专题 1.4 边角边判定三角形全等-重难点题型 【苏科版】 【知识点 1 基本事实“边角边”（SAS）】 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”. 【题型 1 边角边判定三角形全等的条件】 【例 1】（2021 春•锦江区校级期中）如图，在△ABC 和△DEC 中，已知 AB＝DE，还需添加两个条件才能 用 SAS 判定△ABC≌△DEC，能添加的一组条件是（ ） A．∠B＝∠E，BC＝EC B．∠B＝∠E，AC＝DC C．∠A＝∠D，BC＝EC D．BC＝EC，AC＝DC 【分析】由 AB＝DE 知，由全等三角形的判定定理 SAS 知，缺少的添加是：一组对应边相等及其对应夹 角相等． 【解答】解：A、若 AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EC，符合全等三角形的判定定理 SAS，能推出△ABC≌ △DEC，故符合题意． B、若 AB＝DE，AC＝DC，∠B＝∠E，由 SSA 不能判定△ABC≌△DEC，故不符合题意； C、若 AB＝DE，BC＝EC，∠A＝∠D，由 SSA 不能判定△ABC≌△DEC，故不符合题意； D、若 AB＝DE，BC＝EC，AC＝DC，由 SSS 不能判定△ABC≌△DEC，故不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全 等三角形的判定定理有：ASA，SAS，AAS，SSS，两直角三角形全等，还有 HL． 【变式 1-1】（2020 秋•喀什地区期末）如图，已知∠ABC＝∠DCB，能直接用 SAS 证明△ABC≌△DCB 的 条件是（ A．AB＝DC ） B．∠A＝∠D C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝DB 【分析】根据全等三角形的判定方法即可解决问题． 【解答】解：∵AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB， ∴△ABC≌△DCB（SAS）， 故选：A． 【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【变式 1-2】（2020 秋•通州区期中）根据下列条件能画出唯一△ABC 的是（ ） A．AB＝1，BC＝2，CA＝3 B．AB＝7，BC＝5，∠A＝30° C．∠A＝50°，∠B＝60°，∠C＝70° D．AC＝3.5，BC＝4.8，∠C＝70° 【分析】根据各个选项中的条件，可以判断是否可以画出唯一△ABC，从而可以解答本题． 【解答】解：当 AB＝1，BC＝2，CA＝3 时，1+2＝3，则线段 AB、BC、CA 不能构成三角形，故选项 A 不符合题意； 当 AB＝7，BC＝5，∠A＝30°时，可以得到点 B 到 AC 的距离为 3.5，可以画出两个三角形，如图 1 所 示，故选项 B 不符合题意； 当∠A＝50°，∠B＝60°，∠C＝70°时，可以画出很多的三角形 ABC，如图 2 所示，故选项 C 不符合 题意； 当 AC＝3.5，BC＝4.8，∠C＝70°时，可以画出唯一的三角形 ABC，故选项 D 符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【变式 1-3】（2020•奎文区一模）如图，点 D、E 分别在线段 AB、AC 上，且 AD＝AE，若由 SAS 判定△ ABE≌△ACD，则需要添加的一个条件是 ． 【分析】由题意可得∠A＝∠A，AD＝AE，则添加 AB＝AC，由 SAS 判定△ABE≌△ACD． 【解答】解：添加 AB＝AC， ∵AB＝AC，∠A＝∠A，AD＝AE， ∴△ABE≌△ACD（SAS） 故答案为：AB＝AC． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键． 【题型 2 边角边判定三角形全等（求角的度数）】 【例 2】（2020 秋•宽城区期末）如图，AB＝AC，点 D、E 分别是 AB、AC 上一点，AD＝AE，BE、CD 相 交于点 M．若∠BAC＝70°，∠C＝30°，则∠BMD 的大小为（ A．50° B．65° C．70° ） D．80° 【分析】根据 SAS 证明△ADC 与△AEB 全等，利用全等三角形的性质和三角形内角和解答即可． 【解答】解：在△ADC 与△AEB 中， �� = �� ∠� = ∠�， �� = �� ∴△ADC≌△AEB（SAS）， ∴∠B＝∠C，∠AEB＝∠ADC， ∵∠BAC＝70°，∠C＝30°， ∴∠AEB＝∠ADC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣70°﹣30°＝80°， ∴∠BMC＝∠DME＝360°﹣∠AEB﹣∠ADC﹣∠BAC＝360°﹣80°﹣80°﹣70°＝130°， ∴∠BMD＝180°﹣130°＝50°， 故选：A． 【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质解答． 【变式 2-1】（2020 秋•乐亭县期末）如图，在△ABC 中，∠B＝40°，AB＝CB，AF＝CD，AE＝CF，则∠ EFD＝（ ） A．50° B．60° C．70° D．80° 【分析】由等腰三角形的性质得出∠A＝∠C＝70°，证明△AEF≌△CFD（SAS），由全等三角形的性 质得出∠AFE＝∠CDF，则可得出答案． 【解答】解：∵∠B＝40°，AB＝CB， 1 ∴∠A＝∠C= （180°﹣40°）＝70°， 2 在△AEF 和△CFD 中， �� = �� ∠� = ∠�， �� = �� ∴△AEF≌△CFD（SAS）， ∴∠AFE＝∠CDF， ∵∠AFE+∠EFD+∠CFD＝180°，∠C+∠CDF+∠CFD＝180°， ∴∠EFD＝∠C＝70°． 