专题 2.5 等腰三角形-重难点题型 【苏科版】 【知识点 1 等腰三角形】 （1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形. （2）等腰三角形性质 ①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上 的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于 45°. （3）等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）. 【题型 1 等腰三角形的性质（角度问题）】 【例 1】（2021•绍兴）如图，在△ABC 中，∠A＝40°，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，BD＝BC＝CE，连 结 CD，BE． （1）若∠ABC＝80°，求∠BDC，∠ABE 的度数； （2）写出∠BEC 与∠BDC 之间的关系，并说明理由． 1 【解题思路】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BDC＝∠BCD= 2（180°﹣80°）＝50°，根据三角形 的内角定理得到∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°，推出△BCE 是等边三角形，得到∠EBC＝60°，于 是得到结论； （2）根据等腰三角形的性质得到∠CBE＝∠BEC＝α，再根据△BDC 的内角和等于 180°，求得β，得出 α+β的值，于是得到结论． 【解答过程】解：（1）∵∠ABC＝80°，BD＝BC， 1 ∴∠BDC＝∠BCD= 2（180°﹣80°）＝50°， ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝40°， ∴∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°， ∵CE＝BC， ∴△BCE 是等边三角形， ∴∠EBC＝60°， ∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝80°﹣60°＝20°； （2）∠BEC 与∠BDC 之间的关系：∠BEC+∠BDC＝110°， 理由：设∠BEC＝α，∠BDC＝β， 在△ABE 中，α＝∠A+∠ABE＝40°+∠ABE， ∵CE＝BC， ∴∠CBE＝∠BEC＝α， ∴∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝∠A+2∠ABE＝40°+2∠ABE， 在△BDC 中，BD＝BC， ∴∠BDC+∠BCD+∠DBC＝2β+40°+2∠ABE＝180°， ∴β＝70°﹣∠ABE， ∴α+β＝40°+∠ABE+70°﹣∠ABE＝110°， ∴∠BEC+∠BDC＝110°． 【变式 1-1】（2020 春•益阳期末）如图，已知∠ABC、∠ACB 的平分线相交于点 O，EF 过点 O 且 EF∥BC． （1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC 的度数； （2）若∠BOC＝130°，∠1：∠2＝3：2，求∠ABC、∠ACB 的度数． 【解题思路】（1）由角平分线的定义可求解∠OBC＝25°，∠OCB＝30°，再利用三角形的内角和定理 可求解； （2）由已知条件易求∠1，∠2 的度数，根据平行线的性质即可得∠OBC，∠OCB 的度数，利用角平分 线的定义可求解． 【解答过程】解：（1）∵∠ABC 和∠ACB 的平分线 BO 与 CO 相交于点 O， 1 1 所以∠EBO＝∠OBC= ∠���，∠FCO＝∠OCB= ∠���， 2 2 又∠ABC＝50°，∠ACB＝60°， ∴∠OBC＝25°，∠OCB＝30°， ∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝125°； （2）∵∠BOC＝130°， ∴∠1+∠2＝50°， ∵∠1：∠2＝3：2， ∴∠1 = 3 2 × 50° = 30°，∠2 = × 50° = 20°， 5 5 ∵EF∥BC， ∴∠OBC＝∠1＝30°，∠OCB＝∠2＝20°， ∵∠ABC 和∠ACB 的平分线 BO 与 CO 相交于点 O， ∴∠ABC＝60°，∠ACB＝40°． 【变式 1-2】（2020 春•宁德期末）如图，已知等腰△ABC 中，AB＝AC，∠A＜90°，CD 是△ABC 的高， BE 是△ABC 的角平分线，CD 与 BE 交于点 P．当∠A 的大小变化时，△EPC 的形状也随之改变． （1）当∠A＝44°时，求∠BPD 的度数； （2）设∠A＝x°，∠EPC＝y°，求变量 y 与 x 的关系式； （3）当△EPC 是等腰三角形时，请直接写出∠A 的度数． 【解题思路】（1）根据等边对等角求出等腰△ABC 的底角度数，再根据角平分线的定义得到∠ABE 的 度数，再根据高的定义得到∠BDC＝90°，从而可得∠BPD； （2）按照（1）中计算过程，即可得到∠A 与∠EPC 的关系，即可得到结果； （3）分①若 EP＝EC，②若 PC＝PE，③若 CP＝CE，三种情况，利用∠ABC+∠BCD＝90°，以及 y= 45 + � 解出 x 即可． 