专题 1.11 全等三角形章末重难点突破 【苏科版】 【考点 1 全等三角形的性质】 【例 1】（2020 秋•安徽月考）如图，点 D、E 分别在△ABC 的边 AB、AC 上，且△DEF≌△DEA，若∠BDF ﹣∠CEF＝60°，则∠A 的度数为（ A．30° ） B．32° C．35° D．40° 【分析】根据全等三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论． 【解答】解：∵△DEF≌△DEA， ∴∠F＝∠A， ∵∠BDF＝∠A+∠1，∠1＝∠CEF+∠F， ∴∠1＝∠CEF+∠A， ∴∠BDF＝∠A+∠CEF+∠A， ∴2∠A＝∠BDF﹣∠CEF＝60°， ∴∠A＝30°， 故选：A． 【变式 1-1】（2021 秋•临西县期末）已知△ABC≌△A'B'C，∠A＝40°，∠CBA＝60°，A'C 交边 AB 于 P （点 P 不与 A、B 重合）．BO、CO 分别平分∠CBA，∠BCP，若 m°＜∠BOC＜n°，则 n﹣m 的值为 （ ） A．20 B．40 C．60 D．100 1 【分析】根据角平分线的定义得出∠BOC＝90°+ 2∠BPC，根据三角形外角的性质及 P 点在 AB 边上且 不与 A、B 重合，确定∠ACP 的大小，即可求解． 【解答】解：∵BO、CO 分别平分∠ABC、∠PCB， 1 1 ∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠PCB， 2 2 1 ∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°− （∠ABC+∠PCB）， 2 1 ＝180°− （180°﹣∠BPC）， 2 1 1 ＝90°+ ∠BPC＝90°+ （∠A+∠ACP）， 2 2 1 ＝110°+ ∠ACP， 2 ∵∠A＝40°，∠CBA＝60°， ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠CBA＝180°﹣40°﹣60°＝80°， ∵P 点在 AB 边上且不与 A、B 重合， ∴0°＜∠ACP＜80°， ∴0°＜2∠BOC﹣220°＜80°， ∴110°＜∠BOC＜150°， ∴m＝110，n＝150． ∴n﹣m＝40． 故选：B． 【变式 1-2】（2021 春•沙坪坝区期末）如图，△ABC 中，点 D、点 E 分别在边 AB、BC 上，连结 AE、DE， 若△ADE≌△BDE，AC：AB： BC＝2：3：4，且△ABC 的周长比△AEC 的周长大 6．则△AEC 的周长为 ． 【分析】由 AC：AB：BC＝2：3：4，可设 AC＝2x，AB＝3x，BC＝4x．△ABC 的周长比△AEC 的周长 大 6，可推断出 x＝2，故 AC＝4，BC＝8．由△ADE≌△BDE，得 AE＝BE，故 C △ AEC＝AE+EC+AC＝ BE+EC+AC＝BC+AC＝12． 【解答】解：∵△ADE≌△BDE， ∴BE＝AE． ∴C△AEC＝AE+EC+AC＝BE+EC+AC＝BC+AC． ∵AC：AB：BC＝2：3：4， ∴设 AC＝2x，AB＝3x，BC＝4x． ∵△ABC 的周长比△AEC 的周长大 6， ∴C△ABC﹣C△AEC＝6． ∴（AB+BC+AC）﹣（BC+AC）＝6． ∴AB＝3x＝6． ∴x＝2． ∴AC＝2x＝4，BC＝4x＝8． ∴C△AEC＝BC+AC＝8+4＝12． 故答案为：12． 【变式 1-3】（2021 春•二道区期末）如图，△ABC≌△ADE，∠B＝10°，∠AED＝20°，AB＝4cm，点 C 为 AD 中点． （1）求∠BAE 的度数和 AE 的长． （2）延长 BC 交 ED 于点 F，则∠DFC 的大小为 度． 【分析】（1）根据全等三角形的性质求出∠ADE，AD，根据三角形内角和定理求出∠EAD，根据周角 的概念求出∠EAB，根据线段中点的概念求出 AE； （2）根据三角形内角和定理求出∠ACB，再根据三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：（1）∵△ABC≌△ADE，∠B＝10°，AB＝4cm， ∴∠ADE＝∠B＝10°，∠EAD＝∠CAB，AD＝AB＝4cm， ∵∠AED＝20°， ∴∠EAD＝180°﹣∠EAD﹣∠AED＝180°﹣10°﹣20°＝150°， ∴∠CAB＝150°， ∴∠EAB＝360°﹣150°﹣150°＝60°， ∵点 C 为 AD 中点， 1 1 ∴AC= 2AD= 2 ×4＝2（cm）， ∴AE＝2cm； （2）∵∠B＝10°，∠CAB＝150°， ∴∠ACB＝180°﹣150°﹣10°＝20°， ∴∠FCD＝20°， ∴∠DFC＝180°﹣20°﹣10°＝150°， 故答案为：150． 【考点 2 全等三角形的判定】 【例 2】（2021 春•乐平市期末）如图，已知 BC＝EF，AF＝DC，点 A、F、C、D 四点在同一直线上．要 利用“SAS”来判定△ABC≌△DEF，下列四个条件：①∠A＝∠D；②∠ACB＝∠DFE；③AB∥DE； ④BC∥EF．可以利用的是（ ） A．①② B．②④ C．②③ D．①④ 【分析】先证明 AC＝DF，则已知两组对应边相等，所以要已知它们的夹角相等，则∠ACB＝∠DFE 或 BC∥EF． 【解答】解：∵AF＝DC， ∴AF+FC＝DC+CF，即 AC＝DF， ∵BC＝EF， ∴当∠ACB＝∠DFE 时，可根据“SAS”来判定△ABC≌△DEF； 当 BC∥EF，则∠ACB＝∠DFE 时，可根据“SAS”来判定△ABC≌△DEF． 