专题 6.4 一次函数的应用-重难点题型 【苏科版】 【知识点 1 一次函数与实际问题】 在研究有关一次函数的实际问题时，要遵循一审、二设、三列、四解的方法： 第 1 步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系； 第 2 步：设自变量。根据各个量之间的关系设满足题意的自变量； 第 3 步：列函数。根据各个量之间的关系列出函数； 第 4 步：求解。求出满足题意的数值。 【题型 1 一次函数的应用（行程问题）】 【例 1】（2021 春•海门市期中）甲、乙两人分别从笔直道路上的 A、B 两地同时出发相向匀速而行，已知 甲比乙先出发 6 分钟，两人在 C 地相遇，相遇后甲立即按原速原路返回 A 地，乙继续向 A 地前行，约定 先到 A 地者停止运动就地休息．若甲、乙两人相距的路程 y（米）与甲行走的时间 x（分钟）之间的关系 如图所示，有下列说法：①甲的速度是 60 米/分钟，乙的速度是 80 米/分钟；②甲出发 30 分钟时，两 人在 C 地相遇；③乙到达 A 地时，甲与 A 地相距 450 米，其中正确的说法有（ ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 【解题思路】根据图象可知 A、B 两地相距 3720 米；利用速度＝路程÷时间可求出甲、乙的速度，由二 者相遇的时间＝6+A、B 两地之间的路程÷二者速度和，可求出二者相遇的时间，再由 A、C 两地之间的 距离＝甲的速度×二者相遇的时间可求出 A、C 两地之间的距离，由 A、C 两地之间的距离结合甲、乙的 速度，可求出乙到达 A 地时甲与 A 地相距的路程． 【解答过程】解：由图象可知，A、B 两地相距 3720 米， 甲的速度为（3720﹣3360）÷6＝60（米/分钟）， 乙的速度为（3360﹣1260）÷（21﹣6）﹣60＝80（米/分钟），故①说法正确； 甲、乙相遇的时间为 6+3360÷（60+80）＝30（分钟），故②说法正确； A、C 两地之间的距离为 60×30＝1800（米）， 乙到达 A 地时，甲与 A 地相距的路程为 1800﹣1800÷80×60＝450（米）．故③说法正确． 即正确的说法有 4 个． 故选：D． 【变式 1-1】（2021 春•巴彦淖尔期末）如图，折线 ABCDE 描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中， 汽车离出发地的距离 s（km）与行驶时间 t（h）之间的函数关系，根据图中提供的信息，判断下列结论 正确的选项是（ ） ①汽车在行驶途中停留了 0.5h； ②汽车在整个行驶过程的平均速度是 40km/h； ③汽车共行驶了 240km； ④汽车出发 4h 离出发地 40km． A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【解题思路】根据停留时距离 S 不发生变化可判断①；根据速度＝路程÷时间列式计算即可判断②； 求得往返的路程和得出答案即可判断③；先求出 3h 到 4.5h 的速度，再求据出发地的距离可判断④． 【解答过程】解：①汽车在行驶途中停留了 2﹣1.5＝0.5h， 故①正确； 160 ②平均速度：120×2÷4.5= 3 千米/小时， 故②错误； ③汽车共行驶了 120×2＝240km， 故③正确； ④汽车自出发后 3h 到 4.5h 速度为：120÷（4.5﹣3）＝120÷1.5＝80 千米/小时， ∴汽车出发 4h 离出发地距离为 120﹣（4﹣3）×80＝120﹣80＝40 千米， 故④正确． ∴正确的是①③④， 故选：C． 【变式 1-2】（2021•沙坪坝区校级开学）某天上午，大学生小南从学校出发去重庆市图书馆查阅资料，同 时他的同学小开从该图书馆看完书回学校．两人在途中相遇，于是马上就各自最近的研究课题交流了 6 分钟，又各自按原速前往自己的目的地．直到小开回到学校并电话告知小南后，小南决定提速 25%到达 图书馆（接打电话的时间忽略不计）．在整个运动过程中，小南和小开之间的距离 y（m）与小南所用的 时间 x（min）之间的函数关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A．学校和图书馆的之间的距离为 1200m B．小南提速前，小开的速度是小南的 1.8 倍 C．m＝1500 D．n＝62 【解题思路】从图象上直接可以得出图书馆到学校的距离，从而可以判断 A；先求出小南和小开的和速 度，再求出小开的速度，从而可以判断 B；通过图象和题意可以求出 m，从而可以判断 C；先求出小南 提速后的速度，再根据路程÷速度＝时间，即可判断 D． 【解答过程】解：由图象可知：图书馆到学校的距离为 2400 米， 故 A 错误； 小南和小开的和速度为：2400÷24＝100（米/分）， 小开走完 2400 米所用时间为：46﹣6＝40（分）， ∴小开的速度为：2400÷40＝60（米/分）， ∴小南的速度为：100﹣60＝40（米/分）， ∴小南提速前，小开的速度是小南的 60÷40＝1.5， 故 B 错误； 相遇后到小开到达学校所用时间为 46﹣（24+6）＝16（分）， ∴m＝100×16＝1600（米）， 故 C 错误； 小南提速后的速度为 40（1+25%）＝50（米/分）， ∴n＝（2400﹣1600）÷50+46＝16+46＝62（分）， 故 D 正确． 