专题 2.6 等边三角形-重难点题型 【苏科版】 【知识点 1 等边三角形】 （1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形. （2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于 60°. （3）等边三角形的判定： ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形. 【题型 1 等边三角形的性质（角度问题）】 【例 1】（2020 秋•赫山区期末）如图，等边三角形 ABC 中，AD⊥BC，垂足为 D，点 E 在线段 AD 上，∠ EBC＝45°，求∠ACE 的度数． 【解题思路】依据等边三角形三线合一的性质，即可得到 AD 垂直平分 BC；利用垂直平分线的性质即可 得到 EC＝EB，进而得到∠ECD 的度数；再根据角的和差关系即可得出结论． 【解答过程】解：∵等边三角形 ABC 中，AD⊥BC， ∴D 是 BC 的中点， ∴AD 垂直平分 BC， ∴EB＝EC， ∴∠EBC＝∠ECB＝45°， 又∵∠ACB＝60°， ∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝60°﹣45°＝15°． 【变式 1-1】（2020 秋•河东区期中）如图，点 M，N 分别在正三角形 ABC 的 BC，CA 边上，且 BM＝CN， AM，BN 交于点 Q．求证：∠BQM＝60°． 【解题思路】根据 BM＝CN 可得 CM＝AN，易证△AMC≌△BNA，得∠BNA＝∠AMC，根据内角和为 180° 即可求得∠BQM＝∠ACB＝60°，即可解题． 【解答过程】证明：∵BM＝CN，BC＝AC，∴CM＝AN， 又∵AB＝AC，∠BAN＝∠ACM， ∴△AMC≌△BNA，则∠BNA＝∠AMC， ∵∠MAN+∠ANB+∠AQN＝180° ∠MAN+∠AMC+∠ACB＝180°， ∴∠AQN＝∠ACB， ∵∠BQM＝∠AQN， ∴∠BQM＝∠AQN＝∠ACB＝60°． 1 【变式 1-2】（2020 秋•肥东县期末）如图，△ABC 是等边三角形，延长 BC 到 E，使 CE= BC．点 D 是边 2 AC 的中点，连接 ED 并延长交 AB 于 F． （1）求∠EFB 的度数； （2）求证：DE＝2DF． 【解题思路】（1）根据等边三角形的性质得出 AC＝BC，∠ACB＝∠B＝60°，求出 CD＝CE，根据三 角形外角性质和等腰三角形的性质求出∠E＝30°，求出∠BFE 即可； （2）连接 BD，求出 BD＝DE，根据含 30°角的直角三角形的性质得出 BD＝2DF，即可得出答案． 【解答过程】（1）解：∵△ABC 是等边三角形， ∴AC＝BC，∠ACB＝∠B＝60°， ∵D 为 AC 的中点， 1 ∴AD＝CD= AC， 2 1 ∵CE= BC， 2 ∴CD＝CE， ∵∠E+∠CDE＝∠ACB＝60°， ∴∠E＝∠CDE＝30°， ∵∠B＝60°， ∴∠EFB＝180°﹣60°﹣30°＝90°； （2）证明：连接 BD， ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB＝BC，∠ABC＝60°， ∵D 为 AC 的中点， 1 ∴∠DBC＝∠ABD= 2∠ABC＝30°， ∵∠E＝30°， ∴∠DBC＝∠E， ∴DE＝BD， ∵∠BFE＝90°，∠ABD＝30°， ∴BD＝2DF， 即 DE＝2DF． 【变式 1-3】（2020 秋•郑州期末）如图，已知∠AOB＝120°，△COD 是等边三角形（三条边都相等，三 个角都等于 60°的三角形），OM 平分∠BOC． （1）如图 1，当∠AOC＝30°时，∠DOM＝ （2）如图 2，当∠AOC＝100°时，∠DOM＝ 15° 50° ； ； （3）如图 3，当∠AOC＝α（0°＜α＜180°）时，求∠DOM 的度数，请借助图 3 填空． 解：因为∠AOC＝α，∠AOB＝120°， 所以∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝α﹣120°， 因为 OM 平分∠BOC， 所以∠MOC＝ 1 2 ∠BOC＝ 因为△COD 为等边三角形， 1 2 � −60° （用α表示）， 所以∠DOC＝60°， 所以∠DOM＝∠MOC+∠DOC＝ 1 2 � （用α表示）． （4）由（1）（2）（3）问可知，当∠AOC＝β（0°＜β＜180°）时，直接写出∠DOM 的度数．（用β 来表示，无需说明理由） 【解题思路】（1）首先求出∠BOC＝90°，利用角平分线可得∠COM＝45°，再利用角的和差可得答 案； （2）同（1）的思路； 1 （3）首先求出∠BOC＝α﹣120°，利用角平分线可得∠COM= 2 � −60°，再利用角的和差可得答案； （4）根据（3）的思路可得答案． 【解答过程】解：（1）∵∠AOC＝30°，∠AOB＝120°， ∴∠BOC＝120°﹣30°＝90°， ∵OM 平分∠BOC， ∴∠COM＝90°÷2＝45°， ∴∠MOD＝60°﹣45°＝15°． 故答案为：15°． （2）∵∠AOC＝100°，∠AOB＝120°， ∴∠BOC＝120°﹣100°＝20°， ∵OM 平分∠BOC， ∴∠COM＝20°÷2＝10°， ∴∠MOD＝60°﹣10°＝50°． 故答案为：50°． （3）解：因为∠AOC＝α，∠AOB＝120°， 所以∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝α﹣120°， 因为 OM 平分∠BOC， 1 1 所以∠MOC= 2∠BOC= 2 � −60°（用α表示）， 因为△COD 为等边三角形， 所以∠DOC＝60°， 1 所以∠DOM＝∠MOC+∠DOC= �（用α表示）． 2 1 1 1 故答案为： ， � −60°， �． 2 2 2 1 （4）当∠AOC＝β（0°＜β＜180°）时，∠DOM= �． 