专题 3.3 勾股定理的简单应用-重难点题型 【苏科版】 【题型 1 勾股定理的应用（最短路径问题）】 【例 1】（2021 春•肥乡区月考）如图所示，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 55cm，10cm， 6cm，点 A 和点 B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点处有一只蚂蚁，那么这只蚂蚁从点 A 爬到点 B 的 最短路程是多少？ 【分析】首先把楼梯展开得到平面几何图，根据“两点之间，线段最短”得到蚂蚁所走的最短路线为 AB， 则问题是求 AB 的长，根据已知数据得出 AC、BC 的长，再利用勾股定理求出 AB 的长，即可完成解答． 【解答】解：如图所示，将这个台阶展开成一个平面图形，则蚂蚁爬行的最短路程就是线段 AB 的长． 在 Rt△ABC 中，BC＝55cm，AC＝10+6+10+6+10+6＝48（cm）． 由勾股定理，得 AB2＝AC2+BC2＝5329． 所以 AB＝73（cm）． 因此，蚂蚁从点 A 爬到点 B 的最短路程是 73cm． 【点评】此题考查勾股定理的应用，把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问题是解题的关键． 【变式 1-1】（2020 秋•长春期末）如图所示，有一个圆柱，底面圆的直径 AB= 16 ，高 BC＝12cm，在 BC � 的中点 P 处有一块蜂蜜，聪明的蚂蚁总能找到距离食物的最短路径，求蚂蚁从 A 点爬到 P 点的最短距离． 【分析】化“曲”为“平”，在平面内，得到两点的位置，再根据两点之间线段最短和勾股定理求解即 可． 【解答】解：将圆柱体的侧面展开，如图所示： 1 1 16 1 AB= 2底面周长= 2 ×π× � =8（cm），BP= 2BC＝6（cm）， 所以 AP= 82 + 62 =10（cm）， 故蚂蚁从 A 点爬到 P 点的最短距离为 10cm． 【点评】本题考查最短距离问题，化“曲”为“平”，在平面内，利用两点之间线段最短和勾股定理是 常用求解方法． 【变式 1-2】（2020 秋•碑林区校级月考）如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为 16cm， 在容器内壁离容器底部 4cm 的点 B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上底面距 离为 4cm 的点 A 处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为 20cm，则该圆柱底面周长为多少？ 【分析】将容器侧面展开，建立 A 关于 EG 的对称点 A′，根据两点之间线段最短可知 A′B 的长度即为 所求． 【解答】解：如图：将圆柱展开，EG 为上底面圆周长的一半， 作 A 关于 E 的对称点 A'，连接 A'B 交 EG 于 F，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为 AF+BF 的长，即 AF+BF＝A'B＝20cm， 延长 BG，过 A'作 A'D⊥BG 于 D， ∵AE＝A'E＝DG＝4cm， ∴BD＝16cm， Rt△A'DB 中，由勾股定理得：A'D= 202 − 162 =12（cm）， 则该圆柱底面周长为 24cm． 【点评】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计 算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 【变式 1-3】（2020 秋•淅川县期末）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中 AB＝18cm，BC＝12cm， BF＝10cm，点 M 在棱 AB 上，且 AM＝6cm，点 N 是 FG 的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从 点 M 爬行到点 N，它需要爬行的最短路程是多少？ 【分析】利用平面展开图有三种情况，画出图形利用勾股定理求出 MN 的长即可． 【解答】解：如图 1， ∵AB＝18cm，BC＝GF＝12cm，BF＝10cm， ∴BM＝18﹣6＝12，BN＝10+6＝16， ∴MN= 122 + 162 =20（cm）； 如图 2， ∵AB＝18cm，BC＝GF＝12cm，BF＝10cm， ∴PM＝18﹣6+6＝18，NP＝10， ∴MN= 182 + 102 =2 106（cm）． 如图 3 中， MN= 222 + 62 =2 130（cm）， ∵20＜2 106＜2 130， ∴蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为 20cm． 【点评】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得 出是解题关键． 【题型 2 勾股定理的应用（方位角问题）】 【例 2】（2020 秋•龙口市期中）甲、乙两船同时从港口 A 出发，甲船以 30 海里/时的速度沿北偏东 35°方 向航行，乙船沿南偏东 55°向航行，2 小时后，甲船到达 C 岛，乙船到达 B 岛，若 C，B 两岛相距 100 海里，问乙船的速度是每小时多少海里？ 【分析】根据已知判定∠CAB 为直角，根据路程公式求得 AC 的长．再根据勾股定理求得 AB 的长，从而 根据公式求得其速度． 【解答】解：∵甲的速度是 30 海里/时，时间是 2 小时， ∴AC＝60 海里． ∵∠EAC＝35°，∠FAB＝55°， ∴∠CAB＝90°． ∵BC＝100 海里， ∴AB= 1002 − 602 = 80 海里． ∵乙船也用 2 小时， ∴乙船的速度是 40 海里/时． 