专题 4.1 平方根-重难点题型 【苏科版】 【知识点 1 平方根的概念及表示】 ①定义：如果�� = �(� ≥ �)，那么�叫做�的平方根，也称为二次方根. ②表示方法：正数�的正的平方根记作 �，负的平方根记作− �，正数�的两个平方根记作± �，读作正、 负根号�，其中�叫做被开方数. 【题型 1 平方根的概念及表示】 4 2 【例 1】（2021 春•景县月考）“ 的平方根是± ”用数学式子可表示为（ 3 9 2 4 A． 9 =± 3 4 2 B． 9 = 3 2 4 C．± 9 =± 3 ） 4 2 D．− 9 =− 3 【分析】根据一个正数有两个平方根，可得平方根的表示方法． 4 2 【解答】解：± 9 =± 3， 故选：C． 【点评】本题考查了平方根，注意一个正数有两个平方根． 【变式 1-1】（2020 秋•惠山区校级月考）下列语句正确的是（ A．10 的平方根是 100 C．﹣2 是﹣4 的平方根 ） B．100 的平方根是 10 4 2 D． 的平方根是± 9 3 【分析】根据一个正数的平方根有两个，且互为相反数可对 A、B、D 进行判断；根据负数没有平方根可 对 C 进行判断． 【解答】解：A、10 的平方根是± 10，所以 A 选项错误； B、100 的平方根是±10，所以 B 选项错误； C、﹣4 没有平方根，所以 C 选项错误； 4 2 D、 的平方根为± ，所以 D 选项正确． 9 3 故选：D． 【点评】本题考查了平方根的定义：若一个数的平方等于 a，那么这个数叫 a 的平方根，记作± �（a ≥0）． 【变式 1-2】（2020 春•潮南区期末）实数 1﹣3a 有平方根，则 a 可以取的值为（ A．0 B．1 C．2 ） D．3 【分析】根据平方根的性质求出 a 的范围，从而得出答案． 【解答】解：∵实数 1﹣3a 有平方根， ∴1﹣3a≥0， 1 解得 a≤ 3， 故选：A． 【点评】本题主要考查平方根，平方根的性质：正数 a 有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0； 负数没有平方根． 【变式 1-3】（2021•九龙坡区期中）若﹣2xay 与 5x3yb 的和是单项式，则（a+b）2 的平方根是（ A．2 B．±2 C．4 ） D．±4 【分析】若﹣2xay 与 5x3yb 的和是单项式，可知﹣2xay 与 5x3yb 是同类项，根据同类项的定义求出 a，b， 再代入计算即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：﹣2xay 与 5x3yb 是同类项， ∴a＝3，b＝1， ∴（a+b）2＝（3+1）2＝16，16 的平方根是±4． 故选：D． 【点评】本题考查合并同类项，解题的关键正确理解同类项的定义，本题属于基础题型． 【知识点 2 平方根的性质】 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． 【题型 2 平方根的性质】 【例 2】（2021 春•阳谷县月考）已知 3m﹣1 和﹣2m﹣2 是某正数 a 的平方根，则 a 的值是（ A．3 1 C．3 或− 5 B．64 D．64 或 ） 64 25 【分析】3m﹣1 与﹣2m﹣2 相等或者互为相反数，分别求出 m 的值，再求出 3m﹣1 的值，最后求出 a 的 值． 【解答】解：根据题意得：3m﹣1＝﹣2m﹣2 或 3m﹣1+（﹣2m﹣2）＝0， 1 解得：m=− 5或 3， 1 当 m=− 5时， 8 3m﹣1=− 5， 64 ∴a= 25； 当 m＝3 时， 3m﹣1＝8， ∴a＝64； 故选：D． 【点评】本题考查了平方根的定义，体现了分类讨论的数学思想，解题时不要漏解． 【变式 2-1】（2020 春•孟村县期中）已知正实数 x 的两个平方根是 m 和 m+b． （1）当 b＝8 时，m 的值是 ； （2）若 m2x+（m+b）2x＝4，则 x＝ ． 【分析】（1）利用正实数平方根互为相反数即可求出 m 的值； （2）利用平方根的定义得到（m+b）2＝x，m2＝x，代入式子 m2x+（m+b）2x＝4 即可求出 x 值． 【解答】解：（1）∵正实数 x 的平方根是 m 和 m+b ∴m+m+b＝0， ∵b＝8， ∴2m+8＝0 ∴m＝﹣4； （2）∵正实数 x 的平方根是 m 和 m+b， ∴（m+b）2＝x，m2＝x， ∵m2x+（m+b）2x＝4， ∴x2+x2＝4， ∴x2＝2， ∵x＞0， ∴x= 2． 故答案为：（1）4；（2） 2． 【点评】本题考查了平方根的定义及平方根的性质，熟练掌握这两个知识点是解题的关键． 【变式 2-2】（2020 春•高新区校级期中）已知 2x﹣y 的平方根为±3，﹣4 是 3x+y 的一个平方根，求 x﹣y 的平方根． 【分析】根据平方根的意义可知 2x﹣y＝9，3x+9＝16，进而求出 x、y 的值，代入求出 x﹣y 的值，最后 求出其平方根． 【解答】解：∵2x﹣y 的平方根为±3， ∴2x﹣y＝9， 又∵﹣4 是 3x+y 的一个平方根， ∴3x+y＝16， ∴x＝5，y＝1， 因此 x﹣y＝5﹣1＝4， 所以 4 的平方根为±2， 答：x﹣y 的平方根为±2． 