专题 2.7 含 30°角的直角三角形性质专项训练（30 道） 【苏科版】 考卷信息： 本套训练卷共 30 题，选择题 10 道，填空题 10 道，解答题 10 道，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，综 合性较强！ 一．选择题（共 10 小题） 1．（2021 秋•娄星区校级月考）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是 AB 边上的高，∠A＝30°，则 下列结论中正确的是（ A．AC＝2AD ） B．CD＝2BD C．BC＝2CD D．BC＝2BD 【解题思路】根据直角三角形的性质可得在直角三角形 ACB 中 AB＝2BC，在直角△CDB 中 BC＝2BD， 在直角△ACD 中 AC＝2CD． 【解答过程】解：在△ABC 中，∠ACB＝90°， ∴△ACB 是直角三角形， ∵∠A＝30°， ∴AB＝2BC， ∵CD 是 AB 边上的高， ∴∠CDA＝∠CDB＝90°， ∴∠ACD＝60°， ∴∠DCB＝30°， ∴BC＝2BD，AC＝2CD． 故选：D． 2．（2021 春•丹东期末）如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥AB 交 BC 于点 D，∠BAC＝120°，AD＝4， 则 BC 的长为（ ） A．8 B．10 C．11 D．12 【解题思路】依据等腰三角形的内角和，即可得到∠C＝∠B＝30°，依据 AD⊥AB 交 BC 于点 D，即可 得到 BD＝2AD＝8，∠CAD＝30°＝∠B，CD＝AD＝4，进而得出 BC 的长． 【解答过程】解：∵△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠C＝∠B＝30°， ∵AD⊥AB 交 BC 于点 D， ∴BD＝2AD＝8，∠CAD＝30°＝∠B， ∴CD＝AD＝4， ∴BC＝BD+CD＝8+4＝12． 故选：D． 3．如图，∠AOB＝60°，点 P 在 OA 上，PC＝PD，若 OC＝5cm，OD＝8cm，则 OP 的长是（ A．13cm B．12cm C．8cm ） D．5cm 【解题思路】过点 P 作 PE⊥OB 于点 E，根据△PCD 为等腰三角形，则 E 为 CD 的中点，再由△POE 为 直角三角形，∠AOB＝60°，即可得出答案． 【解答过程】解：如图，过点 P 作 PE⊥OB 于点 E，则 PE⊥CD， ∵PC＝PD， ∴△PCD 为等腰三角形， ∴点 E 为 CD 的中点， ∵OC＝5cm，OD＝8cm， ∴CD＝3cm， ∴OE＝6.5cm， ∵∠AOB＝60°， ∴∠OPE＝90°﹣60°＝30°， ∴OP＝2OE＝13cm， 故选：A． 4．（2021 春•濮阳期末）如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠B＝30°，AD⊥AC，交 BC 于点 D，AD＝4，则 BC 的长为（ ） A．8 B．4 C．12 D．6 【解题思路】由等腰三角形的性质得出∠B＝∠C＝30°，∠CAD＝90°，可得∠DAB＝∠B＝30°，即 BD＝AD＝4．Rt△ACD 中，根据 30°角所对直角边等于斜边的一半，可求得 CD＝2AD＝8，由此可求得 BC 的长． 【解答过程】解：∵AB＝AC，∠B＝30°， ∴∠B＝∠C＝30°， ∵AD⊥AC，AD＝4， ∴CD＝2AD＝2×4＝8， ∵∠C+∠ADC＝90°， ∴∠ADC＝90°﹣30°＝60°， ∵∠ADC＝∠DAB+∠B， ∴∠DAB＝30°， ∴∠DAB＝∠B， ∴DB＝AD＝4， ∴BC＝BD+DC＝4+8＝12， 故选：C． 5．（2021 春•新城区期中）如图，△ABC 是等边三角形，AB＝10，点 D 是 BC 边上任意一点，DE⊥AB 于 点 E，DF⊥AC 于点 F，则 BE+CF 的长是（ A．5 B．6 ） C．8 D．10 【解题思路】先设 BD＝x，则 CD＝10﹣x，根据△ABC 是等边三角形得出∠B＝∠C＝60°，求出∠BDE ＝30°，∠CDF＝30°，根据含 30°角的直角三角形的性质求出 CF 和 CF，再相加即可． 【解答过程】解：设 BD＝x，则 CD＝10﹣x， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， ∴∠BDE＝30°，∠CDF＝30°， 1 � ∴BE= 2BD= 2 同理可得，CF= 10−� ， 2 � 10−� ∴BE+CF= 2 + 2 =5， 故选：A． 6．（2021 春•岳麓区校级期末）如图，△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB 的垂直平分线交 AC 于 D， 交 AB 于 E，CD＝2，则 AD 等于（ A．10 B．8 ） C．6 D．4 【解题思路】先由直角三角形的性质求出∠ABC 的度数，由 AB 的垂直平分线交 AC 于 D，交 AB 于 E， 垂足为 E，可得 BD＝AD，由∠A＝30°可知∠ABD＝30°，故可得出∠DBC＝30°，根据 CD＝2 可得 出 BD 的长，进而得出 AD 的长． 【解答过程】解：连接 BD， ∵在△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝60°． ∵AB 的垂直平分线交 AC 于 D，交 AB 于 E， ∴AD＝BD，DE⊥AB， ∴∠ABD＝∠A＝30°， ∴∠DBC＝30°， ∵CD＝2， ∴BD＝2CD＝4， ∴AD＝4． 故选：D． 7．