专题 2.4 角平分线的性质和判定-重难点题型 【苏科版】 【知识点 1 角平分线的作法】 ①以 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于 D，交 OB 于 E. ②分别以 D、E 为圆心，大于 1 DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点 C. 2 ③画射线 OC.即射线 OC 即为所求. 【题型 1 角平分线的作法及应用】 【例 1】（2020 秋•曲靖校级月考）如图所示，已知∠AOB，求作射线 OC，使 OC 平分∠AOB，作法的合理 顺序是 ．（将①②③重新排列） ①作射线 OC； ②以 O 为圆心，任意长为半径画弧交 OA、OB 于 D、E； 1 ③分别以 D、E 为圆心，大于 ��的长为半径作弧，在∠AOB 内，两弧交于点 C． 2 【解题思路】根据角平分线的作法进行解答． 【解答过程】解：作法：（1）以 O 为圆心，任意长为半径画弧交 OA、OB 于 D、E； 1 （2）分别以 D、E 为圆心，大于 ��的长为半径作弧，在∠AOB 内，两弧交于点 C， 2 （3）作射线 OC， 所以 OC 就是所求作的∠AOB 的平分线． 故题中的作法应重新排列为：②③①． 故答案为：②③①． 【变式 1-1】（2020•连城县模拟）如图，已知∠MON，点 B，C 分别在射线 OM，ON 上，且 OB＝OC． （1）用直尺和圆规作出∠MON 的角平分线 OP，在射线 OP 上取一点 A，分别连接 AB、AC（只需保留 作图痕迹，不要求写作法）． （2）在（1）的条件下求证：AB＝AC． 【解题思路】（1）根据作角平分线的方法画图即可； （2）先判断出∠POB＝∠POC，进而根据全等三角形的判定定理和性质即可得到结论． 【解答过程】解：（1）如图所示： 射线 OP 即为所求； （2）由（1）知，OP 是∠MON 的角平分线， ∴∠POB＝∠POC， �� = �� 在△ABO 与△ACO 中 ∠��� = ∠���， �� = �� ∴△ABO≌△ACO（SAS）， ∴AB＝AC． 【变式 1-2】（2020 秋•沛县期中）如图，已知点 D 在△ABC 的边 AB 上，且 AD＝CD， （1）用直尺和圆规作∠BDC 的平分线 DE，交 BC 于点 E（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，判断 DE 与 AC 的位置关系，并写出证明过程． 【解题思路】（1）根据角平分线的尺规作图可得； （2）先由 AD＝CD 知∠A＝∠DCA，继而得∠BDC＝∠A+∠DCA＝2∠A，再由 DE 平分∠BDC 知∠BDC ＝2∠BDE，从而得∠BDE＝∠A，从而得证． 【解答过程】解：（1）如图所示，DE 即为所求． （2）DE∥AC． 理由如下： 因为 AD＝CD， 所以∠A＝∠DCA， 所以∠BDC＝∠A+∠DCA＝2∠A， 因为 DE 平分∠BDC， 所以∠BDC＝2∠BDE， 所以∠BDE＝∠A， 所以 DE∥AC． 【变式 1-3】（2021 秋•孟州市校级期中）数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平 分线，方法如下： 根据以上情境，解决下列问题： 作法：（如图 1） ①在 OA 和 OB 上分别截取 OD、OE，使 OD＝OE． 1 ②分别以 D、E 为圆心，以大于 DE 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 内交于点 C． 2 ③作射线 OC，则 OC 就是∠AOB 的平分线． 小聪只带来直角三角板，他发现利用三角板也可以作角平分线（如图 2），方法如下： 步骤：①利用三角板上的刻度，在 OA 和 OB 上分别截取 OM、ON，使 OM＝ON． ②分别过 M、N 作 OM、ON 的垂线，交于点 P． ③作射线 OP，则 OP 为∠AOB 的平分线． 小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线． ①李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是 ． ②小聪的作法正确吗？请说明理由． ③请你帮小颖设计用刻度尺作角平分线的方法．（要求：作出图形，写出作图步骤，不予证明） 【解题思路】①根据全等三角形的判定即可求解； ②根据 HL 可证 Rt△OMP≌Rt△ONP，再根据全等三角形的性质即可作出判断； ③根据用刻度尺作角平分线的方法作出图形，写出作图步骤即可． 【解答过程】解：①李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法 SSS； 故答案为 SSS； ②小聪的作法正确． 理由：∵PM⊥OM，PN⊥ON ∴∠OMP＝∠ONP＝90°， 在 Rt△OMP 和 Rt△ONP 中， ∵ �� = �� ， �� = �� ∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL）， ∴∠MOP＝∠NOP， ∴OP 平分∠AOB． ③如图所示： 步骤：①利用刻度尺在 OA、OB 上分别截取 OG＝OH， ②连接 GH，利用刻度尺作出 GH 的中点 Q， ③作射线 OQ， 则 OQ 为∠AOB 的平分线． 【知识点 2 角平分线的性质】 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 用符号语言表示角的平分线的性质定理： 若 CD 平分∠ADB，点 P 是 CD 上一点，且 PE⊥AD 于点 E，PF⊥BD 于点 F，则 PE＝PF. 【题型 2 角平分线的性质的应用】 【例 2】（2021 春•毕节市期末）如图，已知△ABC 中，∠C＝90o，AC＝BC，AD 平分∠CAB，交 BC 于点 D，DE⊥AB 于点 E，且 AB＝10，则△DEB 的周长为（ A．9 B．5 C．10 ） D．