专题 4.6 实数章末重难点突破 【苏科版】 【考点 1 实数的分类】 【例 1】（2021 秋•鄞州区期中）将下列各数的序号填在相应的集合里． ①π；② 22 7 ⋅ 3 ；③ −8；④3.14； ⑤1.6； ⑥0； ⑦﹣3.3030030003…（每两个 3 之间依次增加一个 0） 整数集合：{ ③⑥ …}； 负数集合：{ ③⑦ …}； 无理数集合：{ ①⑦ …}． 【分析】根据有理数进行分类，分数包括小数，无理数包括无限不循环小数和开方开不尽的数，即可得 出答案． 3 【解答】解： −8 =−2， 整数集合：{③⑥…}； 负数集合：{③⑦…}； 无理数集合：{①⑦…}． 故答案为：③⑥；③⑦；①⑦． 【变式 1-1】（2021 秋•江干区校级期中）用序号将下列各数填入相应的大括号内． 17 � 3 3 ① 2，②− 15，③ 4，④0，⑤− 0.9，⑥3.14，⑦− 4，⑧﹣3.1，⑨ 27． 正整数{ ③，⑨ …}； 负分数{ ②，⑧ …}； 无理数{ ①，⑤，⑦ …}． 【分析】按照实数的分类填写． 3 【解答】解： 4 =2， 27 =3， 正整数 {③，⑨…}， 负分数 {②，⑧…}， 无理数{①，⑤，⑦…}． 故答案为③，⑨；②，⑧；①，⑤，⑦． � 2 【变式 1-2】（2021 秋•曾都区期中）把下列各数填在相应的集合里：−4，3.5，0， ，10%， − ，2019， − 3 3 2.030030003⋯． 3.5，10% 正分数集合：{ 负有理数集合：{ � 无理数集合：{ 非负整数集合：{ 3 …}． 2 ﹣4，− 3 …}． ，﹣2.030030003••• 0，2019 …}． …}． 【分析】根据有理数进行分类，分数包括小数，无理数包括无限不循环小数和开方开不尽的数，即可得 出答案． 【解答】解：正分数集合：{3.5，10%…}． 2 负有理数集合：{﹣4，− 3 ⋯}． � 无理数集合：{ ，﹣2.030030003•••…}． 3 非负整数集合：{0，2019…}． 2 � 故答案为：3.5，10%；﹣4，− 3； ，﹣2.030030003•••；0，2019． 3 【变式 1-3】（2021 秋•连云港月考）把下列各数分别填入相应的集合里． ． 3 1 � 100，﹣0.82，﹣30 ，3.14，﹣2，0，﹣2011，﹣3.1 ， ，− ，2.010010001…． 4 2 7 3 正分数集合：{ 3.14， …}； 7 整数集合：{ 100，﹣2，0，﹣2011 …}； 负有理数集合：{ 非正整数集合：{ 无理数集合：{ ⋅ 1 ﹣0.82，﹣30 ，﹣2，﹣2011，﹣3.1 …}； 2 ﹣2，0，﹣2011 …}； � − ，2.010010001 4 ……}． 【分析】根据分数，有理数，整数以及无理数的概念进行判断即可． 3 【解答】解：正分数集合：{3.14， ，…} 7 整数集合：{ 100，﹣2，0，﹣2011，…} ⋅ 1 负有理数集合：{﹣0.82，﹣30 ，﹣2，﹣2011，﹣3.1，…} 2 非正整数集合；{﹣2，0，﹣2011，…} � 无理数集合：{− ，2.010010001…，…}． 4 ⋅ 3 1 � 故答案为：3.14， ；100，﹣2，0，﹣2011；﹣0.82，﹣30 ，﹣2，﹣2011，﹣3.1；﹣2，0，﹣2011；− ， 4 2 7 2.010010001…． 