4 【解答过程】解：（1）∵AB＝AC，∠A＝44°， ∴∠ABC＝∠ACB＝（180﹣44）°÷2＝68°， ∵CD⊥AB， ∴∠BDC＝90°， ∵BE 平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE＝34°， ∴∠BPD＝90°﹣34°＝56°； （2）∵∠A＝x°， � ∴∠ABC＝（180﹣x）°÷2＝（90− 2）°， 1 � 由（1）可得：∠ABP= ∠ABC＝（45− ）°，∠BDC＝90°， 2 4 � � ∴∠EPC＝y°＝∠BPD＝90°﹣（45− 4）°＝（45 + 4）°， � 即 y 与 x 的关系式为 y= 45 + 4， （3）设∠A＝x°，∠EPC＝y°， ①若 EP＝EC， 则∠ECP＝∠EPC＝y°， � 而∠ABC＝∠ACB＝（90− ）°，∠ABC+∠BCD＝90°， 2 � � � 则有：（90− ）°+（90− −y）°＝90°，又 y= 45 + ，代入， 2 2 4 � � � ∴（90− 2）°+（90− 2）°﹣（45 + 4）°＝90°， 解得：x＝36； ②若 PC＝PE， � 则∠PCE＝∠PEC＝（180﹣y）°÷2＝（90− ）°， 2 由①得：∠ABC+∠BCD＝90°， � � � ∴（90− 2）°+[（90− 2）°﹣（90− ）°]＝90°， 2 � 又 y= 45 + 4，代入， 解得：x= 180 ； 7 ③若 CP＝CE， 则∠EPC＝∠PEC＝y°，∠PCE＝180°﹣2y°， 由①得：∠ABC+∠BCD＝90°， � � � ∴（90− 2）°+（90− 2）°﹣（180﹣2y）°＝90°，又 y= 45 + 4，代入， 解得：x＝0，不符合， 综上：当△EPC 是等腰三角形时，∠A 的度数为 36°或（ 180 7 ）°． 【变式 1-3】（2020 秋•仓山区期中）如图，在四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 E，AC＝AD，∠BAC ＝∠BDC＝α，∠CAD＝β． （1）求证：∠ABD＝∠ADC； （2）当∠AED＝65°时，求β﹣2α的度数； （3）α+2β＝180°时，求证：BD＝CD． 【解题思路】（1）由∠AED 是△ABE 和△CDE 的外角，∠BAC＝∠BDC＝α可知∠ABD＝∠ACD，由 AC＝AD 可得∠ACD＝∠ADC，等量代换即可； （2）根据∠AED 是△CDE 的外角表示出∠AED 的度数，由条件∠AED＝65°，进行变形即可； （3）延长 BA 到 F，使 AF＝AC，通过 SAS 证△ADF≌△ADC 得 FD＝CD，再通过等边对等角证 BD＝ FD 即可证出． 【解答过程】（1）证明：∵AC＝AD， ∴∠ACD＝∠ADC， ∵∠AED 是△ABE 和△CDE 的外角，∠BAC＝∠BDC＝α， ∴∠AED＝∠ABD+α＝∠ACD+α， ∴∠ABD＝∠ACD， ∵∠ACD＝∠ADC， ∴∠ABD＝∠ADC； （2）∵AC＝AD，∠CAD＝β， 1 1 ∴∠ACD= （180°﹣β）＝90°− �， 2 2 ∵∠AED 是△CDE 的外角，∠BDC＝α， 1 ∴∠AED＝∠ACD+α＝90°− � +α， 2 ∵∠AED＝65°， 1 ∴90°− 2 � +α＝65°， ∴β﹣2α＝50°； （3）解：延长 BA 到 F，使 AF＝AC，连接 FD， ∵∠BAC＝α，∠CAD＝β， ∴∠DAF＝180°﹣α﹣β， ∵α+2β＝180°， ∴∠DAF＝180°﹣α﹣β＝α+2β﹣α﹣β＝β＝∠DAC， 在△ADF 和△ADC 中 �� = �� ∠��� = ���， �� = �� ∴△ADF≌△ADC（SAS）， ∴FD＝CD，∠F＝∠ACD， ∵由（1）得∠ABD＝∠ACD， ∴∠F＝∠ABD， ∴FD＝BD， ∴CD＝BD 【题型 2 等腰三角形的性质（周长问题）】 【例 2】（2020 秋•罗庄区期中）如图，在△ABC 中，AB＝BC，中线 AD 将这个三角形的周长分成 18 和 15 两部分，则 AC 的长为 9 或 13 ． 【解题思路】设 AB＝BC＝2x，AC＝y，则 BD＝CD＝x，则有两种情况，根据等腰三角形的性质以及三 角形三边关系解答． 【解答过程】解：设 AB＝BC＝2x，AC＝y，则 BD＝CD＝x， ∵BC 上的中线 AD 将这个三角形的周长分成 18 和 15 两部分， ∴有两种情况： 当 3x＝18 且 x+y＝15 时， 解得 x＝6，y＝9， 即 AC 的长为 9； 当 x+y＝18 且 3x＝15 时，解得 x＝5，y＝13， 此时腰为 10， 即 AC 的长为 13． 综上所述，AC 的长为 9 或 13． 故答案为：9 或 13． 【变式 2-1】（2020 春•卧龙区期末）如图，在△ABC 中，AB＝AC，BC＝4cm，将△ABC 沿 BC 方向平移得 到△DEF，若 DE＝6cm，EC＝1cm，则四边形 ABFD 的周长为 22 cm． 【解题思路】根据平移的基本性质，得出四边形 ABFD 的周长＝AD+AB+BF+DF＝3+6+7+6，即可得出答 案． 【解答过程】解：根据题意，将△ABC 沿 BC 方向平移得到△DEF， ∴AD＝CF＝BE，BF＝BC+CF，DE＝AB＝AC＝DF＝6cm； 又∵BC＝4cm，EC＝1cm， ∴BE＝BC﹣EC＝3cm， ∴AD＝CF＝BE＝3cm，BF＝BC+CF＝7cm， ∴四边形 ABFD 的周长＝AD+AB+BF+DF＝3+6+7+6＝22cm． 故答案为 22． 【变式 2-2】（2020 秋•延津县期中）一个等腰三角形的周长为 28cm． （1）如果底边长是腰长的 1.5 倍，求这个等腰三角形的三边长； （2）如果一边长为 10cm，求这个等腰三角形的另两边长． 【解题思路】（1）设腰长＝acm，则底边长＝1.5acm，代入求出即可； （2）已知条件中，没有明确说明已知的边长是否是腰