故选：D． 【变式 1-3】（2021•蒙阴县二模）甲、乙两车从 M 地到 480 千米的 N 地，甲车比乙车晚出发 2 小时，乙车 途中因故停车检修，图中线段 DE、折线 OABC 分别表示甲、乙两车所行路程 y（千米）与时间 x（小时） 之间的函数图象，请根据图象所提供的信息，解决如下问题： （1）求两车在途中第二次相遇时，它们距目的地的路程； （2）甲车出发多长时间，两车在途中第一次相遇？ 【解题思路】（1）设甲车所行使路程 y 与时间 x 的函数关系式为 y＝k1x+b1，利用待定系数法求出其函 数关系式，再结合交点 F 的横坐标解答即可； （2）求出线段 BC 对应的函数关系式，求出点 P 的坐标，计算两车在途中第一次相遇的时间． 【解答过程】解：（1）设甲车所行使路程 y 与时间 x 的函数关系式为 y＝k1x+b1， 把（2，0）和（10，480）代入，得 解得： �1 = 60 ， �1 =− 120 2�1 + �1 = 0 ， 10�1 + �1 = 480 ∴y 与 x 的函数关系式为 y＝60x﹣120； 由图可得，交点 F 表示第二次相遇，F 点的横坐标为 6，此时 y＝60×6﹣120＝240， ∴F（6，240）， 故两车在途中第二次相遇时它们距目的地的路程为 480﹣240＝240（千米）； （2）设线段 BC 对应的函数关系式为 y＝k2x+b2， 把（6，240）、（8，480）代入，得 解得 �2 = 120 ， �2 =− 480 6�2 + �2 = 240 ， 8�2 + �2 = 480 故 y 与 x 的函数关系式为 y＝120x﹣480， 则当 x＝4.5 时，y＝120×4.5﹣480＝60． 可得：点 B 的纵坐标为 60， ∵线段 AB 表示因故停车检修， ∴交点 P 的纵坐标为 60， 把 y＝60 代入 y＝60x﹣120 中， 有 60＝60x﹣120， 解得 x＝3， 则交点 P 的坐标为（3，60）， ∵交点 P 表示第一次相遇， ∴甲车出发的时间为：3﹣2＝1（小时）． 【题型 2 一次函数的应用（调运问题）】 【例 2】（2021 春•大安市期末）A 城有肥料 400 吨，B 城有肥料 300 吨，现要把这些肥料全部运往 C、D 两乡镇，从 A 城运往 C、D 两乡镇肥料费为 20 元/吨和 25 元/吨；从 B 城往 C、D 两乡镇运肥料的费用分 别为 15 元/吨和 24 元/吨，C 乡镇需要肥料 340 吨，D 乡镇需要肥料 360 吨．设 A 城运往 C 乡镇 x 吨肥 料，请解答下列问题： （1）根据题意，填写下列表格： 城、乡/吨数 C D A 400﹣x x 340﹣x B x﹣40 （2）设总运费为 W（元），求出 W（元）与 x（吨）的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）求怎样调运可使总运费最少？最少为多少元？ 【解题思路】（1）根据题意，可以将表格补充完整； （2）根据题意和（1）中表格的数据，可以写出 W（元）与 x（吨）的函数关系式，并写出自变量的取 值范围； （3）根据（2）中函数关系式和一次函数的性质，可以得到怎样调运可使总运费最少，最少为多少元． 【解答过程】解：（1）根据题意，表格填写如下： 城、乡/吨数 C A x D 400﹣x 340﹣x B x﹣40 故答案为：400﹣x；340﹣x；x﹣40； （2）由题意可得， W＝20x+25（400﹣x）+15（340﹣x）+24（x﹣40）＝4x+14140， ∵340﹣x≥0 且 x﹣40≥0， ∴40≤x≤340， 即 W（元）与 x（吨）的函数关系式是 W＝4x+14140（40≤x≤340）； （3）∵y＝4x+14140，k＝4＞0， ∴y 随 x 的增大而增大， ∵40≤x≤340， ∴当 x＝40 时，y 取得最小值，此时 y＝14300，400﹣x＝360，340﹣x＝300，x﹣40＝0， 答：从 A 城运往 C 乡 40 吨，运往 D 乡 360 吨；从 B 城运往 C 乡 300 吨，运往 D 乡 0 吨，此时总运费最 少，总运费最小值是 14300 元． 【变式 2-1】（2021•寻乌县模拟）疫情期间，甲、乙两个仓库要向 M，N 两地运送防疫物资，已知甲仓库 可调出 50 吨防疫物资，乙仓库可调出 40 吨防疫物资，M 地需 35 吨防疫物资，N 地需 55 吨防疫物资， 两仓库到 M，N 两地的路程和运费如下表： 路程/千米 运送 1 千米所需运费/ （元/吨） 甲仓库 乙仓库 甲仓库 乙仓库 M地 20 15 12 12 N地 25 20 10 8 （1）设从甲仓库运往 M 地防疫物资 x 吨，两仓库运往 M，N 两地的总费用为 y 元，求 y 关于 x 的函数关 系式． （2）如何调运才能使总运费最少？总运费最少是多少？ 【解题思路】（1）设甲仓库运往 M 地的防疫物资为 x 吨，甲仓库运往 N 地的防疫物资为（50﹣x）吨， 乙仓库运往 M 地的防疫物资为（35﹣x）吨，乙仓库运往 N 地的防疫物资为（5+x）吨，根据题意列出函 数解析式，并求出自变量的取值范围； （2）根据一次函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最小值． 【解答过程】解：设甲仓库运往 M 地的防疫物资为 x 吨，甲仓库运往 N 地的防疫物资为（50﹣x