专题 1.3 全等三角形-重难点题型 【苏科版】 【知识点 1 全等三角形的性质】 全等三角形的对应边相等，对应角相等.（另外全等三角形的周长、面积相等，对应边上的中线、角平分线、 高线均相等） 【题型 1 全等三角形的对应元素判断】 【例 1】（2020 秋•潍城区期中）如图，△ABC≌△DEF，点 E、C、F、B 在同一条直线上．下列结论正确 的是（ ） A．∠B＝∠D B．∠ACB＝∠DEF C．AC＝EF D．BF＝CE 【分析】根据全等三角形的对应边相等、对应角相等解答． 【解答】解：∵△ABC≌△DEF， ∴∠B＝∠E，但∠B 与∠D 不一定相等，A 选项结论错误，不符合题意； ∵△ABC≌△DEF， ∴∠ACB＝∠EFD，当∠ACB 与∠DEF 不一定相等，B 选项结论错误，不符合题意； ∵△ABC≌△DEF， ∴AC＝DF，当 AC 与 EF 不一定相等，C 选项结论错误，不符合题意； ∵△ABC≌△DEF， ∴BC＝EF， ∴BC﹣CF＝EF﹣CF，即 BF＝CE，D 选项结论正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键． 【变式 1-1】（2020 秋•合江县月考）如图，已知△ABC≌△CDA，下面四个结论中，不正确的是（ A．△ABC 和△CDA 的面积相等 B．△ABC 和△CDA 的周长相等 C．∠B+∠ACB＝∠D+∠ACD D．AD∥BC，且 AD＝CB ） 【分析】由全等三角形的性质可得 S△ABC＝S△CDA，△ABC 和△CDA 的周长相等，AD＝CB，∠B＝∠D， ∠ACB＝∠DAC，进而可得 AD∥BC，即可求解． 【解答】解：∵△ABC≌△CDA， ∴S△ABC＝S△CDA，△ABC 和△CDA 的周长相等，AD＝CB，∠B＝∠D，∠ACB＝∠DAC， ∴AD∥BC，故选项 A、B、D 都不符合题意， ∵∠ACB 不一定等于∠ACD， ∴∠B+∠ACB 不一定等于∠D+∠ACD， 故选项 C 符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是本题的关键． 【变式 1-2】（2020 秋•海珠区校级期中）如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于下列结论： ①AC＝AF；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC． 其中正确结论的个数是（ A．1 个 ） B．2 个 C．3 个 D．4 个 【分析】利用全等三角形的性质可得答案． 【解答】解：∵△ABC≌△AEF， ∴AF＝AC，EF＝CB，∠FAE＝∠BAC， ∴∠FAE﹣∠FAB＝∠BAC﹣∠BAF， 即∠BAE＝∠FAC， ∴正确的结论是①③④，共 3 个， 故选：C． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形，对应边相等，对应角相等． 【变式 1-3】（2020 秋•北碚区期中）如图所示，△ADB≌△EDB，△BDE≌△CDE，B，E，C 在一条直线 上．下列结论： ①BD 是∠ABE 的平分线；②AB⊥AC；③∠C＝30°；④线段 DE 是△BDC 的中线；⑤AD+BD＝AC 其中正确的有（ A．2 ）个． B．3 C．4 D．5 【分析】根据全等三角形的对应角相等得出∠ABD＝∠EBD，即可判断①；先由全等三角形的对应边相 等得出 BD＝CD，BE＝CE，再根据等腰三角形三线合一的性质得出 DE⊥BC，则∠BED＝90°，再根据 全等三角形的对应角相等得出∠A＝∠BED＝90°，即可判断②；根据全等三角形的对应角相等得出∠ ABD＝∠EBD，∠EBD＝∠C，从而可判断∠C，即可判断③；根据全等三角形的对应边相等得出 BE＝ CE，再根据三角形中线的定义即可判断④；根据全等三角形的对应边相等得出 BD＝CD，但 A、D、C 可能不在同一直线上，所以 AD+CD 可能不等于 AC． 【解答】解：①∵△ADB≌△EDB， ∴∠ABD＝∠EBD， ∴BD 是∠ABE 的平分线，故①正确； ②∵△BDE≌△CDE， ∴BD＝CD，BE＝CE， ∴DE⊥BC， ∴∠BED＝90°， ∵△ADB≌△EDB， ∴∠A＝∠BED＝90°， ∴AB⊥AD， ∵A、D、C 可能不在同一直线上 ∴AB 可能不垂直于 AC，故②不正确； ③∵△ADB≌△EDB，△BDE≌△CDE， ∴∠ABD＝∠EBD，∠EBD＝∠C， ∵∠A＝90° 若 A、D、C 不在同一直线上，则∠ABD+∠EBD+∠C≠90°， ∴∠C≠30°，故③不正确； ④∵△BDE≌△CDE， ∴BE＝CE， ∴线段 DE 是△BDC 的中线，故④正确； ⑤∵△BDE≌△CDE， ∴BD＝CD， 若 A、D、C 不在同一直线上，则 AD+CD＞AC， ∴AD+BD＞AC，故⑤不正确． 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．也考查 了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形两锐角互余的性质，难度适中． 【题型 2 利用全等三角形的性质求角度】 【例 2】（2020 秋•兰山区期末）如图，已知△ABC≌△DEF，CD 平分∠BCA，若∠A＝30°，∠CGF＝88°， 则∠E 的度数是（ ） A．30° B．50° C．44° D．34° 1 【分析】根据角平分线的性质得到∠ACD＝∠BCD= 2∠BCA，根据全等三角形的性质得到∠D＝∠A＝ 30°，根据三角形的外角性质、全等三角形的性质解答即可． 