专题 2.2 轴对称的性质+设计轴对称图案-重难点题型 【苏科版】 【知识点 1 轴对称的性质】 （1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这 两个图形的对称轴． （2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 【题型 1 利用轴对称的性质求角度】 【例 1】（2021 春•沙坪坝区校级期中）如图，△AOB 与△COB 关于边 OB 所在的直线成轴对称，AO 的延 长线交 BC 于点 D．若∠BOD＝46°，∠C＝20°，则∠ADC＝ 【分析】根据∠ADC＝∠A+∠ABD，求出∠A，∠ABD 即可． 【解答】解：∵△AOB 与△COB 关于边 OB 所在的直线成轴对称， °． ∴△AOB≌△COB， ∴∠A＝∠C＝20°，∠ABO＝∠CBO， ∵∠BOD＝∠A+∠ABO， ∴∠ABO＝∠BOD﹣∠ABO＝46°﹣20°＝26°， ∴∠ABD＝2∠ABO＝52°， ∴∠ADC＝∠A+∠ABD＝20°+52°＝72°， 故答案为：72． 【变式 1-1】（2021 春•汉台区期末）如图，∠MON 内有一点 P，点 P 关于 OM 的轴对称点是 G，点 P 关于 ON 的轴对称点是 H，GH 分别交 OM、ON 于 A、B 点，若∠MON＝35°，则∠GOH＝ ． 【分析】连接 OP，根据轴对称的性质可得∠GOM＝∠MOP，∠PON＝∠NOH，然后求出∠GOH＝2∠ MON，代入数据计算即可得解． 【解答】解：如图，连接 OP， ∵P 点关于 OM 的轴对称点是 G，P 点关于 ON 的轴对称点是 H， ∴∠GOM＝∠MOP，∠PON＝∠NOH， ∴∠GOH＝∠GOM+∠MOP+∠PON+∠NOH＝2∠MON， ∵∠MON＝35°， ∴∠GOH＝2×35°＝70°． 故答案为：70°． 【变式 1-2】（2021 春•雁塔区校级期末）如图，点 P 为∠AOB 内一点，分别作出 P 点关于 OB、OA 的对称 点 P1，P2，连接 P1P2 交 OB 于 M，交 OA 于 N，若∠AOB＝40°，则∠MPN 的度数是（ ） A．90° B．100° C．120° D．140° 【分析】首先证明∠P1+∠P2＝40°，可得∠PMN＝∠P1+∠MPP1＝2∠P1，∠PNM＝∠P2+∠NPP2＝2 ∠P2，推出∠PMN+∠PNM＝2×40°＝80°，可得结论． 【解答】解：∵P 点关于 OB 的对称点是 P1，P 点关于 OA 的对称点是 P2， ∴PM＝P1M，PN＝P2N，∠P2＝∠P2PN，∠P1＝∠P1PM， ∵∠AOB＝40°， ∴∠P2PP1＝140°， ∴∠P1+∠P2＝40°， ∴∠PMN＝∠P1+∠MPP1＝2∠P1，∠PNM＝∠P2+∠NPP2＝2∠P2， ∴∠PMN+∠PNM＝2×40°＝80°， ∴∠MPN＝180°﹣（∠PMN+∠PNM）＝180°﹣80°＝100°， 故选：B． 【变式 1-3】（2020•射阳县校级模拟）如图，四边形 ABCD 中，AB＝AD，点 B 关于 AC 的对称点 B′恰好 落在 CD 上，若∠BAD＝100°，则∠ACB 的度数为（ A．40° B．45° ） C．60° D．80° 1 【分析】连接 AB'，BB'，过 A 作 AE⊥CD 于 E，依据∠BAC＝∠B'AC，∠DAE＝∠B'AE，即可得出∠CAE= 2 1 ∠BAD，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到∠ACB＝∠ACB'＝90°− 2∠BAD． 【解答】解：如图，连接 AB'，BB'，过 A 作 AE⊥CD 于 E， ∵点 B 关于 AC 的对称点 B'恰好落在 CD 上， ∴AC 垂直平分 BB'， ∴AB＝AB'， ∴∠BAC＝∠B'AC， ∵AB＝AD， ∴AD＝AB'， 又∵AE⊥CD， ∴∠DAE＝∠B'AE， 1 ∴∠CAE= 2∠BAD＝50°， 又∵∠AEC＝90°， ∴∠ACB＝∠ACB'＝40°， 故选：A． 【题型 2 利用轴对称的性质求线段】 【例 2】（2021•深圳模拟）如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，BC 上，点 A 与点 E 关于直线 CD 对称．若 AB＝7，AC＝9，BC＝12，则△DBE 的周长为（ A．9 B．10 C．11 ） D．12 【分析】根据轴对称的性质得到：AD＝DE，AC＝CE，结合已知条件和三角形周长公式解答． 【解答】解：∵点 A 与点 E 关于直线 CD 对称， ∴AD＝DE，AC＝CE＝9， ∵AB＝7，AC＝9，BC＝12， ∴△DBE 的周长＝BD+DE+BE＝BD+AD+BC﹣AC＝AB+BC﹣AC＝7+12﹣9＝10． 故选：B． 【变式 2-1】（2021 春•海口期末）如图所示，点 P 关于直线 OA、OB 的对称点分别为 C、D，连接 CD，交 OA 于 M，交 OB 于 N，若△PMN 的周长为 8cm，则 CD 为 cm． 【分析】由轴对称的性质可知 PM＝CM，PN＝DN，再由△PMN 的周长为 8cm，即可求得 CD 的长度． 【解答】解：∵点 P 关于直线 OA、OB 的对称点分别为 C、D， ∴PM＝CM，PN＝DN， ∴PN+PN+MN＝CM+DN+MN， ∴△PMN 的周长＝CD， ∵△PMN 的周长为 8cm， ∴CD＝8cm， 故答案为：8． 