专题 1.10 全等三角形的证明及计算大题专项训练（30 道） 【苏科版】 考卷信息： 本套训练卷共 30 题，培优篇 15 题，拔尖篇 15 题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可深化学生对全 等三角形工具的应用及构造全等三角形！ 1．（2021 春•道里区期末）如图，点 A，C 在 EF 上，AD∥BC，DE∥BF，AE＝CF． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）直接写出图中所有相等的线段（AE＝CF 除外）． 【解题思路】（1）利用 ASA 证明△ADE≌△CBF 即可； （2）根据△ADE≌△CBF 即可得图中所有相等的线段． 【解答过程】（1）证明：∵AD∥BC ∴∠DAC＝∠BCA， 又∵∠DAC+∠EAD＝180°，∠BCA+∠FCB＝180°， ∴∠EAD＝∠FCB， ∵DE∥BF， ∴∠E＝∠F， 在△ADE 和△CBF 中， ∠��� = ∠��� ， �� = �� ∠� = ∠� ∴△ADE≌△CBF（ASA）， （2）∵△ADE≌△CBF， ∴ED＝FB，DA＝BC，EC＝FA． ∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠BCA， 在△ADC 和△CBA 中， �� = �� ∠��� = ∠���， �� = �� ∴△ADC≌△CBA（SAS）， ∴AB＝CD； ∴图中所有相等的线段有：ED＝FB，DA＝BC，AB＝CD，EC＝FA． 2．（2021 春•宁德期末）如图，AB，CD 交于点 O，AC＝DB，∠ACD＝∠DBA． （1）说明△AOC≌△DOB 的理由； （2）若∠ACD＝94°，∠CAO＝28°，求∠OCB 的度数． 【解题思路】（1）直接利用 AAS 即可证明△AOC≌△DOB； （2）利用三角形外角的性质得到∠COB，再根据△AOC≌△DOB 得到 OC＝OB，即可求得∠OCB． 【解答过程】解：（1）在△AOC 和△DOB 中， ∠��� = ∠��� ∠��� = ∠���， �� = �� ∴△AOC≌△DOB（AAS）； （2）∵∠ACD＝94°，∠CAO＝28°， ∴∠COB＝∠ACD+∠CAO＝122°， ∵△AOC≌△DOB， ∴OC＝OB， ∴∠OCB＝（180°﹣122°）÷2＝29°． 3．（2021 春•沙坪坝区校级期末）如图，在△ABC 中，AC＝BC，点 D 在 AB 边上，点 E 在 BC 边上，连接 CD，DE．已知∠ACD＝∠BDE，CD＝DE． （1）猜想 AC 与 BD 的数量关系，并证明你的猜想； （2）若 AD＝3，BD＝5，求 CE 的长． 【解题思路】（1）利用 AAS 证明△ADC≌△BED，即可得结论； （2）结合△ADC≌△BED，可得 AC＝BD＝5，BE＝AD＝3，进而可得 CE 的长． 【解答过程】解：（1）AC＝BD，理由如下： ∵AC＝BC， ∴∠A＝∠B， 在△ADC 和△BED 中， ∠� = ∠� ∠��� = ∠���， �� = �� ∴△ADC≌△BED（AAS）， ∴AC＝BD； （2）由（1）知：△ADC≌△BED， ∴AC＝BD＝5，BE＝AD＝3， ∴BC＝AC＝5， ∴CE＝BC﹣BE＝2． 4．（2021 春•渝中区校级期末）如图，点 E 在△ABC 的边 AC 上，且∠ABE＝∠C，AF 平分∠BAE 交 BE 于 F，FD∥BC 交 AC 于点 D． （1）求证：△ABF≌△ADF； （2）若 BE＝7，AB＝8，AE＝5，求△EFD 的周长． 【解题思路】（1）根据平行线的性质得到∠ADF＝∠C，等量代换得到∠ABF＝∠ADF，由角平分线的 定义得到∠BAF＝∠CAF，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到 AD＝AB＝8，BF＝DF，由线段的和差得到 DE＝AD＝AE＝8﹣5＝3， 根据三角形的周长公式即可得到结论． 【解答过程】解：（1）∵FD∥BC， ∴∠ADF＝∠C， ∵∠ABF＝∠C， ∴∠ABF＝∠ADF， ∵AF 平分∠BAE， ∴∠BAF＝∠CAF， 在△ABF 和△ADF 中， ∠��� = ∠��� ∠��� = ∠���， �� = �� ∴△ABF≌△ADF（AAS）； （2）∵△ABF≌△ADF， ∴AD＝AB＝8，BF＝DF， ∵AE＝5， ∴DE＝AD﹣AE＝8﹣5＝3， ∴△EFD 的周长＝EF+DF+DE＝EF+BF+DE＝BE+DE＝7+3＝10． 5．（2021 春•北碚区校级期末）如图，已知 D 是 AC 上一点，AB＝DA，AB+DC＝ED，AE＝BC． （1）求证：△ABC≌△DAE， （2）若∠BAE＝125°，求∠DCB 的度数． 【解题思路】（1）根据 SSS 证明三角形全等即可． （2）利用全等三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可． 【解答过程】（1）证明：∵DE＝AB+DC，AB＝AD， ∴DE＝AD+DC＝AC， 在△ABC 和△DAE 中， �� = �� �� = �� ， �� = �� ∴△ABC≌△DAE（SSS）． （2）解：∵△ABC≌△DAE， ∴∠EAD＝∠B， ∴∠B+∠BAC＝∠EAD+∠BAC＝∠EAB＝125°， ∴∠DCB＝180°﹣（∠B+∠BAC）＝180°﹣125°＝55°． 6．