专题 1.8 HL 判定三角形全等-重难点题型 【苏科版】 【知识点 1 基本事实“斜边、直角边”（HL）】 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”. 【题型 1 HL 判定三角形全等的条件】 【例 1】（2020 秋•秦淮区期末）结合图，用符号语言表达定理“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三 角形全等”的推理形式： 在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，∠C＝∠F＝90°， AC＝DF ∴Rt△ABC≌Rt△DEF． 【分析】根据条件可知，少一组斜边，所以可添加为：AB＝DE． 【解答】解：∵∠C＝∠F＝90°， ∴在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中， �� = �� ， �� = �� ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）， 故答案为：AB＝DE． 【点评】本题考查了直角三角形全等的判定定理， 【变式 1-1】 （2020 秋•金乡县期中）如图，在 Rt△ABC 与 Rt△DCB 中，已知∠A＝∠D＝90°，若利用“HL” 证明 Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是 ．（不添加字母和辅助线） 【分析】根据：斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，使 Rt△ABC≌Rt△DCB，添加的条件是： AB＝DC． 【解答】解：∵斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等， ∴在 Rt△ABC 与 Rt△DCB 中，已知∠A＝∠D＝90°，使 Rt△ABC≌Rt△DCB，添加的条件是：AB＝DC． 故答案为：AB＝DC（答案不唯一） 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：① 判定定理 1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．②判定定理 2：SAS﹣﹣两边及其夹角分 别对应相等的两个三角形全等．③判定定理 3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全 等．④判定定理 4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．⑤判定定理 5：HL ﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 【变式 1-2】（2021 春•宝安区期中）如图，∠C＝∠D＝90°，添加下列条件：①AC＝AD；②∠ABC＝∠ ABD；③BC＝BD，其中能判定 Rt△ABC 与 Rt△ABD 全等的条件的个数是（ A．0 B．1 C．2 ） D．3 【分析】根据直角三角形的全等的条件进行判断，即可得出结论． 【解答】解：①当 AC＝AD 时，由∠C＝∠D＝90°，AC＝AD 且 AB＝AB，可得 Rt△ABC≌Rt△ABD（HL） ； ②当∠ABC＝∠ABD 时，由∠C＝∠D＝90°，∠ABC＝∠ABD 且 AB＝AB，可得 Rt△ABC≌Rt△ABD （AAS）； ③当 BC＝BD 时，由∠C＝∠D＝90°，BC＝BD 且 AB＝AB，可得 Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）； 故选：D． 【点评】本题主要考查了直角三角形全等的判定，直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判 定方法都适合它，同时直角三角形又是特殊的三角形，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法． 【变式 1-3】（2021 春•金水区校级月考）下列说法正确的有（ ） ①两个锐角分别相等的的两个直角三角形全等； ②一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等； ③两边分别相等的两个直角三角形全等； ④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据直角三角形全等的判定方法逐条判定即可得到结论， 【解答】解：①两个锐角分别相等的的两个直角三角形不一定全等，故该说法错误； ②如图，已知：∠B＝∠E＝90°，BC＝EF，AM＝BM，DN＝EN，CM＝FN， 求证：△ABC≌△DEF， 证明：∵∠B＝∠E＝90°，BC＝EF，CM＝FN， ∴Rt△BCM≌Rt△EFN（HL）， ∴BM＝EN ∵AM＝BM，DN＝EN， ∴AB＝DE， ∴Rt△ABC≌Rt△EFN（SAS）， 故一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等的说法正确； ③两对应边分别相等的两个直角三角形全等，如果是一个直角三角形的两条直角边和另一个直角三角形 的一条直角边和一条斜边分别相等，这两个直角三角形不全等，故该说法错误； ④一个锐角和一条边分别对应相等的两个直角三角形不一定全等，如果一个直角三角形的一条直角边和 另一个直角三角形的一条斜边相等，这两个直角三角形不全等，故该说法错误； 故选：A． 【点评】本题主要考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握全等三角形判定方法是解决问题的关键． 【题型 2 直角三角形全等的判定与性质（求角的度数）】 【例 2】（2020 秋•昌平区期末）如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，D，F 分别是 BC，AC 上 的点，DE⊥AB，垂足为 E，CF＝BE，DF＝DB，则∠ADE 的度数为（ A．40° B．50° C．70° ） D．71° 【分析】根据已知条件得出△CDF≌△EDB，从而得出 CD＝DE，从而得出△ACD≌△AED，从而得出 ∠DAE＝20°，即可得出答案． 