专题 1.9 全等三角形中的经典模型 【苏科版】 【题型 1 平移模型】 【模型解读】把△ABC 沿着某一条直线 l 平行移动，所得到△DEF 与△ABC 称为平移型全等三角形，图①， 图②是常见的平移型全等三角线. 【常见模型】 【例 1】（2020 秋•襄城区期末）如图，点 B、E、C、F 四点在一条直线上，∠A＝∠D，AB∥DE，老师说： 再添加一个条件就可以使△ABC≌△DEF．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加 AB＝DE；乙说： 添加 AC∥DF；丙说：添加 BE＝CF． （1）甲、乙、丙三个同学说法正确的是 ； （2）请你从正确的说法中选择一种，给出你的证明． 【解题思路】（1）根据平行线的性质，由 AB∥DE 可得∠B＝∠DEC，再加上条件∠A＝∠D，只需要添 加一个能得出边相等的条件即可证明两个三角形全等，添加 AC∥DF 不能证明△ABC≌△DEF； （2）添加 AB＝DE，然后再利用 ASA 判定△ABC≌△DEF 即可． 【解答过程】解：（1）说法正确的是：甲、丙， 故答案为：甲、丙； （2）证明：∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEC， 在△ABC 和△DEF 中 ∠� = ∠� �� = �� ， ∠� = ∠��� ∴△ABC≌△DEF（ASA）． 【变式 1-1】（2020 秋•苏州期末）如图，AD，BF 相交于点 O，AB∥DF，AB＝DF，点 E 与点 C 在 BF 上， 且 BE＝CF． （1）求证：△ABC≌△DFE； （2）求证：点 O 为 BF 的中点． 【解题思路】（1）由“SAS”可证△ABC≌△DFE； （2）由“AAS”可证△ACO≌△DEO，可得 EO＝CO，可得结论． 【解答过程】证明：（1）∵AB∥DF， ∴∠B＝∠F， ∵BE＝CF， ∴BC＝EF， 在△ABC 和△DFE 中， �� = �� ∠� = ∠�， �� = �� ∴△ABC≌△DFE（SAS）； （2）∵△ABC≌△DFE， ∴AC＝DE，∠ACB＝∠DEF， 在△ACO 和△DEO 中， ∠��� = ∠��� ∠��� = ∠���， �� = �� ∴△ACO≌△DEO（AAS）， ∴EO＝CO， ∴点 O 为 BF 的中点． 【变式 1-2】（2020 秋•富顺县校级月考）如图 1，A，B，C，D 在同一直线上，AB＝CD，DE∥AF，且 DE ＝AF，求证：△AFC≌△DEB．如果将 BD 沿着 AD 边的方向平行移动，如图 2，3 时，其余条件不变， 结论是否成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由． 【解题思路】可以根据已知利用 SAS 判定△AFC≌△DEB．如果将 BD 沿着 AD 边的方向平行移动，如图 （2）、（3）时，其余条件不变，结论仍然成立．可以利用全等三角形的常用的判定方法进行验证． 【解答过程】解：∵AB＝CD， ∴AB+BC＝CD+BC， 即 AC＝BD． ∵DE∥AF， ∴∠A＝∠D． �� = �� 在△AFC 和△DEB 中， ∠� = ∠�， �� = �� ∴△AFC≌△DEB（SAS）． 在（2），（3）中结论依然成立． 如在（3）中，∵AB＝CD， ∴AB﹣BC＝CD﹣BC， 即 AC＝BD， ∵AF∥DE， ∴∠A＝∠D． �� = �� 在△ACF 和△DEB 中， ∠� = ∠�， �� = �� ∴△ACF≌△DEB（SAS）． 【变式 1-3】（2021 春•雁塔区校级期中）如图①点 A、B、C、D 在同一直线上，AB＝CD，作 CE⊥AD， BF⊥AD，且 AE＝DF． （1）证明：EF 平分线段 BC； （2）若△BFD 沿 AD 方向平移得到图②时，其他条件不变，（1）中的结论是否仍成立？请说明理由． 【解题思路】（1）由 AB＝CD，利用等式的性质得到 AC＝BD，再由 AE＝DF，利用 HL 得到直角三角 形 ACE 与直角三角形 DBF 全等，利用全等三角形对应边相等得到 EC＝BF，再利用 AAS 得到三角形 ECG 与三角形 FBG 全等，利用全等三角形对应边相等得到 BG＝CG，即可得证； （2）（1）中的结论成立，理由为：由 AC＝DB，利用等式的性质得到 AC＝BD，再由 AE＝DF，利用 HL 得到直角三角形 ACE 与直角三角形 DBF 全等，利用全等三角形对应边相等得到 EC＝BF，再利用 AAS 得到三角形 ECG 与三角形 FBG 全等，利用全等三角形对应边相等得到 BG＝CG，即可得证． 【解答过程】（1）证明：∵CE⊥AD，BF⊥AD， ∴∠ACE＝∠DBF＝90°， ∵AB＝CD， ∴AB+BC＝BC+CD，即 AC＝DB， 在 Rt△ACE 和 Rt△DBF 中， �� = �� ， �� = �� ∴Rt△ACE≌Rt△DBF（HL）， ∴CE＝FB， 在△CEG 和△BFG 中， ∠��� = ∠��� = 90° ， ∠��� = ∠��� �� = �� ∴△CEG≌△BFG（AAS）， ∴CG＝BG，即 EF 平分线段 BC； （2）（1）中结论成立，理由为： 证明：∵CE⊥AD，BF⊥AD， ∴∠ACE＝∠DBF＝90°， ∵AB＝CD， ∴AB﹣BC＝CD﹣BC，即 AC＝DB， 在 Rt△ACE 和 Rt△DBF 中， �� = �� ， �� = �� ∴Rt△ACE≌Rt△DBF（HL）， ∴CE＝FB， 在△CEG 和△BFG 中， ∠��� = ∠��� = 90° ， ∠��� = ∠��� �� = �� ∴△CEG≌△BFG（AAS）， ∴CG＝BG，即 EF 平分线段 BC． 