专题 1.5 角边角判定三角形全等-重难点题型 【苏科版】 【知识点 1 基本事实“角边角”（ASA）】 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”. 【题型 1 角边角判定三角形全等的条件】 【例 1】（2020 秋•宜兴市期中）如图，已知 AB＝AD，∠1＝∠2，要根据“ASA”使△ABC≌△ADE，还需 添加的条件是 ． 【分析】利用 ASA 定理添加条件即可． 【解答】解：还需添加的条件是∠B＝∠D， ∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC， 即∠BAC＝∠DAE， ∠��� = ∠��� 在△ABC 和△ADE 中 �� = �� ， ∠� = ∠� ∴△ABC≌△ADE（ASA）， 故答案为：∠B＝∠D． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握 ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三 角形全等． 【变式 1-1】（2020 秋•覃塘区期中）如图，点 B，F，C，E 在同一直线上，AC＝DF，∠1＝∠2，如果根 据“ASA”判断△ABC≌△DEF，那么需要补充的条件是（ A．AB＝DE B．∠A＝∠D ） C．BF＝CE D．∠B＝∠D 【分析】利用全等三角形的判定方法，“ASA”即角边角对应相等，只需找出一对对应角相等即可，进 而得出答案． 【解答】解：需要补充的条件是∠A＝∠D， 在△ABC 和△DEF 中， ∠� = ∠� �� = �� ， ∠2 = ∠1 ∴△ABC≌△DEF（ASA）． 故选：B． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、 HL．添加时注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择 条件是正确解答本题的关键． 【变式 1-2】（2020 秋•浦东新区期末）根据下列已知条件，能作出唯一△ABC 的是（ A．AB＝3，BC＝4，CA＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝60° C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．∠C＝90°，∠B＝30°，∠A＝60° ） 【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断． 【解答】解：A．∵AB＝3，BC＝4，CA＝8，AB+BC＜CA， ∴不能画出三角形，故本选项不合题意； B．AB＝4，BC＝3，∠A＝60°，不能画出唯一三角形，故本选项不合题意； C．当∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 时，根据“ASA”可判断△ABC 的唯一性； D．已知三个角，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，正确把握全等三角形的判定方法是解题关键． 【变式 1-3】（2020•路南区校级月考）如图，有一张三角形纸片 ABC，已知∠B＝∠C＝x°，按下列方案 用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是（ A． B． C． D． ） 【分析】根据全等三角形的判定定理进行判断． 【解答】解：A、由全等三角形的判定定理 SAS 证得图中两个小三角形全等， 故本选项不符合题意； B、由全等三角形的判定定理 SAS 证得图中两个小三角形全等， 故本选项不符合题意； C、如图 1，∵∠DEC＝∠B+∠BDE， ∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE， ∴∠FEC＝∠BDE， 所以其对应边应该是 BE 和 CF，而已知给的是 BD＝FC＝3， 所以不能判定两个小三角形全等，故本选项符合题意； D、如图 2，∵∠DEC＝∠B+∠BDE， ∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE， ∴∠FEC＝∠BDE， ∵BD＝EC＝2，∠B＝∠C， ∴△BDE≌△CEF， 所以能判定两个小三角形全等，故本选项不符合题意； 由于本题选择可能得不到全等三角形纸片的图形， 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，注意三角形边和角的对应关系是关键． 【题型 2 角边角判定三角形全等（求角的度数）】 【例 2】（2020 秋•简阳市期中）如图，∠A＝∠D，OA＝OD，∠DOC＝50°，∠DBC 的度数为（ A．50° B．30° C．45° ） D．25° 【分析】由题中条件易证得△AOB≌△DOC，可得∠ACB＝∠DBC，由三角形外角的性质可得∠DOC＝ ∠ACB+∠DBC，即可得∠DBC 的度数． 【解答】解：∵∠A＝∠D，OA＝OD，∠AOB＝∠DOC， ∴△AOB≌△DOC（ASA）， ∴∠ACB＝∠DBC， ∵∠DOC＝∠ACB+∠DBC， 1 ∴∠DBC= 2∠DOC＝25°． 故选：D． 【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形外角的性质等知识点，找到相应等量关系的角是 解题的关键． 【变式 2-1】（2019 秋•天心区校级月考）AD，BE 是△ABC 的高，这两条高所在的直线相交于点 O，若 BO ＝AC，则∠ABC＝ ． 