专题 4.3 实数-重难点题型 【苏科版】 【知识点 1 无理数的概念】 无理数：无限不循环小数叫无理数． 无理数常见的三种类型： （1）开不尽的方根；（2）特定结构的无限不循环小数；（3）含有π的绝大部分数． 【题型 1 无理数的概念】 5 7 【例 1】（2021 春•汉阴县期末）下列实数 3π，− ，0， 2，﹣3.1415， 9， 中，无理数有（ 8 3 A．1 个 B．2 个 C．3 个 ） D．4 个 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整 数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选 择项． 7 【解答】解：− 是分数，属于有理数； 8 0， 9 = 3，是整数，属于有理数； ﹣3.1415 是有限小数，属于有理数； 无理数有 3π， 2， 故选：C． 5 3 ，共 3 个． 22 【变式 1-1】（2021 春•乌苏市期末）在实数 3.14，− 7 ，− 9，1.7， 5，0，﹣π，4.262262226…（两个 6 之间依次增加一个“2”）中，无理数有（ A．2 个 B．3 个 ） C．4 个 D．5 个 【分析】根据无理数的三种形式求解． 【解答】解：在实数 3.14，− 22 ，− 9 =−3，1.7， 5，0，﹣π，4.262262226…（两个 6 之间依次增加 7 一个“2”）中，无理数有 5，﹣π，4.262262226…（两个 6 之间依次增加一个“2”），一共 3 个． 故选：B． ⋅ ⋅ 1 【变式 1-2】（2021 春•西双版纳期末）已知下列各数： ，3.14159265，﹣3， 5，π，0.23，0.3131131113… 9 （每相邻两个 3 之间依次多一个 1），其中无理数一共有（ A．1 个 B．2 个 ） C．3 个 D．4 个 【分析】根据无限不循环小数是无理数即可判断无理数的个数． 【解答】解： 5，π，0.3131131113…（每相邻两个 3 之间依次多一个 1）是无理数， 故选：C． 1 � 【变式 1-3】（2021 春•扶沟县期末）下列各数﹣0.101001， 7， ，− 2， 2 − 3，0， 16中，无理数的 4 个数有（ ） A．1 B．2 【分析】根据无理数的定义即可判断． 【解答】解：∵﹣0.101001 是有限小数， ∴﹣0.101001 不是无理数， ∵ 7是无限不循环小数， ∴ 7是无理数， 1 ∵ = 0.25 是有限小数， 4 1 ∴ 不是无理数， 4 ∵π是无限不循环小数， � ∴− 2是无理数， ∵ 2 − 3是无限不循环小数， ∴ 2 − 3是无理数， ∵0 是整数， C．3 D．4 ∴0 不是无理数， ∵ 16 =4 是整数， ∴ 16不是无理数， ∴无理数有 3 个， 故选：C． 【知识点 2 实数的分类】   正整数       整数 0  负整数   有理数    有限小数或无限循环小数      实数  分数 正分数   负分数     正无理数  无理数   无限不循环小数  负无理数  【题型 2 实数的分类】 【例 2】（2021 春•裕华区校级期末）把下列数填入相应的集合中． 3 9， 4， ⋅ 5� 3 ，0.6 ，− 4，3． 3 （1）整数集合 ； （2）分数集合 ； （3）有理数集合 ； （4）无理数集合 ； （5）实数集合 ． 【分析】有理数和无理数统称为实数；整数和分数统称为有理数；常见的无理数有π家族，开方开不尽的 数，无限不循环小数，逐一分析判断即可． 【解答】解：（1）整数集合 9，3； ⋅ 3 （2）分数集合 0. 6，− 4； ⋅ 3 （3）有理数集合 9，0. 6，− 4，3； 5� 3 （4）无理数集合 4， ； 3 3 （5）实数集合 9， 4， 5� 3 ⋅ 3 ，0. 6，− 4，3． 【变式 2-1】（2020 秋•杭州期中）用序号将下列各数填入相应的集合内． ⋅ ⋅ 11 � 3 3 ①− 12，② 2，③− 4，④0，⑤− 0.4，⑥ 8，⑦− 4，⑧0.23，⑨3.14 （1）整数集合{ …}； （2）分数集合{ …}； （3）无理数集合{ …}． 【分析】根据实数的分类：实数分为有理数、无理数．或者实数分为正实数、0、负实数．进行填空． 【解答】解：（1）整数集合{③④⑥…}； （2）分数集合{①⑧⑨…}； （3）无理数集合{②⑤⑦…}． 故答案为：③④⑥；①⑧⑨；②⑤⑦． 【变式 2-2】（2020 春•赣州期中）把下列各数分别填入相应的集合中 ⋅ 5 3 3 0，− 4， 16，3.1415926，− 7，2π， 2 −1，0.13030030003…，0.15， −125 （1）整数集合：{ …} （2）分数集合：{ …} （3）有理数集合：{ …} （4）无理数集合：{ …} 【分析】（1）根据整数的定义选出即可； （2）根据负数和分数的定义选出即可； （3）根据有理数的定义选出即可； （4）根据无理数的定义选出即可． 