专题 3.1 勾股定理-重难点题型 【苏科版】 【知识点 1 勾股定理】 在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角 边长分别是 a，b，斜边长为 c，那么�� +�� =�� ． 【题型 1 勾股定理的认识】 【例 1】（2021 春•路南区校级月考）在 Rt△ABC 中，∠C＝90°． （1）已知 a：b＝3：4，c＝10，则 a＝ （2）已知 a＝6，b＝8，则斜边 c 上的高 h＝ ，b＝ ； ． 【分析】（1）设 a＝3k，则 b＝4k，由勾股定理求出 c＝5k，再根据 c＝10 求出 k 的值，进而得到 a 与 b 的值； （2）首先根据勾股定理求得斜边 c＝10；然后由面积法来求斜边上的高线． 【解答】解：（1）设 a＝3k，则 b＝4k， ∵在 Rt△ABC 中，∠C＝90°， ∴c= �2 + �2 = ∵c＝10， (3�)2 + (4�)2 =5k， ∴5k＝10， 解得 k＝2， ∴a＝3×2＝6，b＝4×2＝8； （2）∵在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，a＝6，b＝8， ∴c= �2 + �2 = 62 + 82 =10． 1 1 设斜边上的高为 h，则 ab= 2ch， 2 ∴h= �� 6×8 = =4.8． � 10 故答案是：6，8；4.8． 【点评】本题考查了勾股定理的运用，直角三角形面积的求法，需同学们灵活掌握．注意： （1）中可根据勾股定理求出已知边所占的份数，进一步求解； （2）中掌握直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边． 【变式 1-1】（2020 秋•本溪期末）在 Rt△ABC 中，斜边 AB＝3，则 AB2+BC2+CA2＝ ． 【分析】由三角形 ABC 为直角三角形，利用勾股定理得到斜边的平方等于两直角边的平方和，根据斜边 AB 的长，可得出两直角边的平方和，然后将所求式子的后两项结合，将各自的值代入即可求出值． 【解答】解：∵△ABC 为直角三角形，AB 为斜边， ∴AC2+BC2＝AB2，又 AB＝3， ∴AC2+BC2＝AB2＝9， 则 AB2+BC2+CA2＝AB2+（BC2+CA2）＝9+9＝18． 故答案为：18 【点评】此题考查了勾股定理，是一道基本题型．熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 【变式 1-2】（2021 春•广州期中）在△ABC 中，∠A＝25°，∠B＝65°，则下列式子成立的是（ A．AC2+AB2＝BC2 B．AB2+BC2＝AC2 C．AC2﹣BC2＝AB2 D．AC2+BC2＝AB2 ） 【分析】根据在△ABC 中，∠A＝25°，∠B＝65°，可以得到∠C 的度数，然后根据勾股定理，即可判 断各个选项中的说法是否正确． 【解答】解：在△ABC 中，∠A＝25°，∠B＝65°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°， ∴△ABC 是直角三角形， ∴AC2+BC2＝AB2，故选项 D 正确，选项 A、B、C 错误， 故选：D． 【点评】本题考查勾股定理、三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的知识解答． 【变式 1-3】（2020 春•灵山县期末）在直角三角形 ABC 中，∠C＝90°，两直角边长及斜边上的高分别为 a，b，h，则下列关系式成立的是（ A． 2 �2 + 2 �2 C．h2＝ab = ） 1 B． ℎ2 1 �2 + 1 �2 = D．h2＝a2+b2 1 ℎ2 【分析】设斜边为 c，根据勾股定理得出 c= �2 + �2 ，再由三角形的面积公式即可得出结论． 【解答】解：设斜边为 c，根据勾股定理得出 c= �2 + �2 ， 1 1 ∵ ab= 2ch， 2 ∴ab= �2 + �2 •h，即 a2b2＝a2h2+b2h2， ∴ 即 �2 �2 �2 �2 ℎ2 1 �2 + 1 �2 = 故选：B． = �2 ℎ2 �2 �2 ℎ2 1 ℎ2 ． + �2 ℎ2 �2 �2 ℎ2 ， 【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜 边长的平方是解答此题的关键． 【题型 2 利用勾股定理解勾股树问题】 【例 2】（2020 秋•惠来县期末）如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积 是（ A．16 ） B．25 【分析】根据勾股定理解答即可． C．144 D．169 【解答】解： 根据勾股定理得出：AB= ��2 − ��2 = 132 − 122 = 5， ∴EF＝AB＝5， ∴阴影部分面积是 25， 故选：B． 【点评】此题考查勾股定理，关键是根据如果直角三角形的两条直角边长分别是 a，b，斜边长为 c，那 么 a2+b2＝c2 解答． 【变式 2-1】（2021 春•海淀区校级月考）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形， 其中最大的正方形的边长为 8cm，则图中所有正方形的面积的和是（ A．64cm2 B．81cm2 C．128cm2 ） D．192cm2 【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，利用四个小正方形的面积和等于最大正方形的面 积进而求出即可． 