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、 “AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理． 【变式 2-2】（2020 秋•长垣市月考）如图，在△ABC 中，∠B＝∠C，E、D、F 分别是 AB、BC、AC 上的 点，且 BE＝CD，BD＝CF，若∠A＝104°，则∠EDF 的度数为（ A．24° B．32° C．38° ） D．52° 【分析】由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠B＝∠C＝38°，由“SAS”可证△BDE≌△CFD， 可得∠BED＝∠CDF，∠BDE＝∠CFD，由外角的性质可求解． 【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝104°， ∴∠B＝∠C＝38°， 在△BDE 和△CFD 中， �� = �� ∠� = ∠�， �� = �� ∴△BDE≌△CFD（SAS）， ∴∠BED＝∠CDF，∠BDE＝∠CFD， ∴∠BED+∠BDE＝∠CDF+∠CFD， ∵∠BED+∠B＝∠CDE＝∠EDF+∠CDF， ∴∠B＝∠EDF＝38°， 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质的运用，三角形内角和定理的运用， 三角形外角的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 【变式 2-3】（2021 春•沙坪坝区校级月考）如图，△ABC 中，CD⊥AB，垂足为 D．BE⊥AC，垂足为 G， AB＝CF，BE＝AC． （1）求证：AE＝AF； （2）求∠EAF 的度数． 【分析】（1）利用 SAS 证明△AEB≌△FAC 可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得∠E＝∠CAF，由余角的定义可求得∠EAF 的度数． 【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠CAD+∠ACD＝∠CAD+∠EBA＝90°， ∴∠ACD＝∠EBA， 在△AEB 和△FAC 中， �� = �� ∠��� = ∠���， �� = �� ∴△AEB≌△FAC（SAS）， ∴AE＝FA； （2）解：∵△AEB≌△FAC， ∴∠E＝∠CAF， ∵∠E+∠EAG＝90°， ∴∠CAF+∠EAG＝90°， 即∠EAF＝90°． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，证明△AEB≌△FAC 是解题的关键． 【题型 3 边角边判定三角形全等（求线段的长度）】 【例 3】（2020 秋•越秀区校级月考）如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，∠B＝2∠ADB，AB＝5，CD＝6， 则 AC 的长为（ ） A．3 B．9 C．11 D．15 【分析】在 AC 上截取 AE＝AB，连接 DE，证明△ABD≌△AED，得到∠B＝∠AED，再证明 ED＝EC， 进而代入数值解答即可． 【解答】解：在 AC 上截取 AE＝AB，连接 DE， ∵AD 平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠DAC， 在△ABD 和△AED 中， �� = �� ∠��� = ∠���， �� = �� ∴△ABD≌△AED（SAS）， ∴∠B＝∠AED，BD＝DE， ∵∠B＝2∠ADB， ∴∠AED＝2∠ADB， 而∠AED＝∠C+∠EDC＝2∠ADB， ∴∠CED＝∠EDC， ∴CD＝CE， ∴AB+CD＝AE+CE＝AC＝5+6＝11． 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；此题利用了全等三角形中常用辅助线﹣截长补短法构造 全等三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题最常用的方法，注意掌握． 【变式 3-1】（2020 春•南岗区校级期中）如图，△ABC 中，AB＝AC，D、E 分别在 CA、BA 的延长线上， 连接 BD、CE，且∠D+∠E＝180°，若 BD＝6，则 CE 的长为（ ） A．6 B．5 C．3 D．4.5 【分析】延长 BE 使 AF＝AD，连接 CF，由“SAS”可证△ABD≌△ACF，可得∠F＝∠D，BD＝CF＝6， 由平角的性质可得∠F＝∠FEC＝∠D，即可求解． 【解答】解：如图，延长 BE 使 AF＝AD，连接 CF， 在△ABD 和△ACF 中， �� = �� ∠��� = ∠���， �� = �� ∴△ABD≌△ACF（SAS）， ∴∠F＝∠D，BD＝CF＝6， ∵∠D+∠BEC＝180°，∠BEC+∠FEC＝180°， ∴∠D＝∠FEC， ∴∠F＝∠FEC， ∴CF＝CE＝6， 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 【变式 3-2】（2020 秋•洪山区期末）如图，在△ABC 中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，在 AB 上截取 AE＝AC，则△BDE 的周长为（ A．8 B．7 C．6 ） D．5 【分析】利用已知条件证明△ADE≌△ADC（SAS），得到 ED＝CD，从而 BC＝BD+CD＝DE+BD＝5， 即可求