专题 5.2 图形在坐标系中的平移-重难点题型 【苏科版】 【知识点 1 点在坐标系中的平移】 平面直角坐标内点的平移规律，设 a>0，b>0 （1）一次平移：P（x，y） P（x，y） （2）二次平移： P（x，y） 【题型 1 向右平移 a 个单位 P'（x＋a，y） P'（x，y －b） 向下平移 b 个单位 向左平移 a 个单位 P（x－ a，y＋b） 再向上平移 b 个单 点在坐标系中的平移】 【例 1】（2021 春•开福区校级期中）在平面直角坐标系中，将点 A（x，y）向左平移 3 个单位长度，再向 上平移 5 个单位长度后与点 B（﹣3，2）重合，则点 A 的坐标是（ A．（2，5） B．（0，﹣3） C．（﹣2，5） ） D．（5，﹣3） 【解题思路】根据向左平移，横坐标减，向上平移纵坐标加列方程求出 x、y，然后写出即可． 【解答过程】解：∵点 A（x，y）向左平移 3 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度后与点 B（﹣3，2） 重合， ∴x﹣3＝﹣3，y+5＝2， 解得 x＝0，y＝﹣3， 所以，点 A 的坐标是（0，﹣3）． 故选：B． 【变式 1-1】（2021 春•重庆期中）在平面直角坐标系中，点 A（m，n）经过平移后得到的对应点 A′（m+3， n﹣4）在第二象限，则点 A 所在的象限是（ A．第一象限 B．第二象限 ） C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】构建不等式求出 m，n 的范围可得结论． 【解答过程】解：由题意， 解得 �＜ − 3 �＞4 � + 3 ＜0 ， � − 4＞0 ， ∴A（m，n）在第二象限， 故选：B． 【变式 1-2】（2021 春•江夏区期末）已知△ABC 内任意一点 P（a，b）经过平移后对应点 P1（a+2，b﹣6）， 如果点 A 在经过此次平移后对应点 A1（4，﹣3），则 A 点坐标为（ A．（6，﹣1） B．（2，﹣6） C．（﹣9，6） ） D．（2，3） 【解题思路】点 A 向右平移 2 个单位，向下平移 6 个单位得到 A1（4，3），由此可得结论． 【解答过程】解：由题意，点 A 向右平移 2 个单位，向下平移 6 个单位得到 A1（4，3）， ∴点 A 坐标（4﹣2，﹣3+6），即（2，3）， 故选：D． 【变式 1-3】（2021 春•新罗区期末）在平面直角坐标系中，将 A（n2，1）沿着 x 的正方向向右平移 3+n2 个单位后得到 B 点．有四个点 M（﹣2n2，1）、N（3n2，1）、P（n2，n2+4）、Q（n2+1，1），一定在 线段 AB 上的是（ ） A．点 M B．点 Q C．点 P D．点 N 【解题思路】根据平移的过程以及四个点的坐标进行分析比较即可判断． 【解答过程】解：∵将 A （n2，1）沿着 x 的正方向向右平移 n2+3 个单位后得到 B 点， ∴B（2n2+3，1）， ∵n2≥0， ∴2n2+3＞0， ∴线段 AB 在第一象限，点 B 在点 A 右侧，且与 x 轴平行，距离 x 轴 1 个单位， 因为点 M（﹣2n2，1）距离 x 轴 1 个单位，在点 A 左侧，当 n＝0 时，M 点可以跟 A 点重合，点 M 不一 定在线段 AB 上． 点 N（3n2，1）距离 x 轴 1 个单位，沿着 x 的正方向向右平移 2n2 个单位后得到的，不一定在线段 AB 上， 有可能在线段 AB 延长线上．不在线段 AB 上， 点 P（n2+2，n2+4）在点 A 右侧，且距离 x 轴 n2+4 个单位，不一定在线段 AB 上， 点 Q（n2+1，1）距离 x 轴 1 个单位，是将 A （n2，1）沿着 x 的正方向向右平移 1 个单位后得到的，一 定在线段 AB 上． 所以一定在线段 AB 上的是点 Q． 故选：B． 【知识点 2 图形在坐标系中的平移】 在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数 a，相应的新图形就是把原图 形向右（或向左）平移 a 个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数 a，相应的新图形 就是把原图形向上（或向下）平移 a 个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下 移减．） 【题型 2 图形在坐标系中的平移】 【例 2】（2021 春•深圳校级期中）如图，△ABC 经过一定的平移得到△A′B′C′，如果△ABC 上的点 P 的坐标为（a，b），那么这个点在△A′B′C′上的对应点 P′的坐标为（ A．（a﹣2，b﹣3） B．（a﹣3，b﹣2） C．（a+3，b+2） ） D．（a+2，b+3） 【解题思路】找到一对对应点的平移规律，让点 P 的坐标也做相应变化即可． 【解答过程】解：△ABC 向右平移 3 个单位，向上平移 2 个单位得到△A′B′C′， ∴P′（a+3，b+2）， 故选：C． 【变式 2-1】（2021•邛崃市模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点 M（2，1），N（1，﹣1），平移线 段 MN，使点 M 落在点 M'（﹣1，2）处，则点 N 对应的点 N'的坐标为（ ） A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C．