专题 3.4 勾股定理章末重难点突破 【苏科版】 【考点 1 勾股定理的证明】 【例 1】（2021 春•宁津县期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理 的是（ ） A． B． C． D． 【分析】先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可． 1 1 1 1 【解答】解：A、∵ �� + c2+ ab= （a+b）（a+b）， 2 2 2 2 ∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； 1 B、∵4× 2 �� +c2＝（a+b）2， ∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； 1 C、∵4× �� +（b﹣a）2＝c2， 2 ∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式 1-1】（2021 春•巢湖市期末）我们根据图形的移、拼、补可以简单直观地推理验证数学规律和公式， 这种方法称之为“无字证明”，它比严谨的数学证明更为优雅与有条理．下面是用三块全等的直角三角 形移、拼、补所形成的“无字证明”图形． （1）此图可以用来证明你学过的什么定理？请写出定理的内容； （2）已知直角三角形直角边长分别为 a、b，斜边长为 c，图 1、图 2 的面积相等，请你根据此图证明（1） 中的定理． 【分析】（1）直接写出勾股定理的内容即可； （2）分别表示出图 1 和图 2 的面积化简即可． 【解答】解：（1）勾股定理： 直角三角形的两条直角边长分别为 a、b，斜边长为 c，那么 a2+b2＝c2； 1 （2）图 1 的面积为：S1= 2 �� × 3 + �2 + �2 ， 1 图 2 的面积为 S2= 2 �� × 3 + �2 ， ∵图 1、图 2 的面积相等， 1 1 ∴ �� × 3 + �2 + �2 = �� × 3 + �2 ， 2 2 ∴a2+b2＝c2． 【变式 1-2】（2021 春•前郭县月考）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个 正方形．它是美丽的弦图．其中四个直角三角形的直角边长分别为 a，b（a＜b），斜边长为 c． （1）结合图①，求证：a2+b2＝c2； （2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形 ABCDEFGH．若该图 形的周长为 24，OH＝3，求该图形的面积； （3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形 PQMN，记正方形 PQMN、正方形 ABCD、 正方形 EFGH 的面积分别为 S1、S2、S3，若 S1+S2+S3＝18，则 S2＝ ． 【分析】（1）根据正方形的面积公式证明解答即可； （2）根据勾股定理和三角形面积公式解答即可； （3）设正方形 EFGH 面积为 x，设其他八个全等的三角形面积为 y，根据题意得出方程解答即可． 【解答】证明：（1）�小正方形 = (� − �)2 = �2 − 2�� + �2 ， 1 �小正方形 = �2 − 4 × �� = �2 − 2��， 2 即 b2﹣2ab+a2＝c2﹣2ab， ∴a2+b2＝c2； （2）∵AB+BC＝24÷4＝6， 设 AH＝BC＝x，则 AB＝6﹣x， 在 Rt△HOG 中，由勾股定理得，OH2+OG2＝GH2， 即 32+（3+x）2＝（6﹣x）2， 解得：x＝1， 1 ∴� = 2 × 3 × (3 + 1) × 4 = 24； （3）设正方形 EFGH 面积为 x，设其他八个全等的三角形面积为 y， ∵S1+S2+S3＝18， ∴S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x， ∴S1+S2+S3＝3x+12y＝18， ∴x+4y＝6， ∴S2＝6． 故答案为：6． 【变式 1-3】（2020 秋•高邮市期中）数学实验室：制作 4 张全等的直角三角形纸片（如图 1），把这 4 张 纸片拼成以弦长 c 为边长的正方形构成“弦图”（如图 2），古代数学家利用“弦图”验证了勾股定理． 探索研究： （1）小明将“弦图”中的 2 个三角形进行了旋转，得到图 3，请利用图 3 证明勾股定理； 数学思考： （2）小芳认为用其它的方法改变“弦图”中某些三角形的位置，也可以证明勾股定理．请你想一种方法 支持她的观点（先在备用图中补全图形，再予以证明）． 【分析】（1）通过图形的面积的两种计算方法，即可得出结果； （2）通过大正方形面积的两种计算方法，即可得出结果． 【解答】解：（1）如图 3 所示 1 ∵图形的面积表示为 a2+b2+2× ab＝a2+b2+ab， 2 1 图形的面积也可表示为 c2+2× ab＝c2+ab； 2 ∴a2+b2+ab＝c2+ab， ∴a2+b2＝c2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． （2））如图 4 所示： ∵大正方形的面积表示为（a+b）2； 1 大正方形的面积也可表示为 c2+4× ab 2 1 ∴（a+b）2＝c2+4× ab， 2 a2+b2+2ab＝c2+2ab， ∴a2+b2＝c2； 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 【考点 2 赵爽弦图的应用】 【例 2】（2021 春•潮阳区期末）如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF 和△DAE 是四个全等的直 角三角形，四边形 ABCD 和 EFGH 都是正方形．