（2021 春•莱芜区期末）如图，已知 AD、BC 相交于点 O，AB＝CD，AM⊥BC 于点 M，DN⊥BC 于点 N， BN＝CM． （1）求证：△ABM≌△DCN； （2）试猜想 OA 与 OD 的大小关系，并说明理由． 【解题思路】（1）根据 HL 可证明：△ABM≌△DCN； （2）根据 AAS 证明△AMO≌△DNO 可得结论． 【解答过程】（1）证明：∵BN＝CM， ∴BN+MN＝MN+CM， 即 CN＝BM， ∵AM⊥BC 于点 M，DN⊥BC 于点 N， ∴∠AMB＝∠DNC＝90°， 在 Rt△ABM 和 Rt△DCN 中， �� = �� ， �� = �� ∴Rt△ABM≌Rt△DCN（HL）； （2）解：OA＝OD，理由如下： ∵Rt△ABM≌Rt△DCN， ∴AM＝DN， 在△AMO 和△DNO 中， ∠��� = ∠��� ∠��� = ∠���， �� = �� ∴△AMO≌△DNO（AAS）， ∴OA＝OD． 7．（2021 春•静安区期末）如图，已知四边形 ABCD 中，AB∥CD，AD∥BC．E 为 BD 上一点，且 BE＝AD， ∠DEF＝∠ADC，EF 交 BC 的延长线于点 F． （1）AD 和 BC 相等吗？为什么？ （2）BF 和 BD 相等吗？为什么？ 【解题思路】（1）根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质得出△ABD 与△CDB 全等，进而利用 全等三角形的性质解答即可； （2）根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质得出△EFB 与△CDB 全等，进而解答即可． 【解答过程】解：（1）AD＝CB，理由如下： ∵AD∥BC， ∴∠ABD＝∠CDB， 同理可得，∠ADB＝∠CBD， 在△ABD 与△CDB 中， ∠��� = ∠��� ， �� = �� ∠��� = ∠��� ∴△ABD≌△CDB（ASA）， ∴AD＝CB； （2）BF＝BD，理由如下： ∵AD＝CB，BE＝AD， ∴BC＝BE， ∵∠DEF＝∠ADC， ∴∠DEF﹣∠DBF＝∠ADC﹣∠ADB， 即∠EFB＝∠CDB， 在△EFB 与△CDB 中， ∠��� = ∠��� ， �� = �� ∠��� = ∠��� ∴△EFB≌△CDB（ASA）， ∴FB＝DB． 8．（2021 春•沙坪坝区校级月考）如图，△ABC 中，CD⊥AB，垂足为 D．BE⊥AC，垂足为 G，AB＝CF， BE＝AC． （1）求证：AE＝AF； （2）求∠EAF 的度数． 【解题思路】（1）利用 SAS 证明△AEB≌△FAC 可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得∠E＝∠CAF，由余角的定义可求得∠EAF 的度数． 【解答过程】（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠CAD+∠ACD＝∠CAD+∠EBA＝90°， ∴∠ACD＝∠EBA， 在△AEB 和△FAC 中， �� = �� ∠��� = ∠���， �� = �� ∴△AEB≌△FAC（SAS）， ∴AE＝FA； （2）解：∵△AEB≌△FAC， ∴∠E＝∠CAF， ∵∠E+∠EAG＝90°， ∴∠CAF+∠EAG＝90°， 即∠EAF＝90°． 9．（2021 春•铁岭月考）已知：如图，AB＝AC，∠1＝∠2． （1）找出图中的所有全等三角形（直接写出）； （2）求证：AD＝AE． 【解题思路】（1）直接根据全等三角形的判定可得答案； （2）先根据 SAS 证得△ABF≌△ACF，再根据 ASA 证得△BDF≌△CEF，然后根据全等三角形的性质可 得结论． 【解答过程】解：（1）△ABF≌△ACF，△BDF≌△CEF，△ADF≌△AEF，△ADC≌△AEB； （2）证明：在△ABF 和△ACF 中， �� = �� ∠1 = ∠2 ， �� = �� ∴△ABF≌△ACF（SAS）， ∴∠B＝∠C，BF＝CF． 在△BDF 和△CEF 中， ∠� = ∠� ， �� = �� ∠��� = ∠��� ∴△BDF≌△CEF（ASA）， ∴BD＝CE， ∴AB﹣BD＝AC﹣CE， ∴AD＝AE． 10．（2021•南岗区模拟）已知：在△ABC 和△DBE 中，AB＝DB，BC＝BE，其中∠ABD＝∠CBE． （1）如图 1，求证：AC＝DE； （2）如图 2，AB＝BC，AC 分别交 DE，BD 于点 F，G，BC 交 DE 于点 H，在不添加任何辅助线的情况 下，请直接写出图 2 中的四对全等三角形． 【解题思路】（1）根据 SAS 证明△ABC 与△DBE 全等，利用全等三角形的性质解答即可． （2）根据全等三角形的判定解答即可． 【解答过程】证明：（1）∵∠ABD＝∠CBE， ∴∠ABD+∠DBC＝∠CBE+∠DBC， 即∠ABC＝∠DBE， 在△ABC 与△DBE 中， �� = �� ∠��� = ∠���， �� = �� ∴△ABC≌△DBE（SAS）， ∴AC＝DE； （2）由（1）得△ABC≌△DBE， ∴∠A＝∠D，∠C＝∠E，AB＝DB，BC＝BE， ∴AB＝BE， ∵AB＝BC， ∴∠A＝∠C， ∴∠A＝∠E， 在△ABG 与△EBH 中， ∠� = ∠� ， �� = �� ∠��� = ∠��� ∴△ABG≌△EBH（ASA）， ∴BG＝BH， 在△DBH 与△CBG 中， �� = �� ∠��� = ∠���