专题 6.2 一次函数与正比例函数-重难点题型 【苏科版】 【知识点 1 一次函数和正比例函数的概念】 一般地，若两个变量 x，y 间的关系可以表示成 y  kx  b （k，b 为常数，k  0）的形式，则称 y 是 x 的一次函数（x 为自变量，y 为因变量）。 特别地，当一次函数 y  kx  b 中的 b=0 时（即 y  kx ）（k 为常数，k  0），称 y 是 x 的正比例函 数。 【题型 1 一次函数的概念】 3 【例 1】（2021 春•娄星区期末）在下列函数中：①y＝﹣8x；②� = 2 � + 1；③� = � + 1；④y＝﹣8x2+5； ⑤y＝﹣0.5x﹣1，一次函数有（ A．1 个 ） B．2 个 C．3 个 D．4 个 【解题思路】根据一次函数的解析式 y＝kx+b（k≠0）判定一次函数即可． 【解答过程】解：∵一次函数的解析式为 y＝kx+b（k≠0）， 3 y＝﹣8x，y= 2x+1，y＝﹣0.5x﹣1 符合一次函数解析式形式， ∴一次函数有①②⑤， 故选：C． 1 【变式 1-1】（2020 秋•肥西县校级月考）下列函数：（1）y＝3x；（2）y＝2x﹣1；（3）� = ；（4）y＝ � � x2﹣1；（5）� =− 中，是一次函数的有（ 8 A．4 B．3 ）个 C．2 【解题思路】直接利用一次函数的定义分析得出答案． D．1 【解答过程】解：（1）y＝3x 是正比例函数，也是一次函数； （2）y＝2x﹣1 是一次函数； 1 （3）y= 的分母含有自变量 x，不是一次函数； � （4）y＝x2﹣1 是二次函数，不是一次函数； � （5）y=− 是正比例函数，也是一次函数． 8 是一次函数的有 3 个， 故选：B． 3 【变式 1-2】（2021 春•汉阴县期末）在①y＝﹣8x：②y=− ：③y= � +1；④y＝﹣5x2+1：⑤y＝0.5x � ﹣3 中，一次函数有（ A．1 个 ） B．2 个 C．3 个 D．4 个 【解题思路】根据一次函数的定义解答即可． 3 【解答过程】解：在①y＝﹣8x：②y=− �：③y= � +1；④y＝﹣5x2+1：⑤y＝0.5x﹣3 中，一次函数 有①y＝﹣8x；⑤y＝0.5x﹣3． 故选：B． 【变式 1-3】下列语句中，y 与 x 是一次函数关系的有（ ）个 （1）汽车以 60 千米/时的速度匀速行驶，行驶路程 y（千米）与行驶时间 x（时）之间的关系 （2）圆的面积 y（厘米 2）与它的半径 x（厘米）之间的关系； （3）一棵树现在高 50 厘米，每个月长高 2 厘米，x 月后这个棵树的高度为 y 厘米，y 与 x 的关系； （4）某种大米的单价是 2.2 元/千克，当购买大米 x 千克大米时，花费 y 元，y 与 x 的关系． A．1 B．4 C．3 D．2 【解题思路】根据一次函数的定义逐个判断即可． 【解答过程】解：汽车以 60 千米/时的速度匀速行驶，行驶路程 y（千米）与行驶时间 x（时）之间的关 系，是一次函数； 圆的面积 y（厘米 2）与它的半径 x（厘米）之间的关系，不是一次函数； 一棵树现在高 50 厘米，每个月长高 2 厘米，x 月后这个棵树的高度为 y 厘米，y 与 x 的关系，是一次函 数； 某种大米的单价是 2.2 元/千克，当购买大米 x 千克大米时，花费 y 元，y 与 x 的关系，是一次函数， 所以共 3 个一次函数， 故选：C． 【题型 2 利用一次函数的概念求值】 【例 2】（2021 春•昭通期末）若 y＝（k﹣2）x|k A．