专题 1.6 角角边判定三角形全等-重难点题型 【苏科版】 【知识点 1 基本事实“角角边”（AAS）】 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”. 【题型 1 角角边判定三角形全等的条件】 【例 1】（2020 秋•覃塘区期末）如图，点 A，B，C，D 在同一直线上，∠AEC＝∠DFB，AB＝DC，请补 充一个条件： ，能使用“AAS”的方法得△ACE≌△DBF． 【分析】根据全等三角形的判定定理添加条件，答案不唯一． 【解答】解：∵AB＝DC， ∴AB+BC＝DC+BC，即 AC＝DB． 在△ACE 与△DBF 中，∠AEC＝∠DFB、AC＝DB，所以添加∠A＝∠D 可以使用“AAS”的方法得△ACE ≌△DBF． 故答案是：∠A＝∠D． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、 ASA、AAS、HL． 【变式 1-1】（2020 秋•句容市月考）如图，已知∠ABC＝∠DCB，若添加条件 ABC≌△DCB；若添加条件 ，则可由 AAS 证明△ ，则可由 SAS 证明△ABC≌△DCB；若添加条件 ，则可由 ASA 证明△ABC≌△DCB． 【分析】由于∠ABC＝∠DCB，再加上公共边，当利用“AAS”进行判断时可加∠A＝∠D；当利用“SAS” 进行判断时可加 AB＝DC；当利用“ASA”进行判断时可加∠ACB＝∠DBC． 【解答】解：当∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合 AAS 定理，即能推出△ABC≌△DCB， 当 AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合 SAS 定理，即能推出△ABC≌△DCB， 当∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合 AAS 定理，即能推出△ABC≌△DCB； 故答案为：∠A＝∠D，AB＝DC，∠ACB＝∠DBC． 【点评】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的 5 种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目 中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一 组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 【变式 1-2】（2020 秋•石狮市校级期中）如图，在△ABC 和△BDE 中，点 C 在边 BD 上，边 AC 交边 BE 于点 F．若 AB＝BE，∠ABC＝∠E，请添加一个条件 【分析】根据全等三角形的判定定理添加条件即可． 【解答】解：添加的条件是：BC＝ED， ，使△ABC≌△BED． 在△ABC 和△BED 中， �� = �� ∠��� = ∠�， �� = �� ∴△ABC≌△BED（SAS）． 添加的条件是：∠A＝∠EBD， 在△ABC 和△BED 中， ∠� = ∠��� �� = �� ， ∠��� = ∠� ∴△ABC≌△BED（ASA）． 添加的条件是：∠ACB＝∠D， 在△ABC 和△BED 中， ∠��� = ∠� ∠��� = ∠� ， �� = �� ∴△ABC≌△BED（AAS）． 故答案为：BC＝DE 或∠A＝∠EBD 或∠ACB＝∠D． 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理的内容是解此题的关键，注 意：全等三角形的判定定理有 SAS，ASA，AAS，SSS． 【变式 1-3】（2020 秋•东台市期中）根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC 的是（ A．AB＝6，BC＝5，∠A＝50° B．∠A＝50°，∠B＝80°，BC＝8 C．AB＝5，BC＝6，AC＝13 D．∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90° ） 【分析】根据全等三角形的判定方法判断即可． 【解答】解：A、已知 AB、BC 和 BC 的对角，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意； B、已知两角和一边，能画出唯一△ABC，故本选项符合题意； C、∵AB+BC＝5+6＝11＜AC， ∴不能画出△ABC； 故本选项不符合题意； D、根据∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的判定方法；一般三角形全等的判定方法有 SSS、SAS、ASA、AAS，熟 练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【题型 2 角角边判定三角形全等（求角的度数）】 【例 2】（2019 秋•南昌期中）如图，若 AB⊥BC 于点 B，AE⊥DE 于点 E，AB＝AE，∠ACB＝∠ADE，∠ ACD＝∠ADC＝70°，∠BAD＝60°，则∠BAE 的度数是 ． 【分析】证明△ABC≌△AED（AAS），得出∠BAC＝∠EAD，根据三角形内角和定理即可得出答案． 【解答】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE， ∴∠B＝∠E＝90°， ∠� = ∠� 在△ABC 和△AED 中， ∠��� = ∠���， �� = �� ∴△ABC≌△AED（AAS）， ∴∠BAC＝∠EAD， ∵∠ACD＝∠ADC＝70°， ∴∠CAD＝180°﹣70°﹣70°＝40°， ∴∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝60°﹣40°＝20°， ∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝∠BAD+∠BAC＝80°； 故答案为：80°． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理；证明三角形全等是解题的关键． 【变式 2-1】（2020 秋•黄陂区期中）如图，△ABC 与△DCB 中，AC 与 BD 交于点 E，且∠A＝∠D，AB＝ DC，若∠AEB＝50°，求∠EBC 的度数是 ． 【分析】根据 AAS 即可推出△ABE 和△DCE 全等，根据三角形全等得出 EB＝EC，推出∠EBC＝∠ECB， 根据三角形的外角性质得出∠AEB＝2∠EBC，代入求出即可． 【解答】解：∵在△ABE 和△DCE 中 ∠� = ∠� ∠��� = ∠���， �� = �� ∴△ABE≌△DCE（AAS）； ∴BE＝EC， ∴∠EBC＝∠ECB， ∵∠EBC+∠ECB＝∠AEB＝50°， ∴∠EBC＝25°， 故答案为：25° 【点评】本题考查了三角形外角性质和全等三角形的性质和判定的应用，关键是根据 AAS 推出△ABE 和 △DCE 全等． 【变式 2-2】（2020 秋•迁安市期中）如图，在△ABC 中，∠A＝62°，∠ABC＝90°，点 D 在 AC 上，连 接 BD，过点 D 作 ED⊥BD，垂足为 D，使 DE＝BC，连接 BE，若∠C＝∠E． （1）求证：AB＝BD； （2）若∠DBC＝34°，求∠BFE 的度数． 【分析】（1）根据三角形内角和定理得出∠A＝∠DBE，再根据 AAS 证出△ABC≌△BDE，即可得出 AB ＝BD； （2）根据已知条件和△ABC≌△BDE，得出∠DBE＝62°，再根据∠DBC＝34°，求出∠FBE 的度数， 最后根据三角形内角和定理即可得出答案． 【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°， ∴∠A+∠C＝90°， ∵ED⊥BD， ∴∠BDE＝90°， ∵∠C＝∠E， ∴∠A＝∠DBE， 在△ABC 和△BDE 中， ∠� = ∠��� ∠� = ∠� ， �� = �� ∴△ABC≌△BDE（AAS）， ∴AB＝BD； （2）∵∠A＝62°，∠ABC＝90°， ∴∠C＝∠E＝28°， ∵ED⊥BD， ∴∠BDE＝90°， ∴∠DBE＝62°， ∵∠DBC＝34°， ∴∠FBE＝28°， ∴∠BFE＝180°﹣∠E﹣∠FBE＝180°﹣28°﹣28°＝124°． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的内角和定理，关键是根据 AAS 证出△ABC≌ △BDE． 【变式 2-3】（2020 秋•大武口区期末）如图所示，已知△ABC 中，点 D 为 BC 边上一点，∠1＝∠2＝∠3， AC＝AE， （1）求证：△ABC≌△ADE； 1 （2）若 AE∥BC，且∠E= ∠CAD，求∠C 的度数． 3 【分析】（1）由∠1＝∠2＝∠3，可得∠1+∠DAC＝∠DAC+∠2，即∠BAC＝∠DAE，又∠1+∠B＝∠ ADE+∠3，则可得∠B＝∠ADE，已知 AC＝AE，即可证得：△ABC≌△ADE； （2）由题意可得，∠ADB＝∠ABD＝4x，在△ABD 中，可得 x+4x+4x＝180°，解答处即可； 【解答】解：（1）∵∠1＝∠2＝∠3， ∴∠1+∠DAC＝∠DAC+∠2，即∠BAC＝∠DAE， 又∵∠1+∠B＝∠ADE+∠3，则可得∠B＝∠ADE， 在△ABC 和△ADE 中 ∠��� = ∠��� ∠� = ∠��� ， �� = �� ∴△ABC≌△ADE（AAS）； （2）∵AE∥BC， ∴∠E＝∠3，∠DAE＝∠ADB，∠2＝∠C， 又∵∠3＝∠2＝∠1，令∠E＝x， 则有：∠DAE＝3x+x＝4x＝∠ADB， 又∵由（1）得 AD＝AB，∠E＝∠C， ∴∠ABD＝4x， ∴在△ABD 中有：x+4x+4x＝180°， ∴x＝20°， ∴∠E＝∠C＝20°． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，判定三角形全等是证明线段或角相等的重要方式， 在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 【题型 3 角角边判定三角形全等（求线段的长度）】 【例 3】（2020 秋•合浦县期中）如图，点 B、F、C、E 在一条直线上（点 F，C 之间不能直接测量），点 A，D 在 BE 的异侧，如果测得 AB＝DE，AB∥DE，AC∥DF．若 BE＝14m，BF＝5m，则 FC 的长度为 （ A．3 ） B．4 C．5 D．6 【分析】证△ABC≌△DEF（AAS），得出 BC＝EF，则 BF＝CE＝5m，由 FC＝BE﹣BF﹣CE 即可得出 答案． 【解答】解：∵AB∥DE，AC∥DF， ∴∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE， 在△ABC 和△DEF 中， ∠� = ∠� ∠��� = ∠���， �� = �� ∴△ABC≌△DEF（AAS）， ∴BC＝EF， ∴BC﹣FC＝EF﹣FC， 即 BF＝CE＝5m， ∴FC＝BE﹣BF﹣CE＝14﹣5﹣5＝4（m）； 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质；熟练掌握全等三角形的判定与性质是 解题的关键． 【变式 3-1】（2020 秋•南京期中）如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，D 是 CB 延长线上的点，BD＝BA， DE⊥AC 于 E，交 AB 于点 F，若 DC＝2.6，BF＝1，则 AF 的长为（ A．0.6 B．0.8 C．1 ） D．1.6 【分析】根据 AAS 证明△DBF