专题 4.2 立方根-重难点题型 【苏科版】 【知识点 1 立方根的概念及性质】 （1）一般地，如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根或三次方根。即如果 x3=a，那么 x 叫 做 a 的立方根，记作 3 a 。即 x  3 a 。 （2）正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0 的立方根是 0. 【题型 1 立方根的概念及性质】 【例 1】（2021 春•仓山区期中）如果﹣a 是 b 的立方根，那么下列结论正确的是（ A．a 是﹣b 的立方根 B．a 是 b 的立方根 C．﹣a 是﹣b 的立方根 D．±a 都是 b 的立方根 【解题思路】根据立方根的定义推导即可得出结论． 【解答过程】解：根据题意得：（﹣a）3＝b， ∴﹣a3＝b， ∴a3＝﹣b， ∴a 是﹣b 的立方根， 故选：A． 【变式 1-1】（2021 春•海淀区校级月考）下列结论正确的是（ A．64 的立方根是±4 C．若 � = 3 �，则 a＝1 1 B．− 9没有立方根 3 3 D． −27 =− 27 ） ） 【解题思路】根据立方根的定义解答即可． 【解答过程】解：A．正数的立方根只有一个，64 的立方根是 4，该选项错误，不符合题意； B．负数也有立方根，该选项错误，不符合题意； C．a 也可以等于 0，该选项错误，不符合题意； 3 3 D． −27 =−3，− 27 =−3，所以该选项正确，符合题意． 故选：D． 【变式 1-2】（2021 春•白云区期末）下列说法正确的是（ ） 3 A．64 的立方根是± 64 =± 4 1 1 B．− 2是− 6的立方根 3 3 C． −27 =− 27 D．立方根等于它本身的数是 0 和 1 【解题思路】根据立方根的定义分别对每一项进行分析即可得出答案． 【解答过程】解：A、64 的立方根是 4，故本选项错误； 1 1 B、− 2不是− 6的立方根，故本选项错误； 3 3 3 3 C、 −27 =−3，− 27 =−3，则 −27 =− 27正确； D、立方根等于它本身的数是 0 和±1，故本选项错误； 故选：C． 【变式 1-3】（2020 春•闽侯县期中）若有 3 � + 3 � =0，则 x 和 y 的关系是（ A．x＝y＝0 B．x﹣y＝0 C．xy＝1 D．x+y＝0 【解题思路】根据已知和立方根的性质得出 x＝﹣y，即可得出 x 与 y 的关系． 【解答过程】解：∵ 3 � + 3 � =0， ∴ 3 � =− 3 �， ∴x＝﹣y， ∴x 与 y 的关系是 x+y＝0． 故选：D． 【知识点 2 开立方】 ） 求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 【题型 2 开立方的运算】 【例 2】（2020 秋•滦州市期中）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的数 x 为﹣512 时，输出的数 y 的值是（ 3 A．− 2 ） 3 B． 2 C．﹣2 D．2 【解题思路】把﹣512 按给出的程序逐步计算即可． 【解答过程】解：由题中所给的程序可知：把﹣512 取立方根，结果为﹣8， 因为﹣8 是有理数，所以再取立方根为﹣2， 3 3 ﹣2 是有理数，所以再取立方根为 −2 =− 2， 3 3 因为− 2是无理数，所以输出− 2， 故选：A． 【变式 2-1】（2021 春•雨花区校级月考）根据图中呈现的运算关系，可知 a＝ ，b＝ 【解题思路】利用立方根和平方根的定义及性质即可解决问题． 【解答过程】解：依据图中呈现的运算关系，可知 2020 的立方根是 m，a 的立方根是﹣m， ∴m3＝2020，（﹣m）3＝a， ∴a＝﹣2020； 又∵n 的平方根是 2020 和 b， ∴b＝﹣2020． 故答案为：﹣2020，﹣2020． 3 【变式 2-2】（2021 春•汉阳区期末）已知 1 − �2 = 1 − �2 ，则 a＝ ． 【解题思路】根据立方根等于它本身的数有 0，1，﹣1，列式分别进行计算即可求出 a 的值． 【解答过程】解：根据题意，一个数的立方根等于它本身， ． ∴①1﹣a2＝0， 解得 a＝±1， ②1﹣a2＝1， 解得 a＝0， ③1﹣a2＝﹣1， 解得 a＝± 2， 综上所述，a＝±1，0，± 2． 故答案为：±1，0，± 2． 【变式 2-3】（2021 春•浦东新区校级月考）已知 3 � =−0.056，a＝106b，那么 � = 3 ． 【解题思路】根据立方根的定义解答可得． 【解答过程】解：因为 a＝106b， 所以 106b＝a， 所以 b＝a÷106， 因为 3 � =−0.056， 所以 a＝（﹣0.056）3＝﹣0.000175616， 所以 � =5.6×10 4． 3 ﹣ 故答案为：5.6×10 4． ﹣ 【题型 3 开立方运算中的小数点移动规律】 3 3 3 3 【例 3】（2021 春•望城区期末）已知 8 =2， 8000 =20， 0.008 =0.2，则 8000000 = ． 【解题思路】根据题意得出，当被开三次方数的小数点向左或向右移动 3 位，立方根的小数点则向左或 向右移动 1 位，求解即可． 