【题型 2 轴对称模型】 【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对 称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等. 【常见模型】 【例 2】（2020 秋•杭州校级月考）如图，在△ABC 和△BAD 中，AC 与 BD 相交于点 E，已知 AD＝BC，另 外只能从下面给出的三个条件①∠DAB＝∠CBA，②∠D＝∠C③∠DBA＝∠CAB 来证明在△ABC 和△BAD 全等，这个条件是 选择其中的一个用 ．（填写编号），并证明△ABC≌△BAD． 【解题思路】选择条件①，根据全等三角形的判定定理 SAS 进行证明即可． 【解答过程】解：这个条件是：①，证明如下： 在△ABD 与△BAC 中， �� = �� ∠��� = ∠���， �� = �� ∴△ABC≌△BAD（SAS）． 【变式 2-1】如图，AB＝AC，BE⊥AC 于 E，CD⊥AB 于 D，BE、CD 交于点 O，求证：OB＝OC． 【解题思路】证△ABE≌△ACD，推出∠B＝∠C，AD＝AE，求出 BD＝CE，证△BDO≌△CEO，根据全 等三角形的性质推出即可． 【解答过程】证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠AEB＝90°， 在△ABE 和△ACD 中 ∠� = ∠� ∠��� = ∠��� �� = �� ∴△ABE≌△ACD （AAS）， ∴∠B＝∠C，AD＝AE， ∵AB＝AC， ∴BD＝CE， 在△BDO 和△CEO 中 ∠��� = ∠��� ∠� = ∠� �� = �� ∴△BDO≌△CEO （AAS）， ∴OB＝OC． 【变式 2-2】（2020 秋•海珠区校级期中）如图，PB⊥AB，PC⊥AC，PB＝PC，D 是 AP 上一点．求证：∠ BDP＝∠CDP． 【解题思路】求出∠ABP＝∠ACP＝90°，根据 HL 推出 Rt△ABP≌Rt△ACP，根据全等三角形的性质得 出∠BPD＝∠CPD，根据 SAS 推出△BPD≌△CPD，即可得出答案． 【解答过程】证明：∵PB⊥AB，PC⊥AC， ∴∠ABP＝∠ACP＝90°， ∴在 Rt△ABP 和 Rt△ACP 中 �� = �� �� = �� ∴Rt△ABP≌Rt△ACP（HL）， ∴∠BPD＝∠CPD， 在△BPD 和△CPD 中 �� = �� ∠��� = ∠��� �� = �� ∴△BPD≌△CPD， ∴∠BDP＝∠CDP． 【变式 2-3】如图，AB＝AC，D、E 分别是 AB、AC 的中点，AM⊥CD 于 M，AN⊥BE 干 N． 求证：AM＝AN． 【解题思路】利用已知条件先证明△DBC≌△EBC，再证明△AMD≌△ANE，即可解答． 【解答过程】解：∵AB＝AC，D、E 分别是 AB、AC 的中点， ∴AD＝BD＝AE＝EC，∠B＝∠C， 在△DBC 和△EBC 中 �� = �� ∠� = ∠� �� = �� ∴△DBC≌△EBC， ∴∠BDC＝∠BDE， ∵∠BDC＝∠ADM，∠BEC＝∠AEN， ∴∠ADM＝∠AEN， 在△AMD 和△ANE 中 ∠��� = ∠��� = 90° ∵ ∠��� = ∠��� �� = �� ∴△AMD≌△ANE ∴AM＝AN． 【题型 3 旋转模型】 【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋 转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件. 【常见模型】 【例 3】（2020 秋•渝水区校级期中）如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．求证：∠ABD＝∠ACE． 【解题思路】根据等式的性质得出∠BAD＝∠CAE，利用 SAS 证明△ABD 与△ACE 全等，进而解答即可． 【解答过程】证明：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD 与△ACE 中， �� = �� ∠��� = ∠���， �� = �� ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE． 【变式 3-1】（2020 秋•怀宁县期末）如图，已知：AD＝AB，AE＝AC，AD⊥AB，AE⊥AC．猜想线段 CD 与 BE 之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想． 【解题思路】证明△ACD≌△AEB，根据全等三角形的性质得到 CD＝BE，∠ADC＝∠ABE，根据三角形 内角和定理得出∠BFD＝∠BAD＝90°，证明结论． 【解答过程】解：猜想：CD＝BE，CD⊥BE， 理由如下：∵AD⊥AB，AE⊥AC， ∴∠DAB＝∠EAC＝90°． ∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，即∠CAD＝∠EAB， 在△ACD 和△AEB 中， �� = �� ∠��� = ∠���， �� = �� ∴△ACD≌△AEB（SAS）， ∴CD＝BE，∠ADC＝∠ABE， ∵∠AGD＝∠FGB， ∴∠BFD