专题 1.1 全等图形-重难点题型 【苏科版】 【知识点 1 全等图形的定义】 能完全重合的图形叫做全等图形. 【题型 1 全等图形的识别】 【例 1】（2020 秋•涿鹿县期中）下列图形中与如图图形全等的是（ A． B． C． ） D． 【分析】认真观察图形，根据全等形的定义，能够重合的图形是全等形，可得答案． 【解答】解：A、圆里面的正方形与已知图形不能重合，故此选项不合题意； B、与已知图形能完全重合，故此选项符合题意； C、中间是长方形，与已知图形不重合，故此选项不合题意； D、中间是长方形，与已知图形不重合，故此选项不合题意． 故选：B． 【点评】本题考查的是全等图形，属于较容易的基础题，做题时要认真观察图形，同时还要想到是否能 够重合． 【变式 1-1】下列四个图形中，有两个全等的图形，它们是（ ） A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④ 【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案． 【解答】解：全等的两个图形是①和③， 故选：B． 【点评】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的概念． 【变式 1-2】（2020 春•梁平区期末）如图，图中由实线围成的图形与①是全等形的有 ．（填序号） 【分析】根据全等形是可以完全重合的图形进行判定即可． 【解答】解：由图可知，图上由实线围成的图形与①是全等形的有②，③， 故答案为：②③． 【点评】本题主要考查学生对全等形的概念的理解及运用，此题的关键是从边的角度来进行分析． 【变式 1-3】下面图形中有哪些是全等图形？ 【分析】直接利用全等图形的定义分析得出答案． 【解答】解：如图所示：（1）和（8）是全等图形． 【点评】此题主要考查了全等图形，正确掌握全等图形的定义是解题关键． 【知识点 2 全等图形的性质】 两个图形全等，它们的形状相同，大小相同. 【题型 2 全等图形的性质】 【例 2】（2020 秋•义马市期末）下列说法中正确的是（ ） A．两个面积相等的图形，一定是全等图形 B．两个等边三角形是全等图形 C．两个全等图形的面积一定相等 D．若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形 【分析】依据全等图形的定义和性质进行判断即可． 【解答】解：全等的两个图形的面积、周长均相等，但是周长、面积相等的两个图形不一定全等． 故选：C． 【点评】本题主要考查的是全等图形的性质，掌握全等图形的性质是解题的关键． 【变式 2-1】 （2020 秋•江宁区校级月考）如图，四边形 ABCD≌四边形 A′B′C′D′，则∠A 的大小是 ． 【分析】利用全等图形的定义可得∠D＝∠D′＝130°，然后再利用四边形内角和为 360°可得答案． 【解答】解：∵四边形 ABCD≌四边形 A'B'C'D'， ∴∠D＝∠D′＝130°， ∴∠A＝360°﹣∠B﹣∠C﹣∠D＝360°﹣75°﹣60°﹣130°＝95°， 故答案为：95°． 【点评】此题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形． 【变式 2-2】图中所示的是两个全等的五边形，AB＝8，AE＝5，DE＝11，HI＝12，IJ＝10，∠C＝90°，∠ G＝115°，点 B 与点 H、点 D 与点 J 分别是对应顶点，指出它们之间其他的对应顶点、对应边与对应角， 并说出图中标的 a、b、c、d、e、α、β各字母所表示的值． 【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边； 重合的角叫做对应角，可得对应顶点，对应边与对应角，进而可得 a，b，c，d，e，α，β各字母所表示 的值． 【解答】解：对应顶点：A 和 G，E 和 F，C 和 I， 对应边：AB 和 GH，AE 和 GF，ED 和 FJ，CD 和 JI，BC 和 HI； 对应角：∠A 和∠G，∠