第 3 章 勾股定理章末测试卷（培优卷） 参考答案与试题解析 一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分） 1．（3 分）（2021 春•平罗县期末）已知一直角三角形，三边的平方和为 800cm2，则斜边长为（ A．20cm B．40cm C．400cm ） D．不能确定 【解题思路】设直角三角形的两条直角边分别为 acm、bcm，斜边为 ccm．根据题意，得 a2+b2+c2＝800 则有 2c2＝800 即可解题． 【解答过程】解：设直角三角形的两条直角边分别为 acm、bcm，斜边为 ccm． 根据题意，得 a2+b2+c2＝800， ∵a2+b2＝c2， ∴2c2＝800， ∴c2＝400， ∵c＞0， ∴� = 400 = 20（cm）． 故选：A． 2．（3 分）（2021•滨州）在 Rt△ABC 中，若∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则点 C 到直线 AB 的距离为 （ ） A．3 B．4 C．5 D．2.4 【解题思路】根据题意画出图形，然后作 CD⊥AB 于点 D，根据勾股定理可以求得 AB 的长，然后根据 面积法，可以求得 CD 的长． 【解答过程】解：作 CD⊥AB 于点 D，如右图所示， ∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB= ��2 + ��2 = 32 + 42 =5， ∵ ∴ ��⋅�� 2 3×4 2 = = ��⋅�� 5�� 2 2 ， 解得 CD＝2.4， 故选：D． ， 3．（3 分）（2021 春•南川区期中）三个正方形的面积如图所示，则 S 的值为（ A．3 B．12 C．9 ） D．4 【解题思路】由正方形的性质可得 AB＝4，AC＝5，由勾股定理可求解． 【解答过程】解：如图， 由题意可得：AB＝4，AC＝5， ∵AC2＝AB2+BC2， ∴BC2＝25﹣16＝9， ∴S＝9， 故选：C． 4．（3 分）（2021 春•官渡区期末）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几 何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（ ） A． B． C． D． 【解题思路】勾股定理有两条直角边，一条斜边，共三个量，根据勾股定理的概念即可判断． 【解答过程】解：在 A 选项中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， 1 1 1 1 ∴ �� + �� + �2 = (� + �)(� + �)， 2 2 2 2 整理可得 a2+b2＝c2， ∴A 选项可以证明勾股定理， 在 B 选项中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， 1 ∴4 × �� + �2 = (� + �)2 ， 2 整理得 a2+b2＝c2， ∴B 选项可以证明勾股定理， 在 C 选项中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， 1 ∴4 × �� + (� − �)2 = �2 ， 2 整理得 a2+b2＝c2， ∴C 选项可以说明勾股定理， 在 D 选项中，大正方形的面积等于四个矩形的面积的和， ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2， 以上公式为完全平方公式， ∴D 选项不能说明勾股定理， 故选：D． 5．（3 分）（2021 春•宣化区期末）下列各组数中，是勾股数的是（ A．0.3，0.4，0.5 B．10，15，18 ） 1 1 1 C． ， ， 3 4 5 D．6，8，10 【解题思路】利用勾股数定义进行分析即可． 【解答过程】解：A、0.3，0.4，0.5 不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意； B、102+152≠182，不是勾股数，故此选项不合题意； 1 1 1 C、 ， ， 不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意； 3 4 5 D、62+82＝102，且都是正整数，是勾股数，故此选项符合题意； 故选：D． 6．（3 分）（2021 春•怀宁县期末）在△ABC 中以下条件不能判定△ABC 是直角三角形的个数有（ ） 个． 条件①：∠A＝∠C﹣∠B； 条件②：三角形三边 a，b，c 的比 3：4：5； 条件③：∠A：∠B：∠C＝3：4：5； 条件④：a＝5、b＝12、c＝13． A．1 B．2 C．3 D．0 【解题思路】利用勾股定理逆定理和三角形内角和定理可得答案． 【解答过程】解：①∠A＝∠C﹣∠B，则∠A+∠B＝∠C，因此∠C＝90°，故△ABC 是直角三角形； ②a：b：c＝3：4：5，则 a2+b2＝c2，故△ABC 是直角三角形； 5 ③∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则∠C＝180°× 3+4+5 =75°，故△ABC 不是直角三角形； ④a＝5、b＝12、c＝13，因为 52+122＝132，则△ABC 是直角三角形； 故不能判定△ABC 是直角三角形的个数有 1 个， 故选：A． 7．（3 分）（2021 春•天河区期末）小明向东走 80m 后，沿方向 A 又走了 60m，再沿方向 B 走了 100m 回 到原地，则方向 A 是（ A．南向或北向 ） B．东向或西向 C．南向 D．北向 【解题思路】根据题意作出图形，利用勾股定理的逆定理判定直角三角形即可确定答案． 