故选：B． 【变式 2-1】（2021 春•市南区期末）如图，在△ABC 和△DEF 中，点 B、F、C、D 在同条直线上，已知∠ A＝∠D，AB＝DE，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DEF 的是（ A．∠B＝∠E B．AC＝DF C．∠ACD＝∠BFE ） D．BC＝EF 【分析】根据全等三角形的判定方法进行判断． 【解答】解：∵∠A＝∠D，AB＝DE， ∴当添加∠B＝∠E 时，根据 ASA 判定△ABC≌△DEF； 当添加 AC＝DF 时，根据 SAS 判定△ABC≌△DEF； 当添加∠ACD＝∠BFE 时，则∠ACB＝∠DFE，根据 AAS 判定△ABC≌△DEF． 故选：D． 【变式 2-2】（2021 春•南海区校级月考）如图，AB＝AC，角平分线 BF、CE 交于点 O，AO 与 BC 交于点 D，则图中共有（ ）对全等三角形． A．8 B．7 C．6 D．5 【分析】根据题意和图形，可以写出全等的三角形，从而可以得到图中全等三角形的对数，本题得以解 决． 【解答】解：∵AB＝AC，角平分线 BF、CE 交于点 O， ∴AO 平分∠BAC，点 D 为 BC 的中点， ∴BD＝CD， 在△BAD 和△CAD 中， �� = �� �� = ��， �� = �� ∴△BAD≌△CAD（SSS）； 同理可证：△OBD≌△OCD，△OBE≌△OCF，△OEA≌△OFA，△OBA≌△OCA，△BEC≌△CFB，△ ABF≌△ACE， 由上可得，图中共有 7 对全等的三角形， 故选：B． 【变式 2-3】（2020 秋•内江期末）如图 1，已知 AB＝AC，D 为∠BAC 的角平分线上面一点，连接 BD，CD； 如图 2，已知 AB＝AC，D、E 为∠BAC 的角平分线上面两点，连接 BD，CD，BE，CE；如图 3，已知 AB＝AC，D、E、F 为∠BAC 的角平分线上面三点，连接 BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次规律， 第 n 个图形中有全等三角形的对数是（ A．n B．2n﹣1 ） C． �(�+1) 2 D．3（n+1） 【分析】根据条件可得图 1 中△ABD≌△ACD 有 1 对三角形全等；图 2 中可证出△ABD≌△ACD，△BDE ≌△CDE，△ABE≌△ACE 有 3 对三角形全等；图 3 中有 6 对三角形全等，根据数据可分析出第 n 个图 形中全等三角形的对数． 【解答】解：∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠BAD＝∠CAD． 在△ABD 与△ACD 中， AB＝AC， ∠BAD＝∠CAD， AD＝AD， ∴△ABD≌△ACD． ∴图 1 中有 1 对三角形全等； 同理图 2 中，△ABE≌△ACE， ∴BE＝EC， ∵△ABD≌△ACD． ∴BD＝CD， 又 DE＝DE， ∴△BDE≌△CDE， ∴图 2 中有 3 对三角形全等； 同理：图 3 中有 6 对三角形全等； �(�+1) 由此发现：第 n 个图形中全等三角形的对数是 ． 2 故选：C． 【考点 3 全等三角形的判定与性质】 【例 3】（2021 春•渝中区校级期末）如图，四边形 ABCD 中，AC、BD 为对角线，且 AC＝AB，∠ACD＝ ∠ABD，AE⊥BD 于点 E，若 BD＝6.4，CD＝5.2．则 DE 的长度为（ A．1.2 B．0.6 C．0.8 ） D．1 【分析】过点 A 作 AF⊥CD 交 CD 的延长线于点 F，根据 AAS 证明△AFC≌△AEB，得到 AF＝AE，CF ＝BE，再根据 HL 证明 Rt△AFD≌Rt△AED，得到 DF＝DE，最后根据线段的和差即可求解． 【解答】解：过点 A 作 AF⊥CD 交 CD 的延长线于点 F， ∴∠AFC＝90°， ∵AE⊥BD， ∴∠AFC＝∠AED＝∠AEB＝90°， 在△AFC 和△AEB 中， ∠��� = ∠��� ∠��� = ∠��� �� = �� ， ∴△AFC≌△AEB（AAS）， ∴AF＝AE，CF＝BE， 在 Rt△AFD 和 Rt△AED 中， �� = �� �� = �� ， ∴Rt△AFD≌Rt△AED（HL）， ∴DF＝DE， ∵CF＝CD+DF，BE＝BD﹣DE，CF＝BE， ∴CD+DF＝BD﹣DE， ∴2DE＝BD﹣CD， ∵BD＝6.4，CD＝5.2， ∴2DE＝1.2， ∴DE＝0.6， 故选：B． 【变式 3-1】（2021 春•盐湖区校级期末）在△ABC 中，AB＝AC，点 D 是△ABC 外一点，连接 AD、BD、 CD，且 BD 交 AC 于点 O，在 BD 上取一点 E，使得 AE＝AD，∠EAD＝∠BAC，若∠ACB＝70°，则∠ BDC 的度数为 ． 【分析】根据 SAS 证明△ABE≌△ACD，再利用全等三角形的性质、三角形的外角性质和三角形的内角 和解答即可． 【解答】解：∵∠EAD＝∠BAC， ∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC， 即∠BAE＝∠CAD， 在△ABE 和△ACD 中， �� = �� ∠��� = ∠��� �� = �� ， ∴△ABE≌△ACD （SAS）， ∴∠ABD＝∠ACD， ∵∠BOC