专题 5.1 平面内点的坐标-重难点题型 【苏科版】 【知识点 1 有序数对】 我们把有顺序的两个数 a 和 b 组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）． 【题型 1 位置的确定】 【例 1】 （2020 秋•肥西县期末）第 24 届冬季奥林匹克运动会将于 2022 年在北京市和张家口市联合举行．以 下能够准确表示张家口市地理位置的是（ ） A．离北京市 200 千米 B．在河北省 C．在宁德市北方 D．东经 114.8°，北纬 40.8° 【分析】根据点的坐标的定义，确定一个位置需要两个数据解答即可． 【解答】解：能够准确表示张家口市这个地点位置的是：东经 114.8°，北纬 40.8°． 故选：D． 【点评】本题考查了坐标确定位置，是基础题，理解坐标的定义是解题的关键． 【变式 1-1】（2020 秋•东阳市期末）如图，雷达探测器发现了 A，B，C，D，E，F 六个目标．目标 C，F 的位置分别表示为 C（6，120°），F（5，210°），按照此方法表示目标 A，B，D，E 的位置时，其中 表示正确的是（ ） A．A（4，30°） B．B（1，90°） C．D（ 4，240°） D．E（3，60°） 【分析】按已知可得，表示一个点，横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在列的度数，分别判断各选 项即可得解． 【解答】解：由题意可知 A、B、D、E 的坐标可表示为：A（5，30°），故 A 选项错误； B（2，90°），故 B 选项错误； D（4，240°），故 C 选项正确； E（3，300°），故 D 选项错误． 故选：C． 【点评】本题考查了学生的阅读理解能力，由已知条件正确确定坐标轴的位置是解决本题的关键． 【变式 1-2】（2021 春•仓山区校级期中）小刘的家在学校正南 150m，正东 200m 处，如果以学校位置为原 点，以正北、正东为正方向，1m 代表 1 个单位长度，则小敏家用数对表示为 ． 【分析】以学校位置为原点，以正东，正北为正方向，建立平面直角坐标系，根据小刘家的位置写出坐 标即可． 【解答】解：以学校位置为原点，以正东，正北为正方向，建立平面直角坐标系， ∵小刘的家在学校正南 150m，正东 200m 处， ∴小敏家表示为：（200，﹣150）． 故答案为：（200，﹣150）． 【点评】本题考查了坐标确定位置，解题时注意纵坐标是负数． 【变式 1-3】（2020 秋•泰兴市期末）如图，点 A 在射线 OX 上，OA＝2．若将 OA 绕点 O 按逆时针方向旋 转 30°到 OB，那么点 B 的位置可以用（2，30°）表示．若将 OB 延长到 C，使 OC＝3，再将 OC 按逆 时针方向继续旋转 55°到 OD，那么点 D 的位置可以用（ ， ）表示． 【分析】直接利用已知点的意义，进而得出点 D 的位置表示方法． 【解答】解：如图所示：由题意可得：OD＝3，∠AOD＝85°， 故点 D 的位置可以用：（3，85°）表示． 故答案为：3，85°． 【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出坐标的意义是解题关键． 【知识点 2 平面直角坐标系的相关概念】 （1）建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴． （2）各部分名称：水平数轴叫 x 轴（横轴），竖直数轴叫 y 轴（纵轴），x 轴一般取向右为正方向，y 轴 一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于 x 轴，又属于 y 轴． （3）建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象 限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． （4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系． 【题型 2 判断点所在的象限】 【例 2】（2021 春•广州期中）在平面直角坐标系中，若点 A（a，b）在第三象限，则点 B（﹣a，b）所在 的象限是（ A．第一象限 ） B．第二象限 C．第三象限 【分析】直接利用各象限内点的坐标符号得出答案． 【解答】解：∵点 A（a，b）在第三象限内， ∴a＜0，b＜0， 则﹣a＞0， 故点 B（﹣a，b）所在的象限是第四象限． D．第四象限 故选：D． 【点评】此题主要考查了点的坐标，正确记忆各象限内点的坐标符号是解题关键． 【变式 2-1】（2020 秋•会宁县期末）点 P（a，b）在第四象限，且|a|＞|b|，那么点 Q（a+b，a﹣b）在（ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 ） D．第四象限 【分析】直接利用各象限内点的坐标特点得出 a，b 的符号，进而结合绝对值的性质得出 a+b，a﹣b 的符 号即可得出答案． 【解答】解：∵点 P（a，b）在第四象限，且|a|＞|b|， ∴a＞0，b＜0，a+b＞0，a﹣b＞0， ∴点 Q（a+b，a﹣b）在第一象限． 故选：A． 【点评】此题主要考查了点的坐标，正确得出 a+b，a﹣b 的符号是解题关键． 【变式 2-2】（2020 秋•武侯区校级期中）若点 A（m，n）在平面直角坐标系的第二象限，则点 B（mn，m ﹣n）在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】首先确定 m、n 的符号，然后再确定 mn 与 m﹣n 的符号，进而可得点 B 所在象限． 