专题 6.3 一次函数的图象与性质-重难点题型 【苏科版】 【知识点 1 一次函数与正比例函数的图象】 1、一次函数的图像: 所有一次函数的图像都是一条直线 2、一次函数、正比例函数图像的主要特征： k 的符号 b 的符号 b>0 函数图像 图像特征 图像经过一、二、三象限， y 随 x 的增大而增大。 k>0 b<0 b>0 图像经过一、三、四象限， y 随 x 的增大而增大。 图像经过一、二、四象限， y 随 x 的增大而减小 k<0 b<0 图像经过二、三、四象限， y 随 x 的增大而减小。 注：当 b=0 时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。 【题型 1 一次函数的图象】 【例 1】（2021•萧山区模拟）若实数 a，b，c 满足 a+b+c＝0，且 a＜b＜c，则函数 y＝﹣cx﹣a 的图象可能 是（ ） A． B． C． D． 【解题思路】先判断出 a 是负数，c 是正数，然后根据一次函数图象与系数的关系确定图象经过的象限 以及与 y 轴的交点的位置即可得解． 【解答过程】解：∵a+b+c＝0，且 a＜b＜c， ∴a＜0，c＞0，（b 的正负情况不能确定）， ∴﹣a＞0，﹣c＜0， ∴函数 y＝﹣cx﹣a 的图象经过二、一、四象限． 故选：B． 【变式 1-1】函数 y＝ax+b﹣2 的图象如图所示，则函数 y＝﹣ax﹣b 的大致图象是（ A． B． C． ） D． 【解题思路】根据一次函数的图象的性质确定 a 和 b 的符号，进而解答即可． 【解答过程】解：由函数 y＝ax+b﹣2 的图象可得：a＜0，b﹣2＝0， ∴a＜0，b＝2＞0， 所以函数 y＝﹣ax﹣b 的大致图象经过第一、四、三象限， 故选：C． 【变式 1-2】（2019•杭州）已知一次函数 y1＝ax+b 和 y2＝bx+a（a≠b），函数 y1 和 y2 的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【解题思路】根据直线判断出 a、b 的符号，然后根据 a、b 的符号判断出直线经过的象限即可，做出判 断． 【解答过程】解：A、由图可知：直线 y1＝ax+b，a＞0，b＞0． ∴直线 y2＝bx+a 经过一、二、三象限，故 A 正确； B、由图可知：直线 y1＝ax+b，a＜0，b＞0． ∴直线 y2＝bx+a 经过一、四、三象限，故 B 错误； C、由图可知：直线 y1＝ax+b，a＜0，b＞0． ∴直线 y2＝bx+a 经过一、二、四象限，交点不对，故 C 错误； D、由图可知：直线 y1＝ax+b，a＜0，b＜0， ∴直线 y2＝bx+a 经过二、三、四象限，故 D 错误． 故选：A． 【变式 1-3】函数 y＝|x﹣2|的图象大致是（ A． ） B． C． D． 【解题思路】由绝对值的性质知，该图象的函数值 y≥0，且函数图象经过点（2，0），由此得到正确的 函数图象． 【解答过程】解：∵y＝|x﹣2|≥0． ∴选项 A、D 错误． 又∵函数图象经过点（2，0）， ∴选项 B 错误，选项 C 正确． 故选：C． 【题型 2 正比例函数的图象】 【例 2】如图，三个正比例函数的图象分别对应函数关系式：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，将 a，b，c 从小 到大排列并用“＜”连接为（ A．a＜b＜c ） B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b 【解题思路】根据直线所过象限可得 a＜0，b＞0，c＞0，再根据直线陡的情况可判断出 b＞c，进而得到 答案． 【解答过程】解：根据三个函数图象所在象限可得 a＜0，b＞0，c＞0， 再根据直线越陡，|k|越大，则 b＞c． 则 b＞c＞a， 即 a＜c＜b． 故选：D． 【变式 2-1】（2020 秋•达川区期末）如图，四个一次函数 y＝ax，y＝bx，y＝cx+1，y＝dx﹣3 的图象如图所 示，则 a，b，c，d 的大小关系是（ ） A．b＞a＞d＞c B．a＞b＞c＞d C．a＞b＞d＞c D．b＞a＞c＞d 【解题思路】根据一次函数图象的性质分析． 【解答过程】解：由图象可得：a＞0，b＞0，c＜0，d＜0， 且 a＞b，c＞d， 故选：B． 【变式 2-2】（2021 秋•茂名期中）直线 y＝2kx 的图象如图所示，则 y＝（k﹣2）x+1﹣k 的图象大致是（ A． B． C． D． ） 【解题思路】根据正比例函数 t＝2kx 的图象可以判断 k 的正负，从而可以判断 k﹣2 与 1﹣k 的正负，从 而可以得到 y＝（k﹣2）x+1﹣k 图象经过哪几个象限，从而可以解答本题． 【解答过程】解：由题意知 2k＜0，即 k＜0， 则 k﹣2＜0，1﹣k＞0， ∴y＝（k﹣2）x+1﹣k 的图象经过第一，二，四象限， 故选：A． 【变式 2-3】（2021 春•新田县期末）如图，直线 l1⊥x 轴于点（1，0），直线 l2⊥x 轴于点（2，0），直线 l3⊥x 轴于点（3，0），…直线 ln⊥x 轴于点（n，0）．