专题 4.4 估算-重难点题型 【苏科版】 【知识点 1 估算法】 （1）若 0  a1  a  a2 ，则 a1  a  a2 ； （2）若 a1  a  a2 ，则 3 a1  3 a  3 a2 ； 根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离 a 最近的两个平方数和立方数，来估算 a 和 3 a 的大 小．例如： 9  a  16 ，则 3  a  4 ； 8  a  27 ，则 2  3 a  3 ． 常见实数的估算值： 2≈1.414 ， 3≈1.732 ， 5≈2.236 ． 【题型 1 估算无理数的范围】 【例 1】（2020 秋•本溪期末）估计 11.6的值在（ ） A．3.2 和 3.3 之间 B．3.3 和 3.4 之间 C．3.4 和 3.5 之间 D．3.5 和 3.6 之间 【解题思路】估算 11.6 的算术平方根，即可得出答案． 【解答过程】解：∵3.52＝12.25，3.42＝11.56，而 12.25＞11.6＞11.56 ∴3.4＜ 11.6＜3.5， 故选：C． 3 【变式 1-1】（2021 春•丰台区校级期末）通过估算，估计 40的值应在（ A．1 与 2 之间 B．2 与 3 之间 C．3 与 4 之间 ） D．4 与 5 之间 【解题思路】因为 33＝27，43＝64，由 27＜40＜64，得 40的值在 3 和 4 之间，即可解答． 3 【解答过程】解：∵27＜40＜64， 3 ∴3＜ 40＜4． 故选：C． 【变式 1-2】（2021•江阳区一模）已知� = 8 + 9，则以下对 m 的估算正确的是（ A．3＜m＜4 B．4＜m＜5 C．5＜m＜6 ） D．6＜m＜7 【解题思路】估算确定出 8的范围，计算 9 =3，进而确定出 m 的范围即可． 【解答过程】解：∵2＜ 8＜3， 9 =3， ∴5＜ 8 +3＜6， ∵m= 8 + 9 =3+ 8， ∴m 的范围为 5＜m＜6． 故选：C． 【变式 1-3】（2021 春•沙坪坝区校级期末）估算 5 6 − 54的值是在（ A．3 和 4 之间 B．4 和 5 之间 C．5 和 6 之间 ） D．6 和 7 之间 【解题思路】由题意得原式＝2 6，根据 4＜ 24＜5 即可得解． 【解答过程】解：∵ 54 =3 6， ∴5 6 − 54 =2 6 = 24， ∵4＜ 24＜5， ∴估算 5 6 − 54的值在 4 和 5 之间， 故选：B． 【题型 2 已知无理数的范围求值】 【例 2】（2021 春•蚌埠期末）若两个连续整数 x，y 满足 x＜ 5 +2＜y，则 x+y 的值是（ A．5 B．7 C．9 ） D．11 【解题思路】先利用“夹逼法”求 5的整数部分，再利用不等式的性质可得 5 +2 在哪两个整数之间， 进而求解． 【解答过程】解：∵4＜5＜9， ∴2＜ 5＜3， ∴4＜ 5 +2＜5， ∵两个连续整数 x、y 满足 x＜ 5 +2＜y， ∴x＝4，y＝5， ∴x+y＝4+5＝9． 故选：C． 3 【变式 2-1】（2021•九龙坡区校级模拟）已知整数 m 满足 8＜�＜ 10，则 m 的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【解题思路】本题从 10的整数大小范围出发，然后确定 m 的大小． 3 3 【解答过程】解：∵ 8 =2，3＜ 10＜4， 8＜m＜ 10， ∴2＜m≤3． ∵m 是整数， ∴m＝3， 故选：B． 【变式 2-2】（2021•永安市一模）若 a＜ 28 − 7＜a+1，其中 a 为整数，则 a 的值是（ A．1 B．2 C．3 ） D．4 【解题思路】先把 28 − 7化简，再估算 7的范围即可． 【解答过程】解： 28 − 7 = 2 7 − 7 = 7， ∵22＜7＜32， ∴2＜ 7＜3， ∵a＜ 28 − 7＜a+1，其中 a 为整数， ∴a＝2． 故选：B． 【变式 2-3】（2021•北京）已知 432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116．若 n 为整数且 n＜ 2021＜ n+1，则 n 的值为（ A．43 ） B．44 C．45 D．46 【解题思路】先写出 2021 所在的范围，再写 2021的范围，即可得到 n 的值． 【解答过程】解：∵1936＜2021＜2025， ∴44＜ 2021＜45， ∴n＝44， 故选：B． 【题型 3 估算无理数最接近的值】 【例 3】（2021•玄武区二模）下列整数中，与 10− 30最接近的是（ A．3 B．4 C．5 【解题思路】先估算出 30的范围，再估算 10− 30的范围即可． 【解答过程】解：∵25＜30＜36，30 离 25 更近， ） D．6 ∴5＜ 30＜6，且更接近 5， ∴﹣6＜ − 30＜ −5，且更接近﹣5， ∴4＜10− 30＜5，且更接近 5． 故选：C． 【变式 3-1】（2021•九龙坡区校级模拟）下列整数中，与 4+2 6的值最接近的是（ A．7 B．8 C．9 ） D．10 【解题思路】先估算出 6的大小，进而估算出 2 6的大小，从而得出与 4+2 6的值最接近的整数． 【解答过程】解：因为 2.42＜6＜2.52， 所以 2.4＜ 6＜2.5， 所以 4.8＜2 6＜5， 所以 8.8＜4 + 2 6＜9， 所以与 4+2 6的值最接近的是 9． 