0 B．2 ﹣1| +1 表示一次函数，则 k 等于（ C．0 或 2 ） D．﹣2 或 0 【解题思路】依据一次函数的定义可知|k﹣1|＝1 且 k﹣2≠0，从而可求得 k 的值． 【解答过程】解：∵函数 y＝（k﹣2）x|k ﹣1| +3 是一次函数， ∴|k﹣1|＝1 且（k﹣2）≠0， 解得：k＝0． 故选：A． 【变式 2-1】（2021 春•雨花区期中）若函数 y＝（m+2）x|m| 1﹣5 是一次函数，则 m 的值为（ ﹣ A．±2 B．2 C．﹣2 ） D．±1 【解题思路】根据一次函数 y＝kx+b（k≠0）求解． 【解答过程】解：∵|m|﹣1＝1， ∴m＝±2， 又∵m+2≠0， ∴m≠﹣2， ∴m＝2， 故选：B． 【变式 2-2】（2021 春•杨浦区期末）如果 y＝kx+x+k 是一次函数，那么 k 的取值范围是 【解题思路】根据一次函数的定义条件直接解答即可． 【解答过程】解：∵y＝kx+x+k 是一次函数， ∴k+1≠0． 故答案为：k≠﹣1． 【变式 2-3】已知 y＝（k﹣1）x|k|+（k2﹣4）是一次函数． （1）求 k 的值； （2）求 x＝3 时，y 的值； （3）当 y＝0 时，x 的值． 【解题思路】（1）直接利用一次函数的定义得出 k 的值即可； （2）利用（1）中所求，再利用 x＝3 时，求出 y 的值即可； k≠﹣1 ． （3）利用（1）中所求，再利用 y＝0 时，求出 x 的值即可． 【解答过程】解：（1）由题意可得：|k|＝1，k﹣1≠0， 解得：k＝﹣1； （2）当 x＝3 时，y＝﹣2x﹣3＝﹣9； （3）当 y＝0 时，0＝﹣2x﹣3， 3 解得：x=− 2． 【题型 3 正比例函数的概念】 【例 3】（2021 春•萝北县期末）若 y＝（m+2）x+m2﹣4 是关于 x 的正比例函数，则常数 m＝ 【解题思路】依据正比例函数的定义求解即可． 【解答过程】解：∵y＝（m+2）x+m2﹣4 是关于 x 的正比例函数， ∴m+2≠0，m2﹣4＝0， 解得：m＝2． 故答案为：2． 2 【变式 3-1】函数 y＝（k+1）�� 是正比例函数，则常数 k 的值为 1 ． 【解题思路】根据正比例函数的定义可得出关于 k 的方程，即可得出 k 的值． 【解答过程】解：k+1≠0，k2＝1， ∴k＝1． 故填 1． 【变式 3-2】已知函数 y＝mx+25﹣m 是正比例函数，则该函数的表达式为 【解题思路】根据正比例函数的定义求解即可． 【解答过程】解：由题意，得 25﹣m＝0， 解得 m＝25， 该函数的表达式为 y＝25x， 故答案为：y＝25x． 【变式 3-3】已知函数 y＝2x2a+b+a+2b 是正比例函数，则 a＝ 【解题思路】根据正比例函数的定义进行选择即可． 2 3 ． y＝25x ． 2 ． 【解答过程】解：∵函数 y＝2x2a+b+a+2b 是正比例函数， ∴2a+b＝1，a+2b＝0， 2 解得 a= 3， 2 故答案为 ． 3 【知识点 2 正比例函数和一次函数解析式的确定】 确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式 y  kx （k  0）中的常数 k。确定一个一次函数， 需要确定一次函数定义式 y  kx  b （k  0）中的常数 k 和 b。解这类问题的一般方法是待定系数法。 