如果 AB＝10，AH＝6，那么 EF 等于（ A．8 B．6 C．4 ） D．2 【分析】由全等三角形的性质和勾股定理求得 AE＝8，HE＝2，再由正方形的性质即可得出答案． 【解答】解：∵△ABH、△BCG、△CDF 和△DAE 是四个全等的直角三角形， ∴AH＝DE＝6，AD＝AB＝10， 在 Rt△ADE 中， AE= ��2 − ��2 = 102 − 62 =8， ∴HE＝AE﹣AH＝8﹣6＝2， ∵四边形 EFGH 是正方形， ∴EF＝HE＝2， 故选：D． 【变式 2-1】（2021 春•长沙县月考）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的 直角三角形围成的，若 AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为 12 的直角边分别向外延长一倍， 得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ A．148 B．100 C．196 ） D．144 【分析】通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长． 【解答】解：设将 CA 延长到点 D，连接 BD， 根据题意，得 CD＝12×2＝24，BC＝7， ∵∠BCD＝90°， ∴BC2+CD2＝BD2，即 72+242＝BD2， ∴BD＝25， ∴AD+BD＝12+25＝37， ∴这个风车的外围周长是 37×4＝148． 故选：A． 【变式 2-2】（2020 秋•南山区校级期中）如图，四个全等的直角三角形围成正方形 ABCD 和正方形 EFGH， 即赵爽弦图．连接 AC，分别交 EF、GH 于点 M，N，连接 FN．已知 AH＝3DH，且 S 正方形 ABCD＝21，则 图中阴影部分的面积之和为（ A． 21 4 B． 21 5 ） C． 22 5 D． 22 3 【分析】根据正方形的面积可得正方形边长的平方，设 DH＝x，则 AH＝3DH＝3x，根据勾股定理可得 x 的平方的值，再根据题意可得 S△FGN＝S△AEM+S△CGN，然后可得阴影部分的面积之和为梯形 NGFM 的面 积． 【解答】解：∵S 正方形 ABCD＝21， ∴AB2＝21， 设 DH＝x， 则 AH＝3DH＝3x， ∴x2+9x2＝21， 21 ∴x2= 10， 根据题意可知： AE＝CG＝DH＝x，CF＝AH＝3x， ∴FE＝FG＝CF﹣CG＝3x﹣x＝2x， ∴S△FGN＝2S△CGN ∵S△AEM＝S△CGN， ∴S△FGN＝S△AEM+S△CGN， ∴阴影部分的面积之和为： 1 S 梯形 NGFM= （NG+FM）•FG 2 1 = （EM+MF）•FG 2 1 = FE•FG 2 = 1 ×（2x）2 2 = 21 ． 5 ＝2x2 故选：B． 【变式 2-3】（2021•宁波一模）如图，是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而 成，记图中正方形 MNKT，正方形 EFGH，正方形 ABCD 的面积分别为 S1，S2，S3，若知道图中阴影部 分面积，一定能求出（ ） 1 B．S3− S1 2 A．S1+2S3 C．S1+S2+S3 D．S1+S3﹣2S2 【分析】根据八个直角三角形全等，四边形 ABCD，EFGH，MNKT 是正方形，利用勾股定理解答即可． 【解答】解：设阴影面积为 a，八个全等的直角三角形中一个的面积为 x， 则 S2﹣S1＝4x，S3﹣a﹣S1＝8x， ∴S3﹣a﹣S1＝2（S2﹣S1）， ∴S3﹣a﹣S1＝2S2﹣2S1， ∴S3﹣S1﹣2S2+2S1＝a， ∴S3+S1﹣2S2＝a， 由于 a 已知，故 S3+S1﹣2S2 已知， 即可求出 S3+S1﹣2S2， 故选：D． 【考点 3 勾股数的应用】 【例 3】（2021 春•江西月考）在学习“勾股数”的知识时，爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股数，并 将它们记录在如下的表格中： a 6 8 10 12 14 … b 8 15 24 35 48 … c 10 17 26 37 50 … 则当 a＝18 时，b+c 的值为（ A．242 B．200 ） C．128 D．162 【分析】根据表格中数据确定 a、b、c 的关系，然后再代入 a＝18 求出 b、c 的值，进而可得答案． 【解答】解：根据表格中数据可得：a2+b2＝c2，并且 c＝b+2， 则 a2+b2＝（b+2）2， 当 a＝18 时，182+b2＝（b+2）2， 解得：b＝80， 则 c＝80+2＝82， 则 b+c＝162． 故选：D． 【变式 3-1】（2021•邵阳县模拟）中国的《周髀算经》明确记载了：勾广三，股修四，径隅五．还给出了 勾股定理的一般形式．在西方数学史中，勾股定理又被称为毕达哥拉斯定理．我们把像 3，4，5 这样一 组满足 a2+b2＝c2 的正整数解称为勾股数．某同学将自己探究勾股数的过程列成如图（八）的表，其中每 行数为勾股数．观察表中每列数的规律，可知 x+y 的值为 ． a b c 3 4 5 8 6 10 15 8 17 24 10 26 … … … x y 82 【分析】依据每列数的规律，即可得到规律，进而得