故选：C． 【变式 3-2】（2021 春•厦门期末）若 m＝5n（m、n 是正整数），且 10＜ �＜12，则与实数 �的最大值 最接近的数是（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【解题思路】根据 m 的取值范围确定 n 的取值，再根据 m、n 为整数，确定 n 的最大值，再估算即可． 【解答过程】解：∵10＜ �＜12， ∴100＜m＜144， ∴20＜ � ＜28.8， 5 即 20＜n＜28.8， 又∵m、n 是正整数， ∴n 的最大值为 28， ∵25 比 36 更接近 28， ∴ �的值比较接近 25，即比较接近 5， 故选：B． 3 【变式 3-3】（2021 春•赣州期末）与实数 9 −1 最接近的整数是 3 3 ． 【解题思路】首先估算 9最接近 2，从而求出 9 −1 的结果最接的整数是 1． 3 3 3 【解答过程】解：∵ 8＜ 9＜ 27， 3 即 2＜ 9＜3， 3 且 9更接近于 2， 3 ∴实数 9 −1 最接的整数是 1． 故答案应为：1． 【题型 4 无理数整数、小数部分问题】 【例 4】（2021 春•岚山区期末）我们知道 2是一个无限不循环小数，因此 2的小数部分我们不可能全部写 出来．因为 2的整数部分为 1，所以 2减去其整数部分，差就是 2的小数部分，所以用 2 −1 来表示 2 的小数部分．根据这个方法完成下列问题： （1） 43的整数部分为 ，小数部分为 ； （2）已知 17的整数部分 a，6− 3的整数部分为 b，求 a+b 的立方根． 【解题思路】（1）根据 6＜ 43＜7 求 43的整数部分和小数部分； （2）求 17的整数部分 4，6− 3的整数部分为 4，得 a+b 的立方根． 【解答过程】解：（1）∵6＜ 43＜7， ∴整数部分为 6，小数部分为 故答案为：6、 43 −6． 43 −6． （2）∵4＜ 17＜5， ∴a＝4． ∵4＜6− 3＜5， ∴b＝4． 3 ∴ � + � =2． 【变式 4-1】（2021 春•昭通期末）阅读材料： ∵ 4＜ 5＜ 9，即 2＜ 5＜3， ∴0＜ 5 −2＜1， ∴ 5的整数部分为 2， 5的小数部分为 5 −2． 解决问题： （1）填空： 7的小数部分是 ； （2）已知 a 是 90的整数部分，b 是 3的小数部分，求 a+b− 3的立方根． 【解题思路】（1）根据求 2＜ 7＜3 无理数的取值范围，进而得实数小数部分； （2）由 9＜ 90＜10 得 a 的值，1＜ 3＜2 得 b 的值，再进行相应的计算． 【解答过程】解：（1）∵2＜ 7＜3， ∴ 7的整数部分是 2， ∴小数部分是 7 − 2． 故答案为： 7 −2． （2）∵9＜ 90＜10， ∴a＝9． ∵1＜ 3＜2， ∴b= 3 −1， ∴a+b− 3 =8， ∴a+b− 3的立方根＝2． 【变式 4-2】（2021 春•福州期末）阅读下列内容：因为 1＜2＜4，所以 1＜ 2＜2，所以 2的整数部分是 1， 小数部分是 2 −1． 试解决下列问题： （1）求 13的整数部分和小数部分； （2）若已知 9+ 13和 9− 13的小数部分分别是 a 和 b，求 ab﹣3a+4b+8 的值． 【解题思路】（1）仿照阅读材料，即可求出 13的整数部分和小数部分； （2）先求出 9+ 13和 9− 13的小数部分，得到 a，b 的值，再代入求值即可． 【解答过程】解：（1）∵9＜13＜16， ∴3＜ 13＜4， ∴ 13的整数部分是 3，小数部分是 13 −3； （2）∵9+ 13小数部分是 13 −3，9− 13的整数部分是 5， ∴9− 13的小数部分是 9− 13 −5＝4− 13， ∴a= 13 −3，b＝4− 13， ∴原式＝（ 13 −3）（4− 13）﹣3（ 13 −3）+4（4− 13）+8 ＝4 13 −13﹣12+3 13 −3 13 +9+16﹣4 13 +8 ＝8． 【变式 4-3】（2021 春•恩施市月考）阅读下列信息材料： 信息 1：因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：π、 2 等，而常用的“…”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确． 信息 2：2.5 的整数部分是 2，小数部分是 0.5，可以看成 2.5﹣2 得来的； 信息 3：任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间，如 2＜ 5＜3，是因为 4＜ 5＜ 9：根据 上述信息，回答下列问题： （1） 13的整数部分是 ，小数部分是 ． （2）10+ 3也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为 a＜10+ 3＜b 则 a+b＝ ． （3）若 30 −3＝x+y，其中 x 是整数，且 0＜y＜1，请求 x﹣y 的相反数． 【解题思路】（1）先估算 13在哪两个整数之间，即可确定 13的整数部分和小数部分； （2）先估算出 3的整数部分，再利用不等式的性质即可确定答案； （3）先求出 30的整数部分，得到 30 −3 的