（2020 秋•朝阳县期末）如图，在△ABC 中，AB＝AC＝11，∠BAC＝120°，AD 是△ABC 的中线，AE 是∠BAD 的角平分线，DF∥AB 交 AE 的延长线于点 F，则 DF 的长为（ A．4.5 B．5 C．5.5 ） D．6 【解题思路】根据等腰三角形三线合一的性质可得到 AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，从而可得到∠BAD＝ 60°，∠ADB＝90°，再根据角平分线的性质即可得到∠DAE＝∠EAB＝30°，从而可推出 AD＝DF，根 据直角三角形 30 度角的性质即可求得 AD 的长，即得到了 DF 的长． 【解答过程】解：∵△ABC 是等腰三角形，D 为底边的中点， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD， ∵∠BAC＝120°， ∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°， ∵AE 是∠BAD 的角平分线， ∴∠DAE＝∠EAB＝30°． ∵DF∥AB， ∴∠F＝∠BAE＝30°． ∴∠DAF＝∠F＝30°， ∴AD＝DF． ∵AB＝11，∠B＝30°， ∴AD＝5.5， ∴DF＝5.5 故选：C． 8．（2020 秋•丛台区校级期末）如图，△ABC 与△DCE 都是等边三角形，B，C，E 三点在同一条直线上， 若 AB＝3，∠BAD＝150°，则 DE 的长为（ A．3 B．4 ） C．5 D．6 【解题思路】根据等边三角形的性质得出 AB＝AC＝3，DE＝DC，∠BAC＝∠DCE＝∠ACB＝60°，求 出∠ACD＝60°，∠CAD＝90°，求出∠ADC＝30°，根据很 30 度角的直角三角形性质得出 DC＝2AC， 求出即可． 【解答过程】解：∵△ABC 与△DCE 都是等边三角形，AB＝3，∠BAD＝150°， ∴AB＝AC＝3，DE＝DC，∠BAC＝∠DCE＝∠ACB＝60°， ∴∠ACD＝60°，∠CAD＝150°﹣60°＝90°， ∴∠ADC＝30°， ∴DC＝2AC＝6， ∴DE＝DC＝6， 故选：D． 9．（2021•海淀区校级模拟）如图，在△ABC 中，∠C＝60°，AD 是 BC 边上的高，点 E 为 AD 的中点， 连接 BE 并延长交 AC 于点 F．若∠AFB＝90°，EF＝2，则 BF 长为（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 【解题思路】根据三角形内角和定理求出∠DAC＝30°和∠EBD＝30°，根据含 30°角的直角三角形的 性质得出 AE＝2EF，BE＝2DE，代入求出即可． 【解答过程】解：∵在△ABC 中，∠C＝60°，AD 是 BC 边上的高， ∴∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣60°＝30°， ∵∠AFB＝90°，EF＝2， ∴AE＝2EF＝4， ∵点 E 为 AD 的中点， ∴DE＝AE＝4， ∵∠C＝60°，∠BFC＝180°﹣90°＝90°， ∴∠EBD＝30°， ∴BE＝2DE＝8， ∴BF＝BE+EF＝8+2＝10， 故选：D． 10．（2021 春•织金县期末）如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，∠ABC＝2∠C，BE 平分∠ABC 交 AC 于 E，AD⊥BE 于 D，下列结论：①AC﹣BE＝AE；②点 E 在线段 BC 的垂直平分线上；③∠DAE＝∠C； ④BC＝3AD，其中正确的个数有（ A．4 个 B．3 个 ） C．2 个 D．1 个 【解题思路】根据三角形内角和定理、线段垂直平分线的判定定理、直角三角形的性质判断即可． 【解答过程】解：∵∠BAC＝90°，∠ABC＝2∠C， ∴∠ABC＝60°，∠C＝30°， ∵BE 平分∠ABC， 1 ∴∠EBC＝∠ABE= 2∠ABC＝30°， ∴∠EBC＝∠C， ∴EB＝EC， ∴AC﹣BE＝AC﹣EC＝AE，①正确； ∵EB＝EC， ∴点 E 在线段 BC 的垂直平分线上，②正确； ∵∠BAC＝90°，∠ABE＝30°， ∴AEB＝60°， ∵AD⊥BE， ∴∠DAE＝30°， ∴∠DAE＝∠C，③正确； ∵∠BAC＝90°，∠C＝30°， ∴BC＝2AB， 同法 AB＝2AD, ∴BC＝4AD,④错误， 故选：B． 二．填空题（共 10 小题） 11．（2020 秋•抚顺县期末）右图是屋架设计图的一部分，点 D 是斜梁 AB 的中点，立柱 BC、DE 垂直于横 梁 AC，AB＝7.4m，∠A＝30°，则 DE 长为 1.85m ． 【解题思路】根据直角三角形的性质求出 BC，根据三角形中位线定理计算即可． 【解答过程】解：∵∠A＝30°，BC⊥AC， 1 ∴BC= AB＝3.7， 2 ∵DE⊥AC，BC⊥AC， ∴DE∥BC， ∵点 D 是斜梁 AB 的中点， 1 ∴DE= BC＝1.85m， 2 故答案为：1.85m． 12．（2020 秋•沂水县期末）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝6，点 D，E 分别是 边 BC，AC 上的点，且 BD＝2CD，DE∥AB，则 DE 的长是 2 ． 【解题思路】由∠ACB＝90°，∠ABC＝60°得∠A＝30°，根据含 30°角的直角三角形的性质可得 1 BC= AB＝3，由 BD＝2CD 可得 CD＝1，根据平行线的性质得∠DEC＝∠A＝30°，即可得 DE＝2CD＝ 2 2． 【解答过程】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°， ∴∠A