2 因为∠AOC＝β，∠AOB＝120°， 所以∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝β﹣120°， 因为 OM 平分∠BOC， 1 1 所以∠MOC= 2∠BOC= 2 � −60°， 因为△COD 为等边三角形， 所以∠DOC＝60°， 1 所以∠DOM＝∠MOC+∠DOC= �． 2 【题型 2 等边三角形的性质（规律问题）】 【例 2】（2021 春•渠县期末）如图，已知∠MON＝30°，点 A1，A2，A3，…在射线 ON 上，点 B1，B2， B3，…在射线 OM 上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若 OA1＝2，则△A6B6A7 的边长为（ ） A．16 B．32 C．64 D．128 【解题思路】由等边三角形的性质得到∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2，再由三角形外角的性质求出∠A1B1O ＝30°，则 A1B1＝A1A2＝OA1，同理得 A2B2＝A2A3＝OA2＝2OA1，A3B3＝A3A4＝22•OA1，A4B4＝A4A5＝ 23•OA1，由此得出规律 AnBn＝AnAn+1＝2n 1•OA1＝2n，即可求解． ﹣ 【解答过程】解：∵△A1B1A2 为等边三角形， ∴∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2， ∴∠A1B1O＝∠B1A1A2﹣∠MON＝60°﹣30°＝30°， ∴∠A1B1O＝∠MON， ∴A1B1＝OA1， ∴A1B1＝A1A2＝OA1， 同理可得 A2B2＝A2A3＝OA2＝2OA1， ∴A3B3＝A3A4＝OA3＝2OA2＝22•OA1， A4B4＝A4A5＝OA4＝2OA3＝23•OA1， … ∴AnBn＝AnAn+1＝2n 1•OA1＝2n， ﹣ ∴△A6B6A7 的边长：A6B6＝26＝64， 故选：C． 【变式 2-1】（2020 秋•新化县期末）如图，∠MON＝30°，点 A1，A2，A3，…在射线 ON 上，点 B1，B2， B3，…在射线 OM 上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形．若 OA1＝1，则△AnBnAn+1 的 边长为 ﹣1 2n ． 【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出 A1B1∥A2B2∥A3B3，以及 A2B2＝2B1A2，得出 A3B3 ＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2…进而得出答案． 【解答】解：∵△A1B1A2 是等边三角形， ∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°， ∴∠2＝120°， ∵∠MON＝30°， ∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°， 又∵∠3＝60°， ∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°， ∵∠MON＝∠1＝30°， ∴OA1＝A1B1＝1， ∴A2B1＝1， ∵△A2B2A3、△A3B3A4 是等边三角形， ∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°， ∵∠4＝∠12＝60°， ∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3， ∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°， ∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3， ∴A3B3＝4B1A2＝4， A4B4＝8B1A2＝8， A5B5＝16B1A2＝16， 以此类推：△AnBnAn+1 的边长为 2n 1． ﹣ 故答案是：2n 1． ﹣ 【变式 2-2】如图，等边△A1C1C2 的周长为 1，作 C1D1⊥A1C2 于 D1，在 C1C2 的延长线上取点 C3，使 D1C3 ＝D1C1，连接 D1C3，以 C2C3 为边作等边△A2C2C3；作 C2D2⊥A2C3 于 D2，在 C2C3 的延长线上取点 C4， 使 D2C4＝D2C2，连接 D2C4，以 C3C4 为边作等边△A3C3C4；…且点 A1，A2，A3，…都在直线 C1C2 同侧， 如此下去，则△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△An∁nCn+1 的周长和为 整数） 2� −1 2�−1 ．（n≥2，且 n 为 【分析】根据等边三角形的性质分别求出△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△An∁nCn+1 的周长即可 解决问题． 【解答】解：∵等边△A1C1C2 的周长为 1，作 C1D1⊥A1C2 于 D1， ∴A1D1＝D1C2， 1 1 ∴△A2C2C3 的周长= △A1C1C2 的周长= ， 2 2 1 1 1 ∴△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△An∁nCn+1 的周长分别为 1， ， 2 ，…， �−1 ， 2 2 2 1 1 1 2�−1 ∴△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△An∁nCn+1 的周长和为 1+ 2 + 2 + ⋯ + �−1 = �−1 ． 2 2 2 故答案为 2� −1 2�−1 ． 【变式 2-3】（2020 秋•汉阳区期末）如图，在平面直角坐标系中，有一个