【解答】解：根据题意： 在 Rt△CDF 和 Rt△EDB 中， �� = �� ， �� = �� ∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）， ∴CD＝DE， ∵在 Rt△ACD 和 Rt△AED 中 �� = �� ， �� = �� ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴∠DAE＝20°， ∴∠ADE＝70°． 故选：C． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及全等三角形的性质，难度适中． 【变式 2-1】（2021 春•娄底月考）如图，已知∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，AE＝DB，BC 与 EF 交于点 O． （1）求证：Rt△ABC≌Rt△DEF； （2）若∠A＝51°，求∠BOF 的度数． 【分析】（1）根据 HL 证明两个三角形全等； （2）根据三角形全等的性质和三角形外角的性质可得结论． 【解答】（1）证明：∵AE＝DB， ∴AE+EB＝DB+EB，即 AB＝DE， 在 Rt△ACB 和 Rt△DFE 中， �� = �� ， �� = �� ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）； （2）解：∵∠C＝90°，∠A＝51°， ∴∠ABC＝∠C﹣∠A＝90°﹣51°＝39°， 由（1）知 Rt△ABC≌Rt△DEF， ∴∠ABC＝∠DEF． ∴∠DEF＝39°， ∴∠BOF＝∠ABC+∠BEF＝39°+39°＝78°． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，尤其是掌握直角三角形特殊的全等判定：HL，在判定三 角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 【变式 2-2】（2021 春•姑苏区期末）如图，△ABC 中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F 为 AB 延长线上一点， 点 E 在 BC 上，且 AE＝CF． （1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF； （2）若∠CAE＝30°，∠BAC＝45°，求∠ACF 的度数． 【分析】（1）由 AB＝CB，∠ABC＝90°，AE＝CF，即可利用 HL 证得 Rt△ABE≌Rt△CBF； （2）由 AB＝CB，∠ABC＝90°，即可求得∠ACB 的度数，即可得∠BAE 的度数，又由 Rt△ABE≌Rt △CBF，即可求得∠BCF 的度数，则由∠ACF＝∠BCF+∠ACB 即可求得答案． 【解答】（1）证明：∵∠ABC＝90°， ∴∠CBF＝∠ABE＝90°， 在 Rt△ABE 和 Rt△CBF 中， �� = �� ， �� = �� ∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）； （2）解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝45°， ∴∠ACB＝45°， 又∵∠BAE＝∠CAB﹣∠CAE＝45°﹣30°＝15°， 由（1）知：Rt△ABE≌Rt△CBF， ∴∠BCF＝∠BAE＝15°， ∴∠ACF＝∠BCF+∠ACB＝45°+15°＝60°． 【点评】此题考查了直角三角形全等的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的 应用． 【变式 2-3】（2020 秋•鹿城区校级月考）如图，已知 BC＝ED，∠B＝∠E＝Rt∠，∠ACD＝∠ADC． （1）求证：△ABC≌△AED； （2）当∠BAE＝140°时，求∠BCD 的度数． 【分析】（1）由∠ACD＝∠ADC 知 AC＝AD，再利用“HL”即可证明△ABC≌△AED； （2）由 Rt△ABC≌Rt△AED 可设∠BAC＝∠EAD＝x，∠CAD＝y，根据∠BAE＝140°知 2x+y＝140°， 1 由∠B＝90°得∠ACB＝90°﹣x、AC＝AD 知∠ACD＝∠ADC＝90°− 2y，再根据∠BCD＝∠ACB+∠ACD 求解可得． 【解答】证明：（1）∵∠ACD＝∠ADC， ∴AC＝AD， 在 Rt△ABC 和 Rt△AED 中， ∵ �� = �� ， �� = �� ∴Rt△ABC≌Rt△AED（HL）； （2）∵Rt△ABC≌Rt△AED， ∴可设∠BAC＝∠EAD＝x，∠CAD＝y， ∵∠BAE＝140°， ∴2x+y＝140°， ∵∠B＝90°， ∴∠ACB＝90°﹣x， 又∵AC＝AD， ∴∠ACD＝∠ADC= 180°−∠��� 1 =90°− y， 2 2 则∠BCD＝∠ACB+∠ACD 1 ＝90°﹣x+90°− y 2 1 ＝180°− （2x+y） 2 ＝180°﹣70° ＝110°． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握直角三角形全等的判定与性质、等 腰三角形的性质． 【题型 3 直角三角形全等的判定与性质（求线段长度）】 【例 3】（2020 秋•西城区校级期中）如图，已知 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D 是 AC 上一点， E 在 BC 的延长线上，且 AE＝BD，BD 的延长线与 AE 交于点 F．若 CD＝3，则求 CE 的长． 【分析】证明△BDC≌△AEC 得出：CD＝CE． 【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°， ∴∠ACE＝∠BCD＝90°． 在 Rt△BDC 与 Rt△AEC 中， �� = �� ， �� = �� ∴Rt△BDC≌Rt△AEC（HL）． ∴CD＝CE＝3； 【点评】本题考查了直角三角形全等的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 【变式 3-1】（2020 秋•承德校级期中）在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，E 是 AB 上一点，且 BE＝BC，过 E 作 DE⊥AB 交 AC 于 D，如果 AC＝5cm，则 AD+DE 等于（ A．3 c