3 3 3 【解答过程】解：∵ 8 =2， 8000 =20， 0.008 =0.2， 3 ∴ 8000000 =200， 故答案为：200． 3 3 【变式 3-1】（2021 春•重庆月考）若 3 ≈1.732， 30 ≈5.477， 1728 =12， 17.28 ≈2.585，则 300 ≈ 3 1.728 = ， ． 【解题思路】当被开方数扩大（或缩小）为原来的 100 倍，其算术平方根扩大（或缩小）为原来的 10 倍．当 被开方数扩大（或缩小）为原来的 1000 倍，其立方根扩大（或缩小）为原来的 10 倍．其余的依此类推， 利用这个规律即可解决问题． 【解答过程】解：∵ 3 ≈1.732， ∴ 300 ≈17.32， 3 ∵ 1728 =12， 3 ∴ 1.728 =1.2． 故答案为：17.32，1.2． 3 3 3 3 【变式 3-2】（2021 春•天津期中）已知 1.12 ≈1.038， 11.2 ≈2.237， 112 ≈4.820，则 −11200 ≈ ． 【解题思路】根据被开方数小数点移 3 位，开立方后的结果移一位进行计算． 3 【解答过程】解：∵ 11.2 ≈2.237， 3 ∴ −11200 ≈−22.37． 故答案为：﹣22.37． 3 3 【变式 3-3】（2019 春•海淀区校级月考）已知 2.14 ≈1.463， 21.4 ≈4.626， 0.214 ≈0.5981， 2.14 ≈.289， 若 � ≈46.26，则 x＝ ；若 3 � ≈−5.981，则 y＝ ． 【解题思路】根据算术平方根的特点：算术平方根的小数点向右（或向左）移动一位，则被开方数的小 数点向右（或向左）移动 2 位，立方根的特点：立方根的小数点向右（或向左）移动一位，则被开方数 向右（或向左）移动 3 位，然后进行解答即可． 【解答过程】解：∵ 21.4 ≈4.626， � ≈ 46.26， ∴x＝2140， 3 ∵ 0.214 ≈0.5981， 3 � ≈− 5.981， ∴y＝﹣214， 故答案为：2140，﹣214． 【题型 4 利用开立方解方程】 【例 4】（2021 春•连山区月考）（1）已知 9（x+1）2＝4，求 x 的值； （2）已知 8（x﹣1）3=− 125 ，求 x 的值． 8 【解题思路】（1）方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解； （2）方程整理后，利用立方根定义开立方即可求出解． 4 【解答过程】解：（1）方程整理得：（x+1）2= 9， 2 开方得：x+1＝± ， 3 1 5 解得：x1=− 3，x2=− 3； 125 （2）方程整理得：（x﹣1）3=− 64 ， 5 开立方得：x﹣1=− ， 4 1 解得：x=− 4． 【变式 4-1】（2021 春•郧西县月考）求 x 的值： （1）（x﹣1）2＝4； （2）9x3+ 64 =x3− ( − 19)2 ． 【解题思路】（1）根据平方根的定义解答； （2）根据立方根的定义解答． 【解答过程】解：（1）（x﹣1）2＝4， ∴x﹣1＝±2， ∴x＝3 或﹣1； （2）9x3+ 64 =x3− ( − 19)2 ， ∴9x3+8＝x3﹣19， ∴9x3﹣x3＝﹣19﹣8， ∴8x3＝﹣27， 27 ∴x3=− 8 ， 3 ∴x=− 2． 【变式 4-2】（2021 春•江汉区期中）求下列各式中 x 的值： （1）（x﹣1）2＝4； 1 （1） （2x+3）3+2＝0． 4 【解题思路】（1）根据平方根的意义计算； （2）根据立方根的意义计算． 【解答过程】解：（1）x﹣1＝2 或﹣2， ∴x＝3 或一 1； 1 （2） （2x+3y）3＝﹣2， 4 ∴（2x+3）3＝﹣8， ∴2x+3＝﹣2， 5 ∴x=− ． 2 3 3 【变式 4-3】（2021•天宁区校级模拟） 2� − 1 + 5� + 8 =0，则 x 的值是（ A．﹣3 B．﹣1 C． 3 1 2 ） D．无选项 3 【解题思路】根据题意，对原方程变形为 2� − 1 =− 5� + 8，即可得到有 2x﹣1＝﹣5x﹣8，解方程即 可得出 x 的值． 3 3 【解答过程】解： 2� − 1 + 5� + 8 =0， 3 3 即 2� − 1 =− 5� + 8， 故有 2x﹣1＝﹣5x﹣8 解之得 x＝﹣1， 故选：B． 【题型 5 平方根与立方根综合】 【例 5】（2020 春•合川区期末）已知 M= 5� + 2�是 9 的算术平方根，7a+3b﹣1 的平方根为±4， 3 N= −2� − �，则 M+2N 的立方根为（ A．﹣1 B．1 ） C．﹣2 D．2 【解题思路】根据平方根、算术平方根、立方根的意义 a、b 的值，再求出 M、N 的值，进而求出 M+2N 的立方根即可． 【解答过程】解：∵9 的算术平方根是 3， ∴M= 5� + 2� =3， ∴5a+2b＝9， 又∵7a+3b﹣1 的平方根为±4， ∴7a+3b﹣1＝16， ∴ 5� + 2� = 9 ， 7� + 3� − 1 = 16 解得 a＝﹣7，b＝22， ∴N= 3 −2� − � = 3 14 − 22 = 3 −8 =−2， ∴M+2N＝3+2×（﹣2）＝3﹣4＝﹣1， 而﹣1 的立方根为﹣