函数的是（ A． B． ） C． D． 【解题思路】根据函数的定义判断． 【解答过程】解：根据函数的定义：在一个变化的过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一确 定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，那么 y 是 x 的函数． ∴A、C、D 选项 y 是 x 的函数，但 B 选项中，x 的每一个确定的值，y 有两个值与之对应，那么 B 选项 y 不是 x 的函数． 故选：B． 【题型 3 函数的关系式】 【例 3】（2020 春•兰州期末）如图所示，在一个边长为 12cm 的正方形的四个角都剪去一个大小相等的小 正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化． （1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？ （2）如果小正方形的边长为 xcm，图中阴影部分的面积为 ycm2，请写出 y 与 x 的关系式； （3）当小正方形的边长由 1cm 变化到 5cm 时，阴影部分的面积是怎样变化的？ 【解题思路】（1）根据当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化，则小 正方形的边长是自变量，阴影部分的面积为因变量； （2）根据阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣4 个小正方形的面积，即可解答； （3）根据当小正方形的边长由 1cm 变化到 5cm 时，x 增大，x2 也随之增大，﹣4x2 则随着 x 的增大而减 小，所以 y 随着 x 的增大而减小． 【解答过程】解：（1）∵当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化， ∴小正方形的边长是自变量，阴影部分的面积为因变量； （2）由题意可得：y＝122﹣4x2＝144﹣4x2． （3）由（2）知：y＝144﹣4x2， 当小正方形的边长由 1cm 变化到 5cm 时，x 增大，x2 也随之增大，﹣4x2 则随着 x 的增大而减小，所以 y 随着 x 的增大而减小， 当 x＝1cm 时，y 有最大值，�最大 = 144 − 4 × 12 =140（cm2）． 当 x＝5cm 时，y 有最小值，y 最小＝144﹣4×52＝44（cm2）． ∴当小正方形的边长由 1cm 变化到 5cm 时，阴影部分的面积由 140cm2 变到 44cm2 【变式 3-1】（2021 春•宁津县期末）如图，△ABC 的边 BC 长 12cm，乐乐观察到当顶点 A 沿着 BC 边上的 高 AD 所在直线上运动时，三角形的面积发生变化．在这个变化过程中，如果三角形的高为 x（cm）， 那么△ABC 的面积 y（cm2）与 x（cm）的关系式是 ． 【解题思路】利用三角形的面积公式即可得到关系式． 1 1 【解答过程】解：∵△ABC 的面积= 2BC•x= 2 ×12•x＝6x， ∴y 与 x 的关系式为：y＝6x． 故答案为：y＝6x． 【变式 3-2】（2021 春•垦利区期末）一辆汽车油箱内有油 56 升，从某地出发，每行驶 1 千米，耗油 0.08 升，如果设油箱内剩油量为 y（升），行驶路程为 x（千米），则 y 随 x 的变化而变化 （1）在上述变化过程中，自变量是 ；因变量是 ． （2）用表格表示汽车从出发地行驶 100 千米、200 千米、300 千米、400 千米时的剩油量． 请将表格补充完整： 行驶路程 x 100 200 300 400 （千米） 油箱内剩油 40 24 量 y（升） （3）试写出 y 与 x 的关系式 ． （4）这辆汽