【解答】解：∵所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形， ∴正方形 A 的面积＝a2，正方形 B 的面积＝b2， 正方形 C 的面积＝c2，正方形 D 的面积＝d2， 又∵a2+b2＝x2，c2+d2＝y2， ∴正方形 A、B、C、D 的面积和＝（a2+b2）+（c2+d2）＝x2+y2＝82＝64（cm2）， 则所有正方形的面积的和是：64×3＝192（cm2）． 故选：D． 【点评】本题主要考查了勾股定理，根据数形结合得出正方形之间面积关系是解题关键． 【变式 2-2】（2021 春•汉阳区期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三 角形都是直角三角形，若正方形 A，B，C，D 的面积分别为 6，10，4，6，则最大正方形 E 的面积是 （ ） A．94 B．26 C．22 D．16 【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形 A，B，C，D 的面积和即为最大正方 形的面积． 【解答】解：根据勾股定理的几何意义，可得 A、B 的面积和为 S1，C、D 的面积和为 S2，S1+S2＝S3， 即 S3＝6+10+4+6＝26． 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理的应用．能够发现正方形 A，B，C，D 的边长正好是两个直角三角形的四 条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形 A，B，C，D 的面积和即是最大正方形的面积． 【变式 2-3】（2021 春•天津期中）如图，已知在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，分别以 AC，BC，AB 为直径 作半圆，面积分别记为 S1，S2，S3，若 S3＝9π，则 S1+S2 等于 ． 【分析】根据勾股定理和圆的面积公式，可以得到 S1+S2 的值，从而可以解答本题． 【解答】解：∵∠ACB＝90°， ∴AC2+BC2＝AB2， �� �� �� 1 1 1 ∵S1＝π（ ）2× 2，S2＝π（ ）2× 2，S3＝π（ ）2× 2， 2 2 2 ∴S1+S2＝π（ ∵S3＝9π， �� �� �� 1 1 1 ）2× 2 +π（ ）2× 2 =π（ ）2× 2 =S3， 2 2 2 ∴S1+S2＝9π， 故答案为：9π． 【点评】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【题型 3 利用勾股定理求线段长度】 【例 3】 （2020 秋•新吴区期中）已知△ABC 中，AB＝17，AC＝10，BC 边上的高 AH＝8，则 BC 的长是（ A．21 B．15 C．6 ） D．21 或 9 【分析】高线 AH 可能在三角形的内部也可能在三角形的外部，本题应分两种情况进行讨论．分别依据 勾股定理即可求解． 【解答】解：如图所示，在 Rt△ABH 中， ∵AB＝17，AH＝8， ∴BH= 172 − 82 =15； 在 Rt△ACH 中， ∵AC＝10，AH＝8， ∴CH= 102 − 82 =6， ∴当 AH 在三角形的内部时，如图 1，BC＝15+6＝21； 当 AH 在三角形的外部时，如图 2，BC＝15﹣6＝9． ∴BC 的长是 21 或 9． 故选：D． 【点评】本题考查的是勾股定理，在解答此题时要进行分类讨论，不要漏解． 【变式 3-1】（2021 春•庆云县月考）在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝25cm，AC＝15cm，CH⊥AB 垂足 为 H，CH＝ ． 【分析】利用勾股定理得出 BC 的长，再利用三角形面积求法得出 HC 的长． 【解答】解：在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°， 根据勾股定理可得：BC= ��2 − ��2 = 252 − 152 =20， ∵Rt△ABC 的面积= 1 1 ×BC×AC= ×AB×CH， 2 2 ∴20×15＝25×CH， 解得，CH＝12（cm）． 答案为 12cm． 【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是 a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2 ＝c2． 【变式 3-2】（2021 春•天津期中）如图，已知在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，AB 的垂 直平分线交 AB 于点 D，交 BC 于点 E，则 BE 的长为 ． 【分析】根据线段垂直平分线的性质，可以得到 AE＝BE，再根据勾股定理，即可求得 BE 的长． 【解答】解：连接 AE， ∵ED 是 AB 的垂直平分线， ∴AE＝BE， 设 AE＝BE＝x， ∵AC＝9，BC＝12， ∴CE＝12﹣x， ∵∠ACE＝90°， ∴AC2+CE2＝AE2， 即 92+（12﹣x）2＝x2， 解得 x= 75 ， 8 故答案为： 75 8 ． 【点评】本题考查勾股定理、线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思 想解答． 【变式 3-3】（2020 秋•上海期末）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D，如果 AC＝6，AD ＝3，那么 BD＝ ． 【分析】根据勾股定理求出 CD，再根据勾股定理用 BD 表示出 BC，根据题意列出方程，解方程得到答 案． 【解答】解：在 Rt△ACD 中，CD= ��2 − ��2 = 62 − 32 =3 3， 在 Rt△BCD 中，BC= ��2 + ��2 = 27 + ��2 ， 在 Rt△