【考点 2 实数中的判断正误】 【例 2】（2021 秋•萧山区期中）下列说法中正确的个数有（ ①任何实数都可以表示在数轴上；② 81的平方根是±9；③ ） −22 �2 � 3 2 的系数是− 3；④若数 a 由四舍五 入法得到近似数为 7.30，则数 a 的范围是：7.25≤a＜7.35；⑤平方根和立方根都等于它本身的数有 0 和 1；⑥ 2 2 是一个分数． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【分析】根据实数与数轴上的点一一对应判断①；根据算术平方根和平方根的定义判断②；根据单项 式的系数判断③；根据近似数的定义判断④；根据平方根和立方根的性质判断⑤；根据无理数的定义 判断⑥． 【解答】解：实数与数轴上的点一一对应，故①符合题意； 81 =9，9 的平方根是±3，故②不符合题意； 4 这个单项式的系数是− 3，故③不符合题意； 若数 a 由四舍五入法得到近似数为 7.30，则数 a 的范围是：7.295≤a＜7.305，故④不符合题意； 平方根和立方根都等于它本身的数有 0，故⑤不符合题意； 2 2 是无理数，故⑥不符合题意； 符合题意的有 1 个， 故选：A． 【变式 2-1】（2021 秋•和平区校级期中）下列叙述，不正确的个数有（ ） ①所有的正数都是整数 ②|a|一定是正数 ③无限小数一定是无理数 ④（﹣2）2 没有平方根 3 ⑤ 4 =2 A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【分析】根据正数、负数的定义，以及无理数、平方根的定义即可判断． 【解答】解：①所有的正数不一定都是整数，如 0.5，原来的说法不正确； ②|a|一定是非负数，原来的说法不正确； ⋅ ③无限小数不一定是无理数，如 0.3，原来的说法不正确； ④（﹣2）2＝4，4 的平方根是±2，原来的说法不正确； ⑤ 4 =2，原来的说法不正确． 故选：D． 【变式 2-2】（2021 秋•西湖区校级期中）已知 a，b，c 三个数在数轴上的位置如图所示，则下列正确的是 （ ） 1 1 3 ①ab＞0；②a2＞b2；③|b﹣c|＝c﹣b；④ ＞ ；⑤ �＞ 3 � � � A．①②④ B．③④ C．②③⑥ D．④⑤ 【分析】根据数轴上的点表示的数以及大小关系、立方根的定义解决此题． 【解答】解：由题意得：b＜c＜0＜a，|b|＞|a|＞|c|． ①由图得：b＜c＜0＜a，得 ab＜0，故①不正确． ②由题意得：b＜c＜0＜a，|b|＞|a|＞|c|，得 a2＜b2，故②不正确． ③由题意得：b＜c＜0＜a，|b|＞|a|＞|c|，得 b﹣c＜0，故|b﹣c|＝c﹣b，那么③正确． 1 1 ④由题意得：b＜c＜0＜a，|b|＞|a|＞|c|，得 ＞ ，故④正确． � � 3 3 ⑤由题意得：b＜c＜0＜a，|b|＞|a|＞|c|，得 �＜0， 3 �＞0，故 �＜ 3 �，那么⑤不正确． 综上：正确的有③④． 故选：B． � 【变式 2-3】 （2021 秋•鄞州区期中）已知 a，b 为实数，下列说法：①若 ab＜0，且 a，b 互为相反数，则 =−1； � ②若 a+b＜0，ab＞0，则|2a+3b|＝﹣2a﹣3b；③若|a﹣b|+a﹣b＝0，则 b＞a；④若|a|＞|b|，则（a+b） ×（a﹣b）是正数；⑤若 a＜b，ab＜0 且|a﹣3|＜|b﹣3|，则 a+b＞6，其中正确的说法有（ A．2 B．3 C．4 ）个． D．