【分析】由 AD、BE 是锐角△ABC 的高，可得∠DBA＝∠DAC，又 BO＝AC，∠BDO＝∠ADC＝90°， 根据全等三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：如图 1，∵AD、BE 是锐角△ABC 的高， ∴∠AEO＝∠BDO＝90°， ∵∠AOE＝∠BOD， ∴∠DBO＝∠DAC， ∵BO＝AC，∠BDO＝∠ADC＝90° ∴△BDO≌△ADC（ASA）， ∴BD＝AD， ∴∠ABC＝∠BAD＝45°， 如图 2，同理证得△BDO≌△ADC（ASA）， ∴BD＝AD， ∴∠ABD＝∠BAD＝45°， ∴∠ABC＝135°， 故答案为：45°或 135°． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；结合已知条件发现并利用△BDO≌△ADC 是正确解答本 题的关键． 【变式 2-2】（2021•苍南县一模）如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，点 E 为对角线 BD 上一点，∠A＝ ∠BEC，且 AD＝BE． （1）求证：△ABD≌△ECB． （2）若∠BDC＝70°．求∠ADB 的度数． 【分析】（1）由“ASA”可证△ABD≌△ECB； （2）由全等三角形的性质可得 BD＝BC，由等腰三角形的性质可求解． 【解答】证明：（1）∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBE， 在△ABD 和△ECB 中， ∠� = ∠��� ， �� = �� ∠��� = ∠��� ∴△ABD≌△ECB（ASA）； （2）∵△ABD≌△ECB， ∴BD＝BC， ∴∠BDC＝∠BCD＝70°， ∴∠DBC＝40°， ∴∠ADB＝∠CBD＝40°． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，还考查学生运用定理进行推理的能力， 题目比较典型，难度适中． 【变式 2-3】（2020 秋•丛台区期末）如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 E，F 在边 BC 上，连接 AE，AF， ∠BAF＝∠CAE，延长 AF 至点 D，使 AD＝AC，连接 CD． （1）求证：△ABE≌△ACF； （2）若∠ACF＝30°，∠AEB＝130°，求∠ADC 的度数． 【分析】（1）要证明△ABE≌△ACF，由题意可得 AB＝AC，∠B＝∠ACF，∠AEF＝∠AFE，从而可以 证明结论成立； （2）根据（1）中的结论和等腰三角形的性质可以求得∠ADC 的度数． 【解答】证明：（1）∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACF， ∵∠BAF＝∠CAE， ∴∠BAF﹣∠EAF＝∠CAE﹣∠EAF， ∴∠BAE＝∠CAF， ∠� = ∠��� 在△ABE 和△ACF 中， �� = �� ， ∠��� = ∠��� ∴△ABE≌△ACF（ASA）； （2）解：∵∠B＝∠ACF＝30°，∠AEB＝130°， ∴∠BAE＝180°﹣130°﹣30°＝20°， ∵△ABE≌△ACF， ∴∠CAF＝∠BAE＝20°， ∵AD＝AC， ∴∠ADC＝∠ACD， ∴∠ADC= 180°−20° =80°． 2 答：∠ADC 的度数为 80°． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质及三角形内角和定理，解答本题的关键是明确题意，找出所 求问题需要的条件． 【题型 3 角边角判定三角形全等（求线段的长度）】 【例 3】（2021 春•德城区校级月考）如图，在△MPN 中，H 是高 MQ 和 NR 的交点，且 MQ＝NQ，已知 PQ＝5，NQ＝9，则 MH 长为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】证明△MQP≌△NQH，由全等三角形的性质可得 PQ＝QH＝5，根据 MQ＝NQ＝9，即可解决问 题． 【解答】解：∵MQ⊥PN，NR⊥PM， ∴∠NQH＝∠NRP＝∠HRM＝90°， ∵∠RHM＝∠QHN， ∴∠PMH＝∠HNQ， 在△MQP 和△NQH 中， ∠��� = ∠��� �� = �� ， ∠��� = ∠��� = 90° ∴△MQP≌△NQH（ASA）， ∴PQ＝QH＝5， ∵NQ＝MQ＝9， ∴MH＝MQ﹣HQ＝9﹣5＝4， 故选：B． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 【变式 3-1】（2020 春•万州区期末）如图，在△ABC 中，D、E 分别为 AB、AC 上一点，延长 ED 至 F，使 得 DF＝DE，若 BF∥AC，AC＝4，BF＝3，则 CE 的长为（ A．0.5 B．1 C．1.5 ） D．2 【分析】证明△BDF≌△ADE（ASA），由全等三角形的性质得出 BF＝AE＝3，则可得出答案． 【解答】解：∵BF∥AC， ∴∠F＝∠AED， 在△BDF 和△ADE 中， ∠� = ∠��� ， �� = �� ∠��� = ∠��� ∴△BDF≌△ADE（ASA）， ∴BF＝AE＝3， ∵AC＝4， ∴CE＝AC﹣AE＝4﹣3＝1． 故选：B． 【点评】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解 题的关键． 【变式 3-2】（2020 春•铁西区期末）如图，点 D 是△ABC 的边 AB 上一点，FC∥AB，连接 DF 交 AC 于点 E，若 CE＝AE，AB＝7，CF＝4，则 BD 的长是 ． 【分析】先由全等三角形的判定定理 ASA 证明△AED≌△CEF，然后根据全等三角形的对应边相等知 AD ＝CF，从而求得 BD 的长度． 【解答】解：∵FC∥AB， ∴∠A＝∠ECF， 在△AED 和△CEF 中， ∠� = ∠��� ， �� = �� ∠��� = ∠��� ∴△AED≌△CEF（ASA）， ∴AD＝CF（全等三角形的对应边相等）， 又∵AB＝7，CF＝4，AB＝AD+BD， ∴BD＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了全等