3 【解答】解： 16 =4， −125 =−5， 3 （1）整数集合：{0， 16， −125，…}； ⋅ 5 （2）分数集合：{− ，3.1415926，0.15，…}； 4 ⋅ 5 3 （3）有理数集合：{0，− ， 16，3.1415926，0.15， −125，…}； 4 3 （4）无理数集合：{− 7，2π， 2 −1，0.13030030003…，…}． ⋅ ⋅ 5 5 3 3 3 故答案为：0， 16， −125；− ，3.1415926，0.15；0，− ， 16，3.1415926，0.15， −125；− 7， 4 4 2π， 2 −1，0.13030030003…． 3 【变式 2-3】（2020 秋•海曙区期中）把下列各数的序号填入相应的括号内①﹣3，②π，③ −27，④﹣ 3.14，⑤ 2，⑥0，⑦ 整数集合{ 22 7 ，⑧﹣1，⑨1.3，⑩1.8080080008…（两个“8”之间依次多一个“0”）． …}； 负分数集合{ …}； 正有理数集合{ …}； 无理数集合{ …}． 【分析】根据有理数的定义及分类方法即可得出答案． 3 【解答】解：∵ −27 =− 3， 又∵整数有正整数和负整数， ∴整数有：①③⑥⑧， 根据负分数的定义知负分数有：④， 根据正有理数的定义知正有理数有：⑦⑨， ∵无理数是指无限不循环小数， ∴无理数有②⑤⑩， 故答案为①③⑥⑧，④，⑦⑨，②⑤⑩． 【题型 3 实数的性质】 3 【例 3】（2020 春•丛台区校级月考）已知，a、b 互为倒数，c、d 互为相反数，则− �� + � + � +1 的平 方根为（ ） A．1 B．﹣1 C．0 D．±1 【分析】直接利用倒数的定义以及相反数的定义分别分析得出答案． 【解答】解：∵a、b 互为倒数，c、d 互为相反数， ∴ab＝1，c+d＝0， 3 则− �� + � + � +1 ＝﹣1+0+1 ＝0． 故选：C． 【变式 3-1】（2020 春•丛台区校级月考）已知实数 a，b，c，d，e，f，且 a，b 互为倒数，c，d 互为相反 1 �+� 3 数，e 的绝对值为 2，f 的算术平方根是 8，求 ab+ 5 +e2+ �的值是（ 2 9 A． + 2 2 9 B． − 2 2 9 C． + 2 9 2或 − 2 2 D． 13 2 ） 【分析】直接利用倒数以及互为相反数、绝对值、算术平方根的定义分别分析得出答案． 【解答】解：∵a，b 互为倒数，c，d 互为相反数，e 的绝对值为 2，f 的算术平方根是 8， ∴ab＝1，c+d＝0，e＝± 2，f＝64， 1 �+� 3 故 ab+ 5 +e2+ � 2 = = 1 +0+2+4 2 13 ． 2 故选：D． 【变式 3-2】（2020 春•渝中区校级月考）已知 x 是整数，当|x− 23|取最小值时，x 的值是（ A．3 B．4 C．5 ） D．6 【分析】根据绝对值的意义，由于 23最接近的整数是 5，可得结论． 【解答】解：∵ 16＜ 23＜ 25，4.52＝20.25＞16， ∴4.5＜ 23＜5， ∴|x− 23|取最小值时，x＝5． 故选：C． 【变式 3-3】（2021 春•营口期末）已知 a、b 满足 −(4 + �)2 = 2021|� − 3|，则 a2+b2 的平方根为 ． 【分析】由二次根式 �中必须 a≥0 可得，﹣（4+a）2≥0，得 4+a＝0 后，a、b 的值就可求解，最终求 得结果． 【解答】解：由题意可得﹣（4+a）2≥0， ∴（4+a）2 0， ≤ 而（4+a）2≥0， ∴4+a＝0， 解得 a＝﹣4， ∴b− 3 =0， 解得 b= 3， ∴a2+b2 的平方根为± ( − 4)2 + ( 3)2 =± 19． 故答案为：± 19． 【题型 4 实数与数轴的关系】 【例 4】（2021 春•德阳期末）如图，数轴上 A，B 两点表示的数分别为﹣1， 5，且 AC＝AB，则点 C 所表 示的数为（ ） A．﹣1+ 5 B．﹣1− 5 C．﹣2− 5 D．1+ 5 【分析】设点 C 表示的数为 x，根据题意列出方程，求出方程的解得到 x 的值，即可确定出点 C 的数即 可． 【解答】解：设点 C 表示的数 x， 根据 AC＝AB 得： 5 −（﹣1）＝﹣1﹣x，即 5 +1＝﹣1﹣x， 解得：x＝﹣2− 5， 则点 C 表示的数为﹣2− 5． 故选：C． 【变式 4-1】（2021 春•景县月考）如图，将面积为 3 的正方形放在数轴上，以表示实数 1 的点为圆心，正 方形的边长为半径，作圆交数轴于点 A、B，则点 A 表示的数为（ A．1− 3 B． 3 −1 C．− 3 −1 【分析】根据算术平方根的定义以及数轴的定义解答即可． ） D． 3 +1 【解答】解：∵正方形的面积为 3， ∴正方形的边长为 3， 即圆的半径为 3， ∴点 A 表示的数为 1− 3． 故选：A． 【变式 4-2】（2021 春•单县期末）数轴上 A、C 两点分别对应实数 1 和 2 3 −1，点 A、C 关于点 B 对称， 则下列各数中，与点 B 所对应的数最接近的是（ A