不能确定 【解题思路】先利用角平分线的性质得到 DE＝DC，再证明 Rt△ACD≌Rt△AED 得到 AC＝AE，然后利 用等线段代换得到△DEB 的周长＝AB． 【解答过程】解：∵AD 平分∠CAB，DE⊥AB，DC⊥AC， ∴DE＝DC， 在 Rt△ACD 和 Rt△AED 中， �� = �� ， �� = �� ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AC＝AE， ∵AC＝BC， ∴BC＝AE， ∴△DEB 的周长＝BD+DE+BE＝BD+CD+BE＝BC+BE＝AE+BE＝AB＝10． 故选：C． 【变式 2-1】（2021 春•汉寿县期中）如图，四边形 ABCD 中，∠A＝90°，AD＝3，连接 BD，BD⊥CD， 垂足是 D 且∠ADB＝∠C，点 P 是边 BC 上的一动点，则 DP 的最小值是（ A．1 B．2 C．3 ） D．4 【解题思路】根据等角的余角相等求出∠ABD＝∠CBD，再根据垂线段最短可知 DP⊥BC 时 DP 最小， 然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 DP＝AD． 【解答过程】解：∵BD⊥CD，∠A＝90° ∴∠ABD+∠ADB＝90°， ∠CBD+∠C＝90°， ∴∠ABD＝∠CBD， 由垂线段最短得，DP⊥BC 时 DP 最小， 此时，DP＝AD＝3． 故选：C． 【变式 2-2】（2020 秋•增城区期末）如图，已知△ABC 的周长是 18cm，∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于 点 O，OD⊥BC 于点 D，若 OD＝3cm，则△ABC 的面积是（ A．24 B．27 C．30 ）cm2． D．33 【解题思路】过 O 点作 OE⊥AB 于 E，OF⊥AC 于 F，连接 OA，如图，根据角平分线的性质得 OE＝OD ＝3，OF＝OD＝3，由于 S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC，所以根据三角形的面积公式可计算出△ABC 的面 积． 【解答过程】解：过 O 点作 OE⊥AB 于 E，OF⊥AC 于 F，连接 OA，如图， ∵OB 平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB， ∴OE＝OD＝3， 同理可得 OF＝OD＝3， ∴S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC = 1 1 1 ×OE×AB+ ×OD×BC+ ×OF×AC 2 2 2 3 = （AB+BC+AC）， 2 ∵△ABC 的周长是 18， ∴S△ABC= 3 ×18＝27（cm2）． 2 故选：B． 【变式 2-3】（2021 春•武侯区校级期中）如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF⊥AB 于点 F，且 DE＝DG， S△ADG＝24，S△AED＝18，则△DEF 的面积为（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 【解题思路】过点 D 作 DH⊥AC 于 H，根据角平分线的性质得到 DH＝DF，进而证明 Rt△DEF≌Rt△ DGH，根据全等三角形的性质得到△DEF 的面积＝△DGH 的面积，根据题意列出方程，解方程得到答 案． 【解答过程】解：过点 D 作 DH⊥AC 于 H， ∵AD 是△ABC 的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC， ∴DH＝DF， 在 Rt△DEF 和 Rt△DGH 中， �� = �� ， �� = �� ∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL）， ∴△DEF 的面积＝△DGH 的面积， 设△DEF 的面积＝△DGH 的面积＝S， 同理可证，Rt△ADF≌Rt△ADH， ∴△ADF 的面积＝△ADH 的面积， ∴24﹣S＝18+S， 解得，S＝3， 故选：B． 【题型 3 角平分线的性质与等积法】 【例 3】（2020 秋•云南期末）如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F， △ABC 面积是 152cm2，AB＝20cm，AC＝18cm，求 DE 的长． 【解题思路】根据 S△ABC＝S△ABD+S△ACD，再利用角平分线的性质即可解决问题． 【解答过程】解：∵AD 为∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F， ∴DE＝DF， ∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD， ∴S△ABC= 1 1 × �� × �� + × �� × ��， 2 2 ∵△ABC 面积是 152cm2，AB＝20cm，AC＝18cm， ∴152= 1 1 × 20 × �� + × 18 × ��， 2 2 ∴10DE+9DF＝152， ∵DE＝DF， ∴19DE＝152， ∴DE＝8． 【变式 3-1】（2021 春•浦江县期末）如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，BC＝10，若 AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，求 BD 的长． 【解题思路】过 A 点作 AH⊥BC 于 H，过 D 点作 DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，如图，利用面积法先求 1 24 1 1 出 AH= 5 ，再根据角平分线的性质得到 DE＝DF，接着利用面积法得到 AB•DE+ 2AC•DF= 2AB•AC， 2 则可求出 DE= 1 24 1