专题 2.3 线段垂直平分线的性质和判定-重难点题型 【苏科版】 【知识点 1 线段垂直平分线的性质】 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这 条线段的垂直平分线上. 【题型 1 利用线段垂直平分线的性质求线段】 【例 1】（2021 春•莱阳市期末）如图，△ABC 中，ED 垂直平分 AB，交 AB 于点 D，交 AC 于点 F，交 BC 的延长线于点 E，若 BF＝6，CF＝2，则 AC 的长为 ． 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到 AF＝BF＝6，结合图形计算即可． 【解答】解：∵ED 垂直平分 AB，BF＝6， ∴AF＝BF＝6， ∵CF＝2， ∴AC＝AF+CF＝6+2＝8， 故答案为：8． 【变式 1-1】（2020 秋•长宁区期末）如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 BC 于点 E．△ ABC 的周长为 19，△ACE 的周长为 13，则 AB 的长为（ ） A．3 B．6 C．12 D．16 【分析】根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵AB 的垂直平分线交 AB 于点 D， ∴AE＝BE， ∵△ACE 的周长＝AC+AE+CE＝AC+BC＝13，△ABC 的周长＝AC+BC+AB＝19， ∴AB＝△ABC 的周长﹣△ACE 的周长＝19﹣13＝6， 故选：B． 【变式 1-2】（2021 春•高新区期末）如图，在△ABC 中，∠BAC＞90°，AB 的垂直平分线交 BC 于点 E， AC 的垂直平分线交 BC 于点 F，连接 AE、AF，若△AEF 的周长为 2，则 BC 的长是（ A．2 B．3 C．4 ） D．无法确定 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到 EA＝EB，FA＝FC，根据三角形的周长公式即可求出 BC． 【解答】解：∵AB 的垂直平分线交 BC 于点 E， ∴EA＝EB， ∵AC 的垂直平分线交 BC 于点 F． ∴FA＝FC， ∴BC＝BE+EF+FC＝AE+EF+FC＝△AEF 的周长＝2． 故选：A． 【变式 1-3】（2021 春•乾县期末）如图，在△ABC 中，AB 边的中垂线 DE，分别与 AB、AC 边交于点 D、 E 两点，BC 边的中垂线 FG，分别与 BC、AC 边交于点 F、G 两点，连接 BE、BG．若△BEG 的周长为 16，GE＝1．则 AC 的长为（ ） A．13 B．14 C．15 D．16 【分析】利用线段的垂直平分线的性质以及线段的和差关系即可解决问题． 【解答】解：∵DE 是线段 AB 的中垂线，GF 是线段 BC 的中垂线， ∴EB＝EA，GB＝GC， ∵△BEG 周长为 16， ∴EB+GB+EG＝16， ∴EA+GC+EG＝16， ∴GA+EG+EG+EG+EC＝16， ∴AC+2EG＝16， ∵EG＝1， ∴AC＝14， 故选：B． 【题型 2 利用线段垂直平分线的性质求角度】 【例 2】（2021•越秀区模拟）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB 边的垂直平分线 DE 交 BC 于点 D， 交 AB 于点 E，连接 AD，AD 将∠CAB 分成两个角，且∠CAD：∠BAD＝2：5，则∠ADC 的度数是（ A．70° B．75° C．80° ） D．85° 【分析】设∠CAD＝2x°，∠BAD＝5x°，根据线段垂直平分线的性质得出 BD＝AD，求出∠BAD＝∠B ＝5x°，根据直角三角形的性质得出∠CAB+∠B＝90°，求出 x，再求出∠B 和∠BAD，根据三角形的外 角性质求出答案即可． 【解答】解：设∠CAD＝2x°，∠BAD＝5x°， ∵AB 的垂直平分线是 DE， ∴BD＝AD， ∴∠BAD＝∠B， 即∠B＝5x°， ∵∠C＝90°， ∴∠CAB+∠B＝90°， ∴2x+5x+5x＝90， 解得：x= 15 ， 2 即∠B＝∠BAD＝（ 75 2 ）°， ∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝（ 故选：B． 75 2 ）°+（ 75 2 ）°＝75°， 【变式 2-1】（2021 春•建平县期末）如图，已知△ABC 中，∠B＝50°，P 为△ABC 内一点，过点 P 的直 线 MN 分别交 AB，BC 于点 M、N．若 M 在 PA 的中垂线上，N 在 PC 的中垂线上，则∠APC 的度数为（ A．100° B．105° C．115° ） D．120° 【分析】根据三角形的内角和得到∠BAC+∠ACB＝130°，根据线段的垂直平分线的性质得到 AM＝PM， PN＝CN，由等腰三角形的性质得到∠MAP＝∠APM，∠CPN＝∠PCN，进而得出∠MAP+∠PCN＝∠PAC+ ∠ACP= 1 ×130°＝65°，根据三角形内角和定理计算即可． 2 【解答】解：∵∠ABC＝50°， ∴∠BAC+∠ACB＝130°， ∵M 在 PA 的中垂线上，N 在 PC 的中垂线上， ∴AM＝PM，PN＝CN， ∴∠MAP＝∠APM，∠CPN＝∠PCN， ∵∠APC＝180°﹣∠APM﹣∠CPN＝180°﹣∠PAC﹣∠ACP， 1 ∴∠MAP+∠PCN＝∠PAC+∠ACP= 2 ×130°＝65°， ∴∠APC＝115°， 故选：C． 【变式 2-2】（2021•市南区一模）如图，在△ABC 中，点 O 是边 AB 和 AC 的垂直平分线 OD、OE 的交点， 若∠BOC＝100°，则这两条垂直平分线相交所成锐角α的度数为（ A．40° B．45° C．