【点评】此题考查了直角三角形的判定及方向角的掌握情况，关键是根据勾股定理解答． 【变式 2-1】（2020 春•孟村县期末）如图，甲、乙两艘轮船同时从港口 O 出发，甲轮船以 20 海里/时的速 度向南偏东 45°方向航行，乙轮船向南偏西 45°方向航行．已知它们离开港口 O 两小时后，两艘轮船 相距 50 海里，求乙轮船平均每小时航行多少海里？ 【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程＝速度×时间，根据勾股定理 解答即可． 【解答】解：∵甲轮船以 20 海里/时的速度向南偏东 45°方向航行，乙轮船向南偏西 45°方向航行， ∴AO⊥BO， ∵甲以 20 海里/时的速度向南偏东 45°方向航行， ∴OB＝20×2＝40（海里）， ∵AB＝50 海里， 在 Rt△AOB 中，�� = ��2 − ��2 = 502 − 402 = 30， ∴乙轮船平均每小时航行 30÷2＝15 海里． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单． 【变式 2-2】（2020 春•鹿邑县期中）如图，北部湾诲面有一艘解放军军舰正在基地 A 的正东方向且距 A 地 40 海里的 B 处训练，突然接到基地命令，要该舰前往 C 岛接送一名患病的渔民到基地的医院救治．已知 C 岛在基地 A 的北偏东 58°方向且距基地 A32 海里，在 B 处的北偏西 32°的方向上．军舰从 B 处出发， 平均每小时行驶 40 海里．问至少需要多长时间能把患病渔民送到基地？ 【分析】先根据方向角得出△ACD 是直角三角形，在 Rt△ACB 中，根据勾股定理可求 BC，则 AC+CB 即可求得，然后除以速度即可得到时间． 【解答】解：根据题意，得∠CAB＝32°，∠CBA＝58°， 则∠C＝180°﹣32°﹣58°＝90°， 在 Rt△ACB 中，BC= ��2 − ��2 =24（海里）， 则 AC+CB＝32+24＝56（海里）， 56÷40＝1.4（小时）． 故至少需要 1.4 小时长时间能把患病渔民送到基地． 【点评】考查了方向角，勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理求出 AC 的长． 【变式 2-3】（2020 春•灌阳县期中）如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、 乙两艘巡逻艇立即从相距 13 海里的 A、B 两个基地前去拦截，6 分钟后同时到达 C 处将其拦截．已知甲 巡逻艇每小时航行 120 海里，乙巡逻艇每小时航行 50 海里，航向为北偏西 23°． （1）求甲巡逻艇的航行方向； （2）成功拦截后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，3 分钟后甲、乙两艘巡逻艇相距多 少海里？ 【分析】（1）先用路程等于速度乘以时间计算出 AC，BC 的长，利用勾股定理的逆定理得出三角形 ABC 为直角三角形，再利用在直角三角形中两锐角互余求解； （2）分别求得甲、乙航行 3 分钟的路程，然后由勾股定理来求甲乙的距离． 【解答】解：（1）由题意得：∠CBA＝90°﹣23°＝67°， 6 6 AC＝120× 60 =12（海里），BC＝50× 60 =5（海里）， ∵AB＝13（海里）， ∵AC 2+BC 2＝AB 2， ∴△ABC 是直角三角形， ∵∠CBA＝67°， ∴∠CAB＝23°， ∴甲的航向为北偏东 67°； 3 （2）甲巡逻船航行 3 分钟的路程为：120× 60 =6（海里）， 3 乙巡逻船航行 3 分钟的路程为：50× 60 =2.5（海里）， 3 分钟后，甲乙两巡逻船相距为： 62 + 2．52 =6.5（海里）． 【点评】此题主要考查了直角三角形的判定、勾股定理及方向角的理解及运用，难度适中．利用勾股定 理的逆定理得出三角形 ABC 为直角三角形是解题的关键． 【题型 3 勾股定理的应用（范围影响问题）】 【例 3】（2021 春•江岸区校级月考）国家交通法规定：汽车在城市街道上行驶速度不得超过 60km/h，一辆 汽车在解放大道上由西向东行驶，此时小汽车在 A 点处，在它的正南方向 21m 处的 B 点处有一个车速检 测仪，过了 4s 后，测得小汽车距离测速仪 75m．这辆小汽车超速了吗？通过计算说明理由． 【分析】由勾股定理计算出小汽车 4 秒行驶的路程，再计算出速度，比较即可． 【解答】解：如图，AB＝21，BC＝75， 在 Rt△ABC 中，由勾股定理得： AC= ��2 − ��2 = 752 − 212 = 72m， 72÷4＝18 米/秒＝64.8 千米/时＞60 千米/时， ∴超速了． 【点评】本题主要考查勾股定理的应用，利用勾股定理求出 AC 的长是解题的关键． 【变式 3-1】（2021 春•南川区期中）为了积极宣传防疫，南川区政府采用了移动车进行广播，如图，小明 家在南大街这条笔直的公路 MN 的一侧点 A 处，小明家到公路 MN 的距离为 600 米，假使广播车 P 周围 1000 米以内能听到广播宣传，广播车 P 以 250 米/分的速度在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，若小明此时 在家，他是否能听到？若能，请求出他总共能听到多长时间的广播？ 【分析】根据小明 A 到公路 MN 的距离为 600 米＜1000 米，可以判断能否听到；根据勾股定理得到 BP ＝BQ＝800 米，求得 PQ＝1600 米，于是得到结论． 【解答】解：小明能听到宣传， 理由：∵村庄 A