函数 y＝x 的图象与直线 l1，l2，l3，…，ln 分别交 于点 A1，A2，A3，…，An；函数 y＝3x 的图象与直线 l1，l2，l3，…，ln 分别交于点 B1，B2，B3，…，Bn， 如果△OA1B1 的面积记的作 S1，四边形 A1A2B2B1 的面积记作 S2，四边形 A2A3B3B2 的面积记作 S3，…四 边形 An﹣1AnBnBn﹣1 的面积记作 Sn，那么 S2021＝ 4041 ． 【解题思路】四边形 An﹣1AnBnBn﹣1 是梯形，算出梯形的下底 AnBn，上底 An﹣1Bn﹣1，高是 1，取 n＝2021， 用梯形的面积公式即可． 【解答过程】解：由题意得：An（n，n），Bn（n，3n）， ∴AnBn＝3n﹣n＝2n， 同理：An﹣1Bn﹣1＝2（n﹣1）， ∴�四边形��−1������−1 = 1 × 1 × [2� + 2(� − 1)] = 2� − 1， 2 ∴S2021＝2×2021﹣1＝4041， 故答案为 4041． 【知识点 2 一次函数与正比例函数的性质】 1.一般地，正比例函数 y  kx 有下列性质： （1）当 k>0 时，图像经过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大； （2）当 k<0 时，图像经过第二、四象限，y 随 x 的增大而减小。 2.一般地，一次函数 y  kx  b 有下列性质： （1）当 k>0 时，y 随 x 的增大而增大 （2）当 k<0 时，y 随 x 的增大而减小 【题型 3 一次函数的性质】 【例 3】（2021•萧山区一模）已知 y﹣3 与 x+5 成正比例，且当 x＝﹣2 时，y＜0，则 y 关于 x 的函数图象经 过（ ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【解题思路】由 y﹣3 与 x+5 成正比例，可设 y﹣3＝k（x+5），整理得：y＝kx+5k+3．把 x＝﹣2 代入得 不等式，可解得 k＜﹣1，再判断 5k+3 的符号即可． 【解答过程】解：∵y﹣3 与 x+5 成正比例， ∴设 y﹣3＝k（x+5），整理得：y＝kx+5k+3． 当 x＝﹣2 时，y＜0， 即﹣2k+5k+3＜0，整理得 3k+3＜0， 解得：k＜﹣1． ∵k＜﹣1， ∴5k+3＜﹣2， ∴y＝kx+5k+3 的图象经过第二、三、四象限． 故选：D． 【变式 3-1】（2021•黄州区校级自主招生）已知过点（2，3）的直线 y＝ax+b（a≠0）不经过第四象限，设 s ＝a﹣2b，则 s 的取值范围是（ 3 A． ≤ �＜6 2 ） B．﹣3＜s≤3 C．﹣6＜s≤ 3 2 3 D． ≤ � ≤ 5 2 3 【解题思路】根据题意得出 a＞0，b≥0，即可推出得 0＜� ≤ 2，从而求得 s 的取值范围． 【解答过程】解：∵过点（2，3）的直线 y＝ax+b（a≠0）不经过第四象限， ∴a＞0，b≥0， 将（2，3）代入直线 y＝ax+b， 3＝2a+b， b＝3﹣2a ∴ �＞0 ， 3 − 2� ≥ 0 3 解得 0＜� ≤ 2， s＝a﹣2b＝a﹣2×（3﹣2a）＝5a﹣6， a＝0 时，s＝﹣6， 3 3 a= ，s= ， 2 2 3 故﹣6＜s≤ ． 2 故选：C． 【变式 3-2】（2021 春•忠县期末）已知一次函数 y＝（5﹣a）x+a+1 的图象不经过第四象限，且关于 x 的分 式方程 A．6 10 2−� =2− �� �−2 有整数解，则满足条件的所有整数 a 的和为（ B．7 C．8 ） D．9 【解题思路】由一次函数 y＝（5﹣a）x+a+1 的图象不经过第四象限求出 a 的取值范围，把分式方程解出， 再根据式方程有整数解，a 的取值范围确定 a 的值，最后算出结果． 【解答过程】解：∵y＝（5﹣a）x+a+1 的图象不经过第四象限， ∴ 5 − �＞0 ， �+1 ≥ 0 ∴﹣1≤a＜5． 10 2−� =2− 整理得， �� �−2 10 2−� ， =2+ �� ， 2−� 10＝2（2﹣x）+ax， （2﹣a）x＝﹣6， −6 x= 2−�， ∵分式方程有整数解，﹣1≤a＜5， ∴a＝﹣1、0、1、3、4， ∴（﹣1）+0+1+3+4＝7． 故选：B． 2 【变式 3-3】（2021•渝中区模拟）若关于 x 的一元一次不等式组 3 �＞� − 1 恰有 3 个整数解，且一次函数 y 4� + 1 ≥ � ＝（a﹣2）x+a+1 不经过第三象限，则所有满足条件的整数 a 的值之和是（ A．﹣2 B．﹣1 C．0 ） D．1 2 【解题思路】根据关于 x 的一元一次不等式组 3 �＞� − 1 恰有 3 个整数解，可以求得 a 的取值范围，再 4� + 1 ≥ � 根据一次函数 y＝（a﹣2）x+a+1 不经过第三象限，可以得到 a 的取值范围，结合不等式组和一次函数可 以得到最后 a 的取值范围，从而可以写出满足条件的 a 的整数值，然后相加即可． 2 �−1 【解答过程】解：由不等式组 3 �＞� − 1 ，得 ≤x＜3， 4 4� + 1 ≥ � 2 ∵关于 x 的一元一次不等式组 3 �＞� − 1 恰有 3 个整数解， 4� + 1 ≥ � �−1 ∴﹣1＜ ≤0， 4 解得﹣3＜a≤1， ∵一次函数 y＝（a﹣2）x+a+1 不经过第三象限， ∴a﹣2＜0 且 a+1≥0， ∴﹣1≤a＜2， 又∵﹣3＜a≤1， ∴﹣1≤a≤1， ∴整