【解答】解：∵CD 平分∠BCA， 1 ∴∠ACD＝∠BCD= ∠BCA， 2 ∵△ABC≌△DEF， ∴∠D＝∠A＝30°， ∵∠CGF＝∠D+∠BCD， ∴∠BCD＝∠CGF﹣∠D＝58°， ∴∠BCA＝116°， ∴∠B＝180°﹣30°﹣116°＝34°， ∵△ABC≌△DEF， ∴∠E＝∠B＝34°， 故选：D． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的 关键． 【变式 2-1】（2020 春•沙坪坝区校级期末）如图，△ABC≌△ADE，且 AE∥BD，∠BAD＝130°，则∠BAC 度数的值为 ． 【分析】根据全等三角形的性质，可以得到 AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，从而可以得到∠ABD＝∠ADB， 再根据 AE∥BD，∠BAD＝130°，即可得到∠DAE 的度数，从而可以得到∠BAC 的度数． 【解答】解：∵△ABC≌△ADE， ∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAE， ∴∠ABD＝∠ADB， ∵∠BAD＝130°， ∴∠ABD＝∠ADB＝25°， ∵AE∥BD， ∴∠DAE＝∠ADB， ∴∠DAE＝25°， ∴∠BAC＝25°， 故答案为：25°． 【点评】本题考查全等三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【变式 2-2】（2020 秋•覃塘区期中）如图，已知△AEF≌△ABC，点 E 在 BC 边上，EF 与 AC 交于点 D．若 ∠B＝64°，∠C＝30°，求∠CDF 的度数． 【分析】根据全等三角形的性质和三角形外角性质解答即可． 【解答】解：∵△AEF≌△ABC， ∴AE＝AB，∠AEF＝∠B＝64°， ∵点 E 在 BC 边上， ∴∠AEB＝∠B＝64°， ∴∠DEC＝180°﹣∠AEB﹣∠AEF＝180°﹣64°﹣64°＝52°， 又∵∠C＝30°，且∠CDF 是△CDE 的外角， ∴∠CDF＝∠DEC+∠C＝52°+30°＝82°． 【点评】此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的对应角相等解答． 【变式 2-3】（2020 秋•西湖区校级月考）如图，△ABC≌△ADE，BC 的延长线分别交 AD，DE 于点 F，G， 且∠DAC＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠DFB 和∠DGB 的度数． 【分析】先根据全等三角形的性质得∠BAC＝∠DAE，由于∠DAE+∠CAD+∠BAC＝120°，则可计算出 ∠BAC＝55°，所以∠BAF＝∠BAC+∠CAD＝65°，根据三角形外角性质可得∠DFB＝∠BAF+∠B＝ 90°，∠DGB＝65°． 【解答】解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∵∠EAB＝120°， ∴∠DAE+∠CAD+∠BAC＝120°， ∵∠CAD＝10°， 1 ∴∠BAC= （120°﹣10°）＝55°， 2 ∴∠BAF＝∠BAC+∠CAD＝65°， ∴∠DFB＝∠BAF+∠B＝65°+25°＝90°； ∵∠DFB＝∠D+∠DGB， ∴∠DGB＝90°﹣25°＝65°． 【点评】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要 会找对应角和对应边． 【题型 3 利用全等三角形的性质求线段长度】 【例 3】（2020 秋•永吉县期中）如图，△EFG≌△NMH，E，H，G，N 在同一条直线上，EF 和 NM，FG 和 MH 是对应边，若 EH＝1.1cm，NH＝3.3cm．求线段 HG 的长． 【分析】由△EFG≌△NMH，EF 和 NM，FG 和 MH 是对应边，得到 EG 和 NH 是对应边，根据全等三 角形的性质得到 EG＝NH，根据线段的和差计算即可得到结果． 【解答】解：∵△EFG≌△NMH，EF 和 NM，FG 和 MH 是对应边， ∴EG 和 NH 是对应边， ∴EG＝NH， ∴EH+HG＝HG+NG， ∴EH＝NG， ∵EH＝1.1， ∴NG＝1.1 ∵NH＝3.3cm， ∴HG＝NH﹣NG＝3.3﹣1.1＝2.2（cm）． 【点评】本题主要考查了全等三角形全等的性质，熟练找出两个全等三角形的对应边是解此题的关键． 【变式 3-1】（2020 秋•永定区期中）如图，△ADE≌△BCF，AD＝8cm，CD＝6cm，则 BD 的长为 cm． 【分析】根据全等三角形的性质得出 AD＝BC＝8cm，进而即可求得 BD＝BC﹣CD＝2cm． 【解答】解：∵△ADE≌△BCF， ∴AD＝BC＝8cm， ∵BD＝BC﹣CD，CD＝6cm， ∴BD＝8﹣6＝2（cm）． 故答案为：2． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质是解题的关键． 【变式 3-2】（2020 秋•东莞市校级月考）如图，在△ABC 中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为 D、E，AD、 CE 交于点 H，已知△AEH≌△CEB，EB＝5，AE＝7，则 CH 的长是 ． 【分析】根据全等三角形的性质分别求出 EC、EH，结合图形计算，得到答案． 【解答】解：∵△AEH≌△CEB， ∴EC＝AE＝7，EH＝