50° ） D．80° 【分析】连接 OA，根据线段垂直平分线的性质得出 OA＝OB＝OC，根据等腰三角形的性质得出∠BAO ＝∠ABO，∠OBC＝∠OCB，∠CAO＝∠ACO，求出∠BAC，再根据四边形的内角和等于 360°求出答案 即可． 【解答】解：连接 OA， ∵点 O 是边 AB 和 AC 的垂直平分线 OD、OE 的交点， ∴OA＝OB，OB＝OC， ∴OA＝OB＝OC， ∴∠BAO＝∠ABO，∠OBC＝∠OCB，∠CAO＝∠ACO， ∵∠BOC＝100°， ∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣100°＝80°， ∴∠ABO+∠BAO+∠OCA+∠OAC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝100°， ∴2（∠BAO+∠CAO）＝100°， 即∠BAC＝50°， ∵点 O 是边 AB 和 AC 的垂直平分线 OD、OE 的交点， ∴∠ODA＝∠OEA＝90°， ∴∠DOE＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°， ∴∠α＝180°﹣130°＝50°， 故选：C． 【变式 2-3】（2021 春•安国市期末）如图，在△ABC 中，I 是三角形角平分线的交点，O 是三边垂直平分 线的交点，连接 AI，BI，AO，BO，若∠AOB＝140°，则∠AIB 的大小为（ A．160° B．140° C．130° ） D．125° 【分析】连接 CO，根据三角形内角和定理求出∠OAB+∠OBA，根据线段垂直平分线的性质得到 OA＝ OC，OB＝OC，进而得到∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，求出∠CAB+∠CBA，根据角平分线的定义、 三角形内角和定理计算，得到答案． 【解答】解：连接 CO， ∵∠AOB＝140°， ∴∠OAB+∠OBA＝180°﹣140°＝40°， ∴∠OCA+∠OAC+∠OCB+∠OBC＝180°﹣40°＝140°， ∵O 是三边垂直平分线的交点， ∴OA＝OC，OB＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC， ∴∠OCA+∠OCB＝70°， ∴∠CAB+∠CBA＝180°﹣70°＝110°， ∵AI 平分∠BAC，BI 平分∠ABC， 1 1 ∴∠IAB= 2∠CAB，∠IBA= 2∠CBA， 1 ∴∠IAB+∠IBA= 2（∠CAB+∠CBA）＝55°， ∴∠AIB＝180°﹣55°＝125°， 故选：D． 【题型 3 线段垂直平分线的性质的应用】 【例 3】（2020 秋•甘井子区期末）如图，电信部门要在公路 l 旁修建一座移动信号发射塔．按照设计要求， 发射塔到两个城镇 M，N 的距离必须相等，则发射塔应该建在（ A．A 处 B．B 处 C．C 处 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出即可． 【解答】解： ） D．D 处 根据作图可知：EF 是线段 MN 的垂直平分线， 所以 EF 上的点到 M、N 的距离相等， 即发射塔应该建在 C 处， 故选：C． 【变式 3-1】（2020 秋•偃师市期末）元旦联欢会上，同学们玩抢凳子游戏，在与 A、B、C 三名同学距离相 等的位置放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜．如果将 A、B、C 三名同学所在位置看作△ABC 的三个顶点， 那么凳子应该放在△ABC 的（ ） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三边垂直平分线的交点 【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的 距离相等可知，要放在三边垂直平分线的交点上． 【解答】解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等， ∴凳子应放在△ABC 的三条垂直平分线的交点最合适． 故选：D． 【变式 3-2】（2021 春•宁阳县期末）如图，若记北京为 A 地，莫斯科为 B 地，雅典为 C 地，若想建立一个 货物中转仓，使其到 A、B、C 三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（ A．三边垂直平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点 ） 【分析】根据线段的垂直平分线的性质解答即可． 【解答】解：∵中转仓到 A、B 两地的距离相等， ∴中转仓的位置应选在边 AB 的垂直平分线上， 同理，中转仓的位置应选在边 AC、BC 的垂直平分线上， ∵中转仓到 A、B、C 三地的距离相等， ∴中转仓的位置应选在三边垂直平分线的交点上， 故选：A． 【变式 3-3】（2021 春•惠来县期末）《中共中央国务院关于促进农民增加收入若干政策的意见》中提出“进 一步精简乡镇机构和财政供养人员，积极稳妥地调整乡镇建制，有条件的可实行并村”．《中共中央国 务院关于积极发展现代农业扎实推进社会主义新农村建设的若干意见》中明确提出“治理农村人居环境， 搞好村庄治理规划和试点，节约农村建设用地”．以上两个政策出台后，山东陆陆续续开展了村庄合并 某地兴建的幸福小区的三个出口 A、B、C 的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下， 想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业