【解答过程】解：如图， AB＝80m，AC＝AD＝60m，BC＝BD＝100m， 根据 602+802＝1002 得：∠BAC＝∠BAD＝90°， 故小明向东走 80m 后是向北或南方向走的． 故选：A． 8．（3 分）（2021 春•丰宁县期末）如图，一块三角形木板，测得 AB＝13，BC＝5，AC＝12，则三角形木 板 ABC 的面积为（ A．60 ） B．30 C．65 D．不能确定 【解题思路】根据勾股定理的逆定理，得△ABC 为直角三角形，故可求出面积． 【解答过程】解：∵AB2＝132＝169， BC2+AC2＝52+122＝169， ∴AB2＝BC2+AC2， 即△ABC 是直角三角形， 1 ∴S△ABC= 2BC×AC 1 = 2 ×5×12 ＝30， 故选：B． 9．（3 分）（2021 春•保山期末）如图，“今有竹高两丈五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？” 意思是：一根竹子，原来高两丈五尺（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地， 抵地处离原竹子根部五尺远，则折断处离地面的高度为（ ） A．5 尺 B．25 尺 C．13 尺 D．12 尺 【解题思路】由题意可作一个直角三角形 ABC，设 AC 长为 x 尺，则 BC 长为（25﹣x）尺，在 Rt△ABC 中，由勾股定理列出方程即可解决问题． 【解答过程】解：如图：由题意可知 AB＝5 尺，设 AC 长为 x 尺，则 BC 长为（25﹣x）尺， 在 Rt△ABC 中，由勾股定理得：AC2+AB2＝BC2， 则 x2+52＝（25﹣x）2， 解得：x＝12，即 AC＝12 尺， 故选：D． 10．（3 分）（2021 春•咸安区期末）将一根长 24cm 的筷子，置于底面直径为 5cm，高为 12cm 的圆柱形水 杯中，设筷子露出在杯子外面长为 hcm，则 h 的取值范围是（ ） A．0≤h≤12 D．12≤h≤24 B．12≤h≤13 C．11≤h≤12 【解题思路】先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可． 【解答过程】解：当筷子与杯底垂直时 h 最大，h 最大＝24﹣12＝12（cm）． 当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时 h 最小， 如图所示：此时，AB= ��2 + ��2 = 122 + 52 =13（cm）， 故 h＝24﹣13＝11（cm）． 故 h 的取值范围是：11cm≤h≤12cm． 故选：C． 二．填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分） 11．（3 分）（2021 春•绥滨县期末）已知△ABC 中，AB＝k，AC＝k﹣1，BC＝3，当 k＝ 5 时，∠C＝ 90°． 【解题思路】根据勾股定理的逆定理得出当 AC2+BC2＝AB2 时，∠C＝90°，代入求出 k 即可． 【解答过程】解：∵∠C＝90°， ∴AC2+BC2＝AB2， ∵AB＝k，AC＝k﹣1，BC＝3， ∴（k﹣1）2+32＝k2， 解得：k＝5， 故答案为：5． 12．（3 分）（2021 春•黔南州期末）如图所示的正方形是由四个全等的直角三角形拼成的，直角三角形的 两条直角边长分别为 2，3，则大正方形的面积为 13 ． 【解题思路】先由勾股定理计算出直角三角形的斜边长，即正方形的边长，最后求得面积． 【解答过程】解：∵直角三角形的两条直角边长分别为 2，3， ∴斜边为 22 + 32 = 13，即大正方形的边长为 13， ∴大正方形的面积为（ 13）2＝13． 故答案为：13． 13．（3 分）（2021 春•北京期末）在没有直角工具之前，聪明的古埃及人用如图的方法画直角：把一根长 绳打上等距离的 13 个结，然后以 3 个结间距、4 个结间距、5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个 三角形，其中 5 这条边所对的角便是直角．依据是 那么这个三角形是直角三角形 ． 如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方， 【解题思路】根据勾股定理的逆定理即可判断． 【解答过程】解：设相邻两个结点的距离为 m，则此三角形三边的长分别为 3m、4m、5m， ∵（3m）2+（4m）2＝（5m）2， ∴以 3m、4m、5m 为边长的三角形是直角三角形．（如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方， 那么这个三角形是直角三角形） 故答案为：如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 14．（3 分）（2021 春•宜州区期末）在△ABC 中，AB＝15，AC＝20，BC 边上的高线为 12，则△ABC 的 面积为 42 或 150 ． 【解题思路】已知三角形两边的长和第三边的高，未明确这个三角形为钝角还是锐角三角形，所以需分 情况讨论，即∠ABC 是钝角还是锐角，然后利用勾股定理求解． 【解答过程】解：如图（1），△ABC 中，AB＝15，AC＝20，BC 边上高 AD＝12， 在 Rt△ABD 中 AB＝15，AD＝12， 由勾股定理得，BD= ��2 − ��2 = 152 122 =9， 在 Rt△ADC 中 AC＝20，AD＝12， 由勾股定理得，DC= ��2 − ��2 = 202 − 122 =16， 则 BC 的长为 BD+DC＝9+16＝25， 1 △ABC 的面积为： × 25 × 12 =15； 2 如图（2）， 同（1）的作法相同，BC＝7， 1 △ABC 的周长为： × 7 × 12 =42， 2 故答案