【题型 4 用待定系数法求一次函数解析式】 【例 4】已知 y+2 与 x﹣1 成正比例，且当 x＝3 时，y＝4． （1）求 y 与 x 之间的函数表达式； （2）当 y＝1 时，求 x 的值． 【解题思路】（1）已知 y+2 与 x﹣1 成正比例，即可以设 y+2＝k（x﹣1），把 x＝3，y＝4 代入即可求得 k 的值，从而求得函数解析式； （2）在解析式中令 y＝1 即可求得 x 的值． 【解答过程】解：（1）设 y+2＝k（x﹣1），把 x＝3，y＝4 代入得：4+2＝k（3﹣1） 解得：k＝3， 则函数的解析式是：y+2＝3（x﹣1） 即 y＝3x﹣5； （2）当 y＝1 时，3x﹣5＝1．解得 x＝2． 【变式 4-1】已知 y﹣1 与 x+2 成正比例，且 x＝﹣1 时，y＝3． （1）求 y 与 x 之间的关系式； （2）它的图象经过点（m﹣1，m+1），求 m 的值． 【解题思路】（1）根据 y﹣1 与 x+2 成正比例，设 y﹣1＝k（x+2），把 x 与 y 的值代入求出 k 的值，即 可确定出关系式； （2）把点（m﹣1，m+1）代入一次函数解析式求出 m 的值即可． 【解答过程】解：（1）根据题意：设 y﹣1＝k（x+2）， 把 x＝﹣1，y＝3 代入得：3﹣1＝k（﹣1+2）， 解得：k＝2． 则 y 与 x 函数关系式为 y＝2（x+2）+1＝2x+5； （2）把点（m﹣1，m+1）代入 y＝2x+5 得：m+1＝2（m﹣1）+5 解得 m＝﹣2． 【变式 4-2】直线 AB 与 x 轴交于点 A（2，0），与 y 轴交于点 B（0，﹣4）． （1）求直线 AB 的解析式． （2）若直线 CD 与 AB 平行，且直线 CD 与 y 轴的交点与 B 点相距 2 个单位，则直线 CD 的解析式为 ＝2x﹣2 或 y＝2x﹣6 y ． 【解题思路】（1）由点 A、B 的坐标，利用待定系数法即可求出直线 AB 的解析式； （2）找出在 y 轴上与 B 点相距 2 个单位的点的坐标，再结合直线 CD 与 AB 平行，即可得出直线 CD 的 解析式． 【解答过程】解：（1）设直线 AB 的解析式为 y＝kx+b（k≠0）， 将点 A（2，0）、B（0，﹣4）代入 y＝kx+b 中， 2� + � = 0 �=2 ，解得： ， � =− 4 � =− 4 ∴直线 AB 的解析式为 y＝2x﹣4． （2）在 y 轴上与 B 点相距 2 个单位的点的坐标为（0，﹣2）或（0，﹣6）． 又∵直线 CD 与 AB 平行， ∴直线 CD 的解析式为 y＝2x﹣2 或 y＝2x﹣6． 故答案为：y＝2x﹣2 或 y＝2x﹣6． 【变式 4-3】已知一次函数 y＝kx+b，当 x＝2 时 y 的值是﹣1，当 x＝﹣1 时 y 的值是 5． （1）求此一次函数的解析式； （2）若点 P（m，n）是此函数图象上的一点，﹣3≤m≤2，求 n 的最大值． 【解题思路】（1）把 x＝2，y＝﹣1 代入函数 y＝kx+b，得出方程组，求出方程组的解即可； （2）根据函数的性质得出 m＝﹣3 时 n 最大，代入求出即可． 【解答过程】解：（1）依题意得： 解得： � =− 2 ， � = 3. 2� + � =− 1 ， −� + � = 5 所以一次函数的解析式是 y＝﹣2x+3； （2）∵由（1）可得，y＝﹣2x+3， ∴k＝﹣2＜0，y 随 x 的增大而减小， 又∵点 P （m，n ） 是此函数图象上的一点，﹣3≤m≤2， ∴