专题 5.4 平面直角坐标系中的规律问题专项训练（30 道） 【苏科版】 考卷信息： 本套训练卷共 30 题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了平面直角坐标系中的规律问题所有类型！ 1．（2021•张湾区模拟）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，按如图顺序依 次排列为（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2），…，根据这个规律，第 2021 个点的坐标为（ A．（46，4） ） B．（46，3） C．（45，4） D．（45，5） 【解题思路】观察图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于 x 轴上右下角的点的横 坐标的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为 0 结束，当右下角的点 横坐标是偶数时，以横坐标为 1，纵坐标为右下角横坐标的偶数减 1 的点结束，根据此规律解答即可． 【解答过程】解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于 x 轴上右下角的点的横 坐标的平方， 例如：右下角的点的横坐标为 1，共有 1 个，1＝12， 右下角的点的横坐标为 2 时，共有 4 个，4＝22， 右下角的点的横坐标为 3 时，共有 9 个，9＝32， 右下角的点的横坐标为 4 时，共有 16 个，16＝42， … 右下角的点的横坐标为 n 时，共有 n2 个， ∵452＝2025，45 是奇数， ∴第 2025 个点是（45，0）， 第 20201 点是（45，4）． 故选：C． 2．（2021 春•嘉祥县期末）如图，长方形 BCDE 的各边分别平行于 x 轴、y 轴，物体甲和物体乙由点 A（2， 0）同时出发，沿长方形 BCDE 的边做环绕运动，物体甲按逆时针方向以每秒 1 个单位长度的速度匀速运 动，物体乙按顺时针方向以每秒 2 个单位长度的速度匀速运动，则两个物体运动后的第 2021 次相遇地点 的坐标是（ ） A．（﹣1，﹣1） B．（2，0） C．（1，﹣1） D．（﹣1，1） 【解题思路】根据两个物体运动速度和矩形周长，得到两个物体的相遇时间间隔，进而得到两个点相遇 的位置规律． 【解答过程】解：由已知，矩形周长为 12， ∵甲、乙速度分别为 1 单位/秒，2 单位/秒， 则两个物体每次相遇时间间隔为 12 1+2 =4 秒， 则两个物体相遇点依次为（﹣1，1）、（﹣1，﹣1）、（2，0）， ∵2021＝3×673…2， ∴第 2021 次两个物体相遇位置为（﹣1，﹣1）， 故选：A． 3．（2021 春•德阳期末）如图，已知 A1（1，0），A2（1，1），A3（﹣1，1），A4（﹣1，﹣1），A5（2， ﹣1）…，则点 A2021 的坐标为（ ） A．（505，﹣504） B．（506，﹣505） C．（505，﹣505） D．（﹣506，506） 【解题思路】根据题意逐步探索出下标和个点坐标之间的关系，总结出规律，根据规律推理点 A2021 的坐 标． 【解答过程】解：通过观察可得数字是 4 的倍数的点在第三象限，4 的倍数余 1 的点在第四象限，4 的倍 数余 2 的点在第一象限，4 的倍数余 3 的点在第二象限， ∵2021÷4＝505…1， ∴点 A2021 在第四象限，且转动了 505 圈以后，在第 506 圈上， ∴A2021 的坐标是（506，﹣505）． 故选：B． 4．（2021 春•乌苏市期末）如图，在平面直角坐标系上有点 A（1，0），点 A 第一次跳动至点 A1（﹣1，1） ， 第二次点 A1 向右跳到 A2（2，1），第三次点 A2 跳到 A3（﹣2，2），第四次点 A3 向右跳动至点 A4，（3， 2），…，依此规律跳动下去，则点 A2019 与点 A2020 之间的距离是（ A．2021 B．2020 C．2019 ） D．2018 【解题思路】根据图形观察发现，第 2n﹣1 次点 A2n﹣2 跳动至点 A2n﹣1（﹣n，n），第 2n 次点 A2n﹣1 跳动 至点 A2n（n+1，n），可分别求出点 A2019 与点 A2020 的坐标，进而可求出点 A2019 与点 A2020 之间的距离． 【解答过程】解：观察发现，点 A 第一次跳动至点 A1（﹣1，1），第二次点 A1 向右跳到 A2（2，1）， 第三次点 A2 跳到 A3（﹣2，2），第四次点 A3 向右跳动至点 A4（3，2）， 第五次点 A4 跳到 A5（﹣3，3），第六次点 A5 向右跳动至点 A6（4，3）， …， 第 2n﹣1 次点 A2n﹣2 跳动至点 A2n﹣1（﹣n，n），第 2n 次点 A2n﹣1 跳动至点 A2n（n+1，n）， ∴第 2019 次 A2018 跳到点 A2019（﹣1010，1010）．第 2020 次跳动至点的坐标是（1011，1010）， ∵点 A2019 与点 A2020 的纵坐标相等， ∴点 A2019 与点 A2020 之间的距离＝1011﹣（﹣1010）＝2021， 故选：A． 5．（2021 春•西宁期末）如图，在平面直角坐标系中，A1（1，2），A2（2，0），A3（3，﹣2），A4（4， 0）…根据这个规律，探究可得点 A2021 的坐标是（ A．