第 3 章 勾股定理章末测试卷（拔尖卷） 参考答案与试题解析 一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分） 1．（3 分）（2021 春•黔南州期末）已知△ABC 的三边长分别为 a，b，c，由下列条件不能判断△ABC 是 直角三角形的是（ ） A．∠A＝2∠B＝3∠C B．∠A＝∠C﹣∠B C．a：b：c＝3：4：5 D．a2＝（b+c）（b﹣c） 【解题思路】根据三角形的内角和定理求出∠A 的度数，即可判断选项 A；根据三角形内角和定理求出 ∠C 的度数，即可判断选项 B；根据勾股定理的逆定理判定选项 C 和选项 D 即可． 【解答过程】解：设△ABC 中，∠A 的对边是 a，∠B 的对边是 b，∠C 的对边是 c， A．∵∠A＝2∠B＝3∠C， 1 1 ∴∠B= 2∠A，∠C= 3∠A， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， 1 1 ∴∠A+ 2∠A+ 3∠A＝180°， 解得：∠A＝（ 1080 11 ）°， ∴△ABC 不是直角三角形，故本选项符合题意； B．∵∠A＝∠C﹣∠B， ∴∠A+∠B＝∠C， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴2∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC 是直角三角形，故本选项不符合题意； C．∵a：b：c＝3：4：5， ∴a2+b2＝c2， ∴∠C＝90°， ∴△ABC 是直角三角形，故本选项不符合题意； D∵a2＝（b+c）（b﹣c）， ∴a2＝b2﹣c2， 即 a2+c2＝b2， ∴∠B＝90°， ∴△ABC 是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．（3 分）（2021 春•金寨县期末）如图，△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC，AB＝5，AC＝3，则 BD 的长是（ ） A．2 B．3.5 C．3 D．2.5 【解题思路】过 D 作 DE⊥AB 于 E，根据勾股定理可得 BC，根据角平分线性质可得 DE＝DC，根据三角 形面积公式求出 CD，即可求出 BD． 【解答过程】解：如图，过 D 作 DE⊥AB 于 E， 在△ABC 中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3， ∴BC= ��2 − ��2 = 52 − 32 =4， ∵AD 平分∠BAC， ∴DE＝DC， 1 1 1 1 1 1 ∵S△ABC= 2AC•BC= 2AC•CD+ 2AB•DE，即 ×3×4= 2 ×3CD+ 2 ×5CD， 2 解得 CD＝1.5， ∴BD＝4﹣CD＝4﹣1.5＝2.5． 故选：D． 3．（3 分）（2021 春•平定县期末）如图，在△ABC 中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝4．四边形 ADEC 是正 方形，则正方形 ADEC 的面积是（ ） A．8 B．12 C．18 D．20 【解题思路】在△ABC 中，通过勾股定理得 AC2＝20，从而解决问题． 【解答过程】解：在△ABC 中，∠B＝90°， 由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2＝22+42＝20， ∵四边形 ADEC 是正方形， ∴S 正方形 ADEC＝AC2＝20， 故选：D． 4．（3 分）（2021•迁西县模拟）如图，快艇从 A 地出发，要到距离 A 地 10 海里的 C 地去，先沿北偏东 70° 方向走了 8 海里，到达 B 地，然后再从 B 地走了 6 海里到达 C 地，此时快艇位于 B 地的（ A．北偏东 20°方向上 B．北偏西 20°方向上 C．北偏西 30°方向上 D．北偏西 40°方向上 ） 【解题思路】由 AC＝10 海里，AB＝8 海里，BC＝6 海里得 AC2＝AB2+BC2，根据勾股定理的逆定理得到 ∠ABC＝90°，再利用平行线的性质和互余的性质得到∠1，求得∠2． 【解答过程】解：如图，过点 B 作 BD∥AE， ∵AC＝10 海里，AB＝8 海里，BC＝6 海里， ∴AC2＝AB2+BC2， ∴△ABC 为直角三角形，即∠ABC＝90°， 又∵B 点在 A 的北偏东 70°方向， ∴∠1＝90°﹣70°＝20°， ∴∠2＝∠1＝20°， 即 C 点在 B 的北偏西 20°的方向上． 故选：B． 5．（3 分）（2021•河南模拟）如图所示是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案， 现在有五种正方形纸片，面积分别是 2，3，4，5，6，选取其中三块（可重复选取），按如图所示方式 组成图案，使所围成的三角形是直角三角形，则选取的三块纸片的面积不可以是（ A．3，4，5 B．2，2，4 C．3，3，6 ） D．2，4，6 【解题思路】如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．依据三角 形各边的平方是对应的各个正方形的面积进行判断即可． 【解答过程】解：由题意可得，三角形各边的平方是对应的各个正方形的面积， ∵所围成的三角形是直角三角形， ∴斜边对应的正方形的面积＝两直角边对应的正方形的面积和， 又∵3+4≠5，2+2＝4，3+3＝6，2+4＝6， ∴选取的三块纸片的面积不可以是 3，4，5， 故选：A． 6．