（﹣1，1） D．（﹣3，﹣1） 【解题思路】利用平移的性质画出图形，可得结论． 【解答过程】解：观察图象可知，N′（﹣2，0）， 故选：A． 【变式 2-2】（2021 春•东湖区期末）如图，点 A、B 的坐标分别是为（﹣3，1），（﹣1，﹣2），若将线 段 AB 平移至 A1B1 的位置，A1 与 B1 坐标分别是（m，4）和（3，n），则线段 AB 在平移过程中扫过的图 形面积为（ A．18 ） B．20 C．28 D．36 【解题思路】直接利用平移中点的变化规律求出 m，n 的值，再根据线段 AB 在平移过程中扫过的图形面 积＝四边形 ABB1A1 的面积＝2△ABB1 的面积求解即可． 【解答过程】解：∵点 A、B 的坐标分别是为（﹣3，1），（﹣1，﹣2），若将线段 AB 平移至 A1B1 的 位置，A1 与 B1 坐标分别是（m，4）和（3，n）， ∴可知将线段 AB 向右平移 4 个单位，向上平移 3 个单位得到 A1B1 的位置， ∴m＝1，n＝1， ∴A1 与 B1 坐标分别是（1，4）和（3，1）， 1 ∴线段 AB 在平移过程中扫过的图形面积＝四边形 ABB1A1 的面积＝2△ABB1 的面积＝2× ×6×3＝18， 2 故选：A． 【变式 2-3】（2020 春•凉州区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（2，0），点 B 的坐 标为（0，1），将线段 AB 平移，使其一个端点到 C（3，2），则平移后另一端点的坐标为（ A．（1，3） B．（5，1） C．（1，3）或（3，5） D．（1，3）或（5，1） ） 【解题思路】分两种情况①当 A 平移到点 C 时，②当 B 平移到点 C 时，分别利用平移中点的变化规律 求解即可． 【解答过程】解：①如图 1，当 A 平移到点 C 时， ∵C（3，2），A 的坐标为（2，0），点 B 的坐标为（0，1）， ∴点 A 的横坐标增大了 1，纵坐标增大了 2， 平移后的 B 坐标为（1，3）， ②如图 2，当 B 平移到点 C 时， ∵C（3，2），A 的坐标为（2，0），点 B 的坐标为（0，1）， ∴点 B 的横坐标增大了 3，纵坐标增大 2， ∴平移后的 A 坐标为（5，1）， 故选：D． 【题型 3 图形在网格中的平移变换】 【例 3】（2021 春•锦江区校级月考）如图，三角形 A'B'C'是由三角形 ABC 经过某种平移得到的，点 A 与点 A'，点 B 与点 B'，点 C 与点 C'分别对应，且这六个点都在格点上，观察各点以及各点坐标之间的关系， 解答下列问题： （1）分别写出点 B 和点 B'的坐标，并说明三角形 A'B'C'是由三角形 ABC 经过怎样的平移得到的． （2）连接 BC'，直接写出∠CBC'与∠B'C'O 之间的数量关系 ． （3）若点 M（a﹣1，2b﹣5）是三角形 ABC 内一点，它随三角形 ABC 按（1）中方式平移后得到的对应 点为点 N（2a﹣7，4﹣b），求 a 和 b 的值． 【解题思路】（1）利用坐标系可得点 B 和点 B'的坐标，根据两点坐标可得平移方法； （2）利用平移的性质进行计算即可； （3）利用（1）中的平移方式可得 a﹣1﹣3＝2a﹣7，2b﹣5﹣3＝4﹣b，再解即可． 【解答过程】解：（1）B（2，1），B′（﹣1，﹣2）， △A'B'C'是由△ABC 向左平移 3 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度得到的； （2）由平移可得：∠CBC′＝BC′B′， ∵∠BC′B′＝∠BC′O+∠B′C′O＝90°+∠B′C′O， ∴∠CBC'＝90°+∠B′C′O； （3）若 M（a﹣1，2b﹣5）是三角形 ABC 内一点，它随△ABC 按（1）中方式平移后得到对应点 N（2a ﹣7，4﹣b）， 则 a﹣1﹣3＝2a﹣7，2b﹣5﹣3＝4﹣b， 解得：a＝3，b＝4． 【变式 3-1】（2020 春•江汉区月考）如图，三角形 A′B′C′是由三角形 ABC 经过某种平移得到的，点 A 与点 A′，点 B 与点 B′，点 C 与点 C′分别对应，且这六个点都在格点上，观察各点以及各点坐标之 间的关系，解答下列问题： （1）分别写出点 B 和点 B′的坐标，并说明三角形 A′B′C′是由三角形 ABC 经过怎样的平移得到的； （2）连接 BC′，直接写出∠CBC′与∠B′C′O 之间的数量关系 ； （3）若点 M（a﹣1，2b﹣5）是三角形 ABC 内一点，它随三角形 ABC 按（1）中方式平移后得到的对应 点为点 N（2a﹣7，4﹣b），求 a 和 b 的值． 【解题思路】（1）由图形可得出点的坐标和平移方向及距离； （2）根据平移的性质和平角的定义和平行线的性质即可求解； （3）根据以上所得平移方式，利用“横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减”的规律列出 关于 a、b 的方程，解之求得 a、b 的值． 【解答过程】解：（1）由图知，B（2，1），B′（﹣1，﹣2）， 三角形 A′B′C′是由三角形 ABC 向左平移 3 个单位，向下平移 3 个单位得到的； （2）∠CBC′与∠B′C′O 之间的数量关系∠CBC′﹣∠B′C′O＝90°． 故答案为：∠CBC′﹣∠B′C′O＝90°； （3）由（1）中的平移变换得 a﹣1﹣3＝2a﹣7，2b﹣5﹣3＝4﹣b， 解得 a＝3，b＝4． 故 a 的值是