【点评】本题考查平方根的意义和计算方法，理解平方根的意义是解决问题的前提． 【变式 2-3】（2021 春•东城区校级期中）已知正实数 x 的平方根是 n 和 n+a（a＞0）． （1）当 a＝6 时，求 n 的值； （2）若 n2+（n+a）2＝8，求 a﹣n 的平方根． 【分析】（1）利用正实数平方根互为相反数即可求出 a 的值； （2）利用平方根的定义得到（n+a）2＝x，a2＝x，代入式子 n2x2+（n+a）2x2＝10 即可求出 x 值． 【解答】解：（1）∵正实数 x 的平方根是 n 和 n+a， ∴n+n+a＝0， ∵a＝6， ∴2n+6＝0 ∴n＝﹣3； （2）∵正实数 x 的平方根是 n 和 n+a， ∴（n+a）2＝x，n2＝x， ∵n2+（n+a）2＝8， ∴x+x＝8， ∴x＝4， ∴n＝﹣2，n+a＝2，即 a＝4， ∴a﹣n＝6， a﹣n 的平方根是± 6． 【点评】本题考查了平方根的定义及平方根的性质，熟练掌握这两个知识点是解题的关键． 【知识点 3 开平方】 求一个数的平方根的运算叫做开平方． 【题型 3 利用开平方解方程】 【例 3】（2021 春•巴楚县月考）求下列各式中 x 的值： 4 （1）x2﹣5= ； 9 （2）3x2﹣15＝0； （3）2（x+1）2＝128． 【分析】（1）移项后合并同类项，再开方即可； （2）先移项，方程两边除以 3，再开方即可； （3）方程两边除以 2，再开方即可． 4 【解答】解：（1）x2﹣5= 9， 49 x2= 9 ， x=± 49 ， 9 7 7 x1= ，x2=− ； 3 3 （2）3x2﹣15＝0， 3x2＝15， x2＝5， x=± 5； （3）2（x+1）2＝128， （x+1）2＝64， x+1＝±8， x1＝﹣9；x2＝7． 【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键． 【变式 3-1】（2021 春•岷县月考）求下列各式中 x 的值． （1）（2x﹣1）2＝25． 121 （2）x2− 49 =0． 【分析】（1）根据平方根的定义求解即可； （2）先移项，再根据平方根的定义求解即可． 【解答】解：（1）∵（2x﹣1）2＝25， ∴2x﹣1＝5 或 2x﹣1＝﹣5， ∴x＝3 或 x＝﹣2． 121 （2）∵x2− 49 =0， 121 ∴x2= 49 ， ∴x= 11 11 或 x=− ． 7 7 【点评】此题考查了平方根的定义，熟记平方根的定义是解题的关键． 【变式 3-2】（2020 秋•甘州区校级期中）求满足下列各式的未知数 x． （1）（x﹣1）2﹣49＝0； 1 （2） (� − 2)2 −8＝0． 8 【分析】（1）根据平方根的定义进行求解即可得出答案； （2）先把要求的式子化成（x﹣2）2＝64，再根据平方根的定义进行求解即可． 【解答】解：（1）∵（x﹣1）2﹣49＝0， ∴（x﹣1）2＝49， ∴x﹣1＝±7， ∴x1＝8，x2＝﹣6． 1 （2）∵ (� − 2)2 −8＝0， 8 1 ∴ (� − 2)2 =8， 8 ∴（x﹣2）2＝64， ∴x﹣2＝±8， ∴x1＝10，x2＝﹣6． 【点评】本题考查了平方根的定义，掌握平方根的求法是解题的关键． 【变式 3-3】（2020 春•中山区期末）定义：等号两边都是整式，只含有⼀个未知数，且未知数的最高次数 是 2 的⽅程，叫做⼀元⼆次⽅程． 如 x2＝9，（x﹣2）2＝4，3x2+2x﹣1＝0…都是⼀元⼆次⽅程．根据平⽅根的特征，可以将形如 x2＝a（a ≥0）的⼀元⼆次⽅程转化为⼀元⼀次⽅程求解． 如：解方程 x2＝9 的思路是：由 x＝± 9，可得 x1＝3，x2＝﹣3． 解决问题： （1）解方程（x﹣2）2＝4． 解：∵x﹣2＝± 4， ∴x﹣2＝2，或 x﹣2＝ ∴x1＝4，x2＝ ． ． （2）解方程：（3x﹣1）2﹣25＝0． 【分析】根据例题运用平方根解一元二次方程的方法解答即可． 【解答】解：（1）∵x﹣2＝± 4， ∴x﹣2＝2，或 x﹣2＝﹣2． ∴x1＝4，x2＝0． （2）∵（3x﹣1）2﹣25＝0 ∴（3x﹣1）2＝25， ∴3x﹣1＝± 25， ∴3x﹣1＝5，或 3x﹣1＝﹣5． 4 ∴x1＝2，x2=− 3． 故答案为：﹣2，0． 【点评】此题主要考查了平方根的定义，熟练掌握例题运用平方根解一元二次方程的方法是解本题的关 键． 【知识点 4 算术平方根的概念】 正数�有两个平方根± �，我们把正数�的正的平方根 �，叫做�的算术平方根． 【题型 4 算术平方根的概念】 81 【例 4】（2021 春•红桥区期中） 16的算术平方根是 ． 【分析】直接利用算术平方根的定义得出答案． 【解答】解：∵ ∴ 81 9 = ， 16 4 3 81 的算术平方根是： ． 16 2 3 故答案为： ． 2 【点评】此题主要考查了算术平方根，正确掌握相关定义是解题关键． 【变式 4-1】（2021 春•郧西县月考）下列说法正确的是（ ） A．﹣4 是（﹣4）2 的算术平方根 B．±4 是（﹣4）2 的算术平方根 C． 16的平方根是﹣2 D．﹣2 是 16的一个平方根 【分析】根据算术平方根、平方根的定义求解判断即可． 【解答】解：A，﹣4 是（﹣4）2 的负的平方根，故此说法不符合题