【解答】解：∵点 A（m，n）在第二象限， ∴m＜0，n＞0， ∴mn＜0；m﹣n＜0， ∴点 B（mn，m﹣n）第三象限． 故选：C． 【点评】此题主要考查了点的坐标，关键是掌握第一象限（+，+），第二象限（﹣，+），第三象限（﹣， ﹣），第四象限（+，﹣）． 【变式 2-3】（2020 春•南昌期末）点 A（n+2，1﹣n）不可能在（ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 ） D．第四象限 【分析】确定出 n+2 为负数时，1﹣n 一定是正数，再根据各象限内点的坐标特征解答． 【解答】解：当 n+2＜0 时，n＜﹣2， 所以，1﹣n＞1， 即点 A 的横坐标是负数时，纵坐标一定是正数， 所以，点 A 不可能在第三象限，有可能在第二象限； 当 n+2＞0 时，n＞﹣2， 所以，1﹣n 有可能大于 0 也有可能小于 0， 即点 A 的横坐标是正数时，纵坐标是正数或负数， 所以，点 A 可能在第一象限，也可能在第四象限； 综上所述：点 A 不可能在第三象限． 故选：C． 【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个 象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+， ﹣）． 【知识点 3 坐标轴上点的坐标特征】 在平面直角坐标系中，x 轴上的点纵坐标为 0，y 轴上的点横坐标为 0，坐标原点横纵坐标均为 0. 【题型 3 坐标轴上点的坐标特征】 【例 3】（2021 春•仓山区期中）在平面直角坐标系中，若点 A（m﹣1，m+2）在 x 轴上，则点 A 的坐标 为 ． 【分析】直接利用 x 轴上点的坐标特点得出 m 的值，即可得出答案． 【解答】解：∵A（m﹣1，m+2）在 x 轴上， ∴m+2＝0， 解得：m＝﹣2， ∴m﹣1＝﹣3， ∴点 A 的坐标是：（﹣3，0）． 故答案为：（﹣3，0）． 【点评】此题主要考查了点的坐标，正确掌握 x 轴上点的坐标特点是解题关键． 【变式 3-1】（2021 春•鼓楼区校级期中）如果点 P（m+3，m﹣2）在 y 轴上，那么 m＝ ． 【分析】点 P 在 y 轴上则该点横坐标为 0，可解得 m 的值． 【解答】解：∵P（m+3，m﹣2）在 y 轴上， ∴m+3＝0，得 m＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】本题主要考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好坐标轴上的点的坐标的特征，y 轴上的点 的横坐标为 0． 【变式 3-2】（2020 春•天河区校级期中）已知点 P（3a+6，2﹣a）在坐标轴上，则点 P 的坐标为 ． 【分析】分点 P 在 x 轴上，纵坐标为 0；在 y 轴上，横坐标为 0，分别列式求出 a 的值，再求解即可． 【解答】解：当 P 在 x 轴上时，2﹣a＝0， 解得：a＝2， 则 3a+6＝12， 故 P（12，0）； 当 P 在 y 轴上时，3a+6＝0， 解得：a＝﹣2， 故 2﹣a＝4， 则 P（0，4）． 所以 P（12，0）或（0，4）． 故答案为：（12，0）或（0，4）． 【点评】本题考查了点的坐标，主要是对坐标轴上的点的坐标特征的考查，易错点在于要分情况讨论． 【变式 3-3】（2020 春•涪城区期末）在平面直角坐标系 xOy 中，若点 A（m2﹣4，m+1）在 y 轴的非负半轴 上，则点 B（m﹣1，1﹣2m）在（ A．第一象限 ） B．第二象限 C．第三象限 【分析】根据点 A（m2﹣4，m+1）在 y 轴的非负半轴上可得 象限内点的坐标的符号进行判断即可． D．第四象限 �2 − 4 = 0 ，据此求出 m 的值，再根据各 � + 1＞0 【解答】解：∵点 A（m2﹣4，m+1）在 y 轴的非负半轴上， ∴ �2 − 4 = 0 ， � + 1＞0 解得 m＝2， ∴m﹣1＝1，1﹣2m＝﹣3， ∵（1，﹣3）在第四象限， ∴点 B（m﹣1，1﹣2m）在第四象限． 故选：D． 【点评】本题考查了点的坐标，根据 y 轴上的点的坐标特点求出 m 的值是解答本题的关键，注意：四个 象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+， ﹣）． 【知识点 4 角平分线上点的坐标特征】 在平面直角坐标系中，第一、三象限角平分线上的点横坐标与纵坐标相等，第二、四象限角平分线上的点 横坐标与纵坐标互为相反数. 【题型 4 角平分线上点的坐标特征】 【例 4】（2021 春•雨花区校级月考）点 A（m﹣1，2m+2）在一、三象限的角平分线上，则 m＝ ． 【分析】根据第一、三象限角平分线上点的坐标特征得到得 m﹣1＝m+2，然后解关于 m 的一次方程即可． 【解答】解：根据题意得 m﹣1＝2m+2， 解得 m＝﹣3， 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关 系．解决本题的关键是掌握第一、三象限角平分线上点的坐标特征． 【变式 4-1】（2021 春•雨花区校级月考）若点 P（a+5，2a+1）在第二、四象限角平分线上，则 a＝ ． 【分析】根据二四象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数，可得答案． 【解答】解：由点 P（a+5，2a+1）点在第二、四象限的角平分线上，得 a+5+2a+