【变式 2-2】（2021 春•驿城区期末）如图，点 P 是∠AOB 外的一点，点 M，N 分别是∠AOB 两边上的点， 点 P 关于 OA 的对称点 Q 恰好落在线段 MN 上，点 P 关于 OB 的对称点 R 落在 MN 的延长线上．若 PM ＝3cm，PN＝4cm，MN＝4.5cm，则线段 QR 的长为 ． 【分析】根据轴对称的性质得到 OA 垂直平分 PQ，OB 垂直平分 PR，则利用线段垂直平分线的性质得 QM＝PM＝3cm，RN＝PN＝4cm，然后计算 QN，再计算 QN+RN 即可． 【解答】解：∵点 P 关于 OA 的对称点 Q 恰好落在线段 MN 上， ∴OA 垂直平分 PQ， ∴QM＝PM＝3cm， ∴QN＝MN﹣QM＝4.5cm﹣3cm＝1.5cm， ∵点 P 关于 OB 的对称点 R 落在 MN 的延长线上， ∴OB 垂直平分 PR， ∴RN＝PN＝4cm， ∴QR＝QN+RN＝1.5cm+4cm＝5.5cm． 故答案为 5.5cm． 【变式 2-3】（2020 春•双流区校级期末）如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，AB＝10，动 点 P 在边 AB 上运动（不与端点重合），点 P 关于直线 AC，BC 对称的点分别为 P1，P2．则在点 P 的运 动过程中，线段 P1P2 的长的最小值是 ． 【分析】连接 CP，依据轴对称的性质，即可得到线段 P1P2 的长等于 2CP，依据 CP 的最小值即可得出 线段 P1P2 的长的最小值． 【解答】解：如图，连接 CP， ∵点 P 关于直线 AC，BC 对称的点分别为 P1，P2， ∴P1C＝PC＝P2C， ∴线段 P1P2 的长等于 2CP， 如图所示，当 CP⊥AB 时，CP 的长最小，此时线段 P1P2 的长最小， ∵∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，AB＝10， ∴CP= ��×�� =4.8， �� ∴线段 P1P2 的长的最小值是 9.6， 故答案为：9.6． 【题型 3 画轴对称图形】 【例 3】（2020 春•荷塘区期末）如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC （顶点是网格线的交点）． （1）请画出△ABC 关于直线 l 对称的△A1B1C1； （2）将△A1B1C1 再向下平移 5 个单位，画出平移后得到的△A2B2C2，并计算△A2B2C2 的面积． 【分析】（1）分别作出 A、B、C 关于直线 l 的对称点 A1、B1、C1 即可； （2）利用网格特点和平移的性质画出点 A1、B1、C1 的对应点 A2、B2、C2 得到△A2B2C2，然后利用一个 矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△A2B2C2 的面积． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1 为所作； （2）如图，△A2B2C2 为所作， 1 1 1 △A2B2C2 的面积＝3×2− 2 ×3×1− 2 ×2×1− 2 ×2×1＝2.5． 【变式 3-1】（2021 春•秦都区期末）请在网格中完成下列问题： （1）如图 1，网格中的△ABC 与△DEF 为轴对称图形，请用所学轴对称的知识作出△ABC 与△DEF 的 对称轴直线 PQ； （2）如图 2，请在图中作出△ABC 关于直线 MN 对称的△A'B'C'． 【分析】（1）利用网格特点作 AD、CF 的垂直平分线即可； （2）利用网格特点，分别作 A、B、C 关于直线 MN 的对称点即可． 【解答】解：（1）如图，直线 PQ 为所作； （2）如图，△A'B'C'为所作． 【变式 3-2】（2021 秋•南昌期中）如图，将已知四边形分别在格点图中补成关于已知直线：l、m、n、p 为 对称轴的轴对称的图形． 【分析】根据轴对称图形的对应点被对称轴垂直平分的性质进行画图即可． 【解答】解： 【变式 3-3】（2020 秋•江汉区期末）如图，所有的网格都是由边长为 1 的小正方形构成，每个小正方形的 顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形，△ABC 为格点三角形． （1）如图，图 1，图 2，图 3 都是 6×6 的正方形网格，点 M，点 N 都是格点，请分别按要求在网格中 作图： ①在图 1 中作△MNP，使它与△ABC 全等； ②在图 2 中作△MDE，使△MDE 由△ABC 平移而得； ③在图 3 中作△NFG，使△NFG 与△ABC 关于某条直线对称； （2）如图 4，是一个 4×4 的正方形网格，图中与△ABC 关于某条直线轴对称的格点三角形有 【分析】（1）①根据全等三角形的判定画出图形即可． ②根据平移的性质画出图形即可． ③根据轴对称的性质画出图形即可． （2）根据轴对称的性质画出图形即可解决问题． 【解答】解：（1）①如图 1 中，△MNP 即为所求作． ②如图 2 中，△MDE 即为所求作． ③如图 3 中，△NFG 即为所求作． 个． ～ （2）如图 4 中，有 6 个