（2020，0） B．（2021，2） ） C．（2020，﹣2） D．（2021，﹣2） 【解题思路】由图形得出点的横坐标依次是 1、2、3、4、…、n，纵坐标依次是 2、0、﹣2、0、2、0、 ﹣2、…，四个一循环，继而求得答案． 【解答过程】解：观察图形可知， 点 A1（1，2），A2（2，0），A3（3，﹣2），A4（4，0）…的横坐标依次是 1、2、3、4、…、n，纵坐 标依次是 2、0、﹣2、0、2、0、﹣2、…，四个一循环， 2021÷4＝505…1， 故点 A2021 坐标是（2021，2）． 故选：B． 6．（2021 春•绥中县期末）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为 1 个单位长度，P1，P2， P3，…均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1），P4（1， ﹣1），P5（﹣1，﹣1），P6（﹣1，2）…根据这个规律，点 P2021 的坐标为（ ） A．（﹣505，﹣505） B．（﹣505，506） C．（506，506） D．（505，﹣505） 【解题思路】根据各个点的位置关系，可得出下标为 4 的倍数的点在第四象限的角平分线上，被 4 除余 1 的点在第三象限的角平分线上，被 4 除余 2 的点在第二象限的角平分线上，被 4 除余 3 的点在第一象 限的角平分线上，点 P2021 的在第三象限的角平分线上，且横纵坐标的绝对值＝（2021﹣1）÷4，再根据 第三项象限内点的符号得出答案即可． 【解答过程】解：∵2021÷4＝505•••1， ∴点 P2021 的在第三象限的角平分线上， ∵点 P5（﹣1，﹣1）， ∴点 P2021 的在第三象限的角平分线上，且横纵坐标的绝对值＝（2021﹣1）÷4， ∴点 P2021（﹣505，﹣505）． 故选：A． 7．（2021 春•东港区校级期末）在平面直角坐标系中，对于点 P（x，y），我们把点 P（﹣y+1，x+1）叫做 点 P 的伴随点，已知点 A1 的伴随点 A2，A2 的伴随点 A3，…，这样依次得到点 A1，A2，A3，A4，…An，… 若点 A1 的坐标为（3，1），则点 A2021 的坐标为（ A．（0，4） B．（﹣3，1） ） C．（0，﹣2） D．（3，1） 【解题思路】根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每 4 个点为一个循环组依次循环，用 2021 除以 4，根据商和余数的情况确定点 A2021 的坐标即可． 【解答过程】解：∵A1 的坐标为（3，1）， ∴A2（0，4），A3（﹣3，1），A4（0，﹣2），A5（3，1）， …， 依此类推，每 4 个点为一个循环组依次循环， ∵2021÷4＝505•••1， ∴点 A2021 的坐标与 A1 的坐标相同，为（3，1）． 故选：D． 8．（2021 春•上杭县期末）如图，点 A（0，1），点 A1（2，0），点 A2（3，2），点 A3（5，1），…，按 照这样的规律下去，点 A2021 的坐标为（ ） A．（6062，2020） B．（3032，1010） C．（3030，1011） D．（6063，2021） 【解题思路】观察图形得到奇数点的规律为，A1（2，0），A3（5，1），A5（8，2），…，A2n﹣1（3n﹣ 1，n﹣1），由 2019 是奇数，且 2021＝2n﹣1，则可求 A2n﹣1（3032，1010）． 【解答过程】解：观察图形可得，A1（2，0），A3（5，1），A5（8，2），…，A2n﹣1（3n﹣1，n﹣1）， A2（3，2），A4（6，3），A6（9，4），…，A2n（3n，n+1）， ∵2021 是奇数，且 2021＝2n﹣1， ∴n＝1011， ∴A2n﹣1（3032，1010）， 故选：B． 9．（2021 春•九龙坡区期中）在平面直角坐标系内原点 O（0，0）第一次跳动到点 A1（0，1），第二次从 点 A1 跳动到点 A2（1，2），第三次从点 A2 跳动到点 A3（﹣1，3），第四次从点 A3 跳动到点 A4（﹣1， 4），…，按此规律下去，则点 A2021 的坐标是（ ） A．（673，2021） B．（674，2021） C．（﹣673，2021） D．（﹣674，2021） 【解题思路】根据前几个点的坐标寻找规律即可求解． 【解答过程】解：因为 A1（0，1），A2（1，2）， A3（﹣1，3），A4（﹣1，4）， A5（2，5），A6（﹣2，6）， A7（﹣2，7），A8（3，8）， … A3n﹣1（n，3n﹣1），A3n（﹣n，3n），A3n+1（﹣n，3n+1）（n 为正整数）， ∵3×674﹣1＝2021， ∴n＝674， 所以 A2021（674，2021）， 故选：B． 10．（2021 春•路南区期末）如图，在平面直角坐标系中，半径均为 1 个单位长度的半圆 O1，O2，O3，…， � 组成一条平滑的曲线，点 P 从原点 O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒 个单位长度，则第 21 秒 2 时，点 P 的坐标为（ A．（21，﹣1） ） B．（21，0） C．（21，1） D．（22，0） 【解题思路】计算点 P 走一个半圆的时间，确定第 21 秒点 P 的位置． � 【解答过程】解：点 P 运动一个