（3 分）（2021 春•西城区校级期中）如图，在 4×4 的正方形网格中，每一格长度为 1，小正方形的顶 点称为格点，A，B，C，D，E，F 都在格点上，以 AB，CD，EF 为边能构成一个直角三角形，则点 F 的 位置有（ ） A．1 处 B．2 处 C．3 处 D．4 处 【解题思路】先利用勾股定理求出 AB 的长，再根据勾股定理的逆定理，如果满足 AB2+CD2 ＝EF2 或 CD2+EF2＝AB2，即为直角三角形，解出 EF 的长，进而得出点 F 的位置． 【解答过程】解：由题意可得，CD＝2，AB= 22 + 32 = 13． ∵以 AB，CD，EF 为边能构成一个直角三角形， ∴AB2+CD2＝EF2 或 CD2+EF2＝AB2， 即 13+4＝EF2 或 4+EF2＝13， 解得 EF= 17或 3， F 点的位置如图所示． 故选：D． 7．（3 分）（2021 春•钦州期末）《九章算术》提供了许多整勾股数，如（3，4，5），（5，12，13）， （7，24，25）等，并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”．后人在此基础上进一步研究，得到如下规 律：若 m 是大于 1 的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么 m 与这两个整数构成组勾股数；若 m 是大于 2 的偶数，把它除以 2 后再平方，然后把这个平方数分别减 1，加 1 得到两个整数，那么 m 与这 两个整数构成组勾股数．由上述方法得到的勾股数称为“由 m 生成的勾股数”．根据以上规律，“由 8 生成的勾股数”的“弦数”为（ A．16 B．17 ） C．25 D．64 【解题思路】直接根据题意分别得出由 8 生成的勾股数”的“弦数”进而得出答案． 【解答过程】解：∵由 8 生成的勾股数”的“弦数”记为 A， 8 ∴（ ）2＝16，16﹣1＝15，16+1＝17， 2 故 A＝17， 故选：B． 8．（3 分）（2020 秋•偃师市期末）如图，有一个圆柱，底面圆的直径 AB= 的中点，一只蚂蚁从 A 点出发沿着圆柱的表面爬到 P 点的最短距离为（ A．9cm B．10cm C．11cm 16 cm，高 BC＝12cm，P 为 BC � ） D．12cm 【解题思路】把圆柱的侧面展开，连接 AP，利用勾股定理即可得出 AP 的长，即蚂蚁从 A 点爬到 P 点的 最短距离． 【解答过程】解：已知如图： 16 ∵圆柱底面直径 AB= � cm、母线 BC＝12cm，P 为 BC 的中点， 8 ∴圆柱底面圆的半径是 cm，BP＝6cm， � 1 8 ∴AB= 2 ×2× � ×π＝8cm， 在 Rt△ABP 中，AP= ��2 + ��2 = 82 + 62 =10（cm）， ∴蚂蚁从 A 点爬到 P 点的最短距离为 10cm， 故选：B． 9．（3 分）（2021•长沙模拟）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算 法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾 记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静 止时，踏板离地 1 尺，将它往前推送 10 尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为 5 尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”根据题意，可得秋千的绳索长为（ A．10 尺 B．14.5 尺 C．13 尺 ） D．17 尺 【解题思路】设绳索有 x 尺长，根据勾股定理列方程即可得到结果． 【解答过程】解：设绳索有 x 尺长， 则 102+（x+1﹣5）2＝x2， 解得：x＝14.5， 即绳索长 14.5 尺， 故选：B． 10．（3 分）（2021 春•梁山县期末）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接 而成，记图中正方形 ABCD，正方形 EFGH，正方形 MNPQ 的面积分别为 S1，S2，S3，若 S1+S2+S3＝45， 则 S2 的值是（ A．12 ） B．15 C．20 D．25 【解题思路】设每个小直角三角形的面积为 m，则 S1＝4m+S2，S3＝S2﹣4m，依据 S1+S2+S3＝45，可得 4m+S2+S2+S2﹣4m＝45，进而得出 S2 的值． 【解答过程】解：设每个小直角三角形的面积为 m，则 S1＝4m+S2，S3＝S2﹣4m， ∵S1+S2+S3＝45， ∴4m+S2+S2+S2﹣4m＝45， 即 3S2＝45， 解得 S2＝15． 故选：B． 二．填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分） 11．（3 分）（2020 秋•武侯区校级月考）如图所示，是用 4 个全等的直角三角形与 1 个小正方形镶嵌而成 的正方形图案，已知大正方形面积为 49，小正方形面积为 4，若用 x，y 表示直角三角形的两直角边（x ＞y），则 xy＝ 22.5 ． 【解题思路】根据勾股定理列出方程，进而利用各图形面积的关系列式解答即可． 【解答过程】解：根据勾股定理可得：x2+y2＝49，（x﹣y）2＝4， 可得：49﹣2xy＝4， 解得：xy＝22.5， 故答案为：22.5． 12．（3 分）（2021 春•广安期末）如图，已知四边形 A，B，C，D，E 都是正方形，图中所有的三角形都 是直角三角形．若正方形 A，B，D 的面积依次为 4，6，15，则正方形 C 的面积为 【解题思路】由题意可知：SA+SB＝SE，SC+SE＝SD，代入计算即可． 【解答过程】解：由题意可知：SA+SB＝S