5 【分析】①除 0 外，互为相反数的商为﹣1，可作判断； ②由两数之和小于 0，两数之积大于 0，得到 a 与 b 都为负数，即 2a+3b 小于 0，利用负数的绝对值等 于它的相反数化简得到结果，即可作出判断； ③由 a﹣b 的绝对值等于它的相反数，得到 a﹣b 为非正数，得到 a 与 b 的大小，即可作出判断； ④由 a 绝对值大于 b 绝对值，分情况讨论，即可作出判断； ⑤先根据 a＜b，得 a﹣3＜b﹣3，由 ab＜0 和有理数乘法法则可得 a＜0，b＞0，分情况可作判断． � 【解答】解：①若 ab＜0，且 a，b 互为相反数，则 =−1，本选项正确； � ②若 ab＞0，则 a 与 b 同号，由 a+b＜0，则 a＜0，b＜0，则|2a+3b|＝﹣2a﹣3b，本选项正确； ③∵|a﹣b|+a﹣b＝0，即|a﹣b|＝﹣（a﹣b）， ∴a﹣b≤0，即 a≤b，本选项错误； ④若|a|＞|b|， 当 a＞0，b＞0 时，可得 a＞b，即 a﹣b＞0，a+b＞0，所以（a+b）•（a﹣b）为正数； 当 a＞0，b＜0 时，a﹣b＞0，a+b＞0，所以（a+b）•（a﹣b）为正数； 当 a＜0，b＞0 时，a﹣b＜0，a+b＜0，所以（a+b）•（a﹣b）为正数； 当 a＜0，b＜0 时，a﹣b＜0，a+b＜0，所以（a+b）•（a﹣b）为正数， 本选项正确； ⑤∵a＜b， ∴a﹣3＜b﹣3， ∵ab＜0， ∴a＜0，b＞0， 当 0＜b＜3 时，|a﹣3|＜|b﹣3|， ∴3﹣a＜3﹣b，不符合题意； 所以 b≥3，|a﹣3|＜|b﹣3|， ∴3﹣a＜b﹣3， 则 a+b＞6， 本选项正确； 则其中正确的有 4 个，是①②④⑤． 故选：C． 【考点 3 实数的运算】 【例 3】（2021 秋•西湖区校级期中）计算： （1）（﹣12）+7﹣（﹣8）； 1 3 （2）（− 2）×（﹣1）2022+ 27 − 16． 【分析】（1）直接利用有理数的加减运算法则计算得出答案； （2）直接利用有理数的乘方运算法则以及立方根、算术平方根分别化简，再利用有理数的加减运算法则 计算得出答案． 【解答】解：（1）原式＝﹣12+7+8 ＝3； 1 （2）原式=− ×1+3﹣4 2 1 =− +3﹣4 2 1 ＝﹣1 ． 2 【变式 3-1】（2021 秋•常熟市校级月考）求下列各式中 x 的取值： （1）2x2﹣8＝0． （2）4（2x﹣1）2＝9． 【分析】（1）根据平方根的定义，即可解答； （2）先把方程进行整理，再利用平方根定义开平方即可求出 x 的值． 【解答】解：（1）2x2﹣8＝0， 2x2＝8， x2＝4， x＝±2， ∴x1＝2，x2＝﹣2； （2）4（2x﹣1）2＝9， 9 （2x﹣1）2= 4， 3 2x﹣1=± 2， 5 1 ∴x1= 4，x2=− 4． 【变式 3-2】（2021 秋•丰台区校级期中）计算． （1）（﹣2）2×5﹣（﹣2）3÷4； （2）（﹣2）2﹣|5− 3|． 【分析】（1）直接利用有理数的乘方运算法则化简，再利用有理数的乘除法运算法则计算得出答案； （2）直接利用绝对值的性质以及有理数的乘方运算法则化简，再利用实数的加减运算法则计算得出答案． 【解答】解：（1）（﹣2）2×5﹣（﹣2）3÷4 ＝4×5+8÷4 ＝20+2 ＝22； （2）（﹣2）2﹣|5− 3| ＝4﹣（5− 3） ＝4﹣5+ 3 ＝﹣1+ 3． 【变式 3-3】（2021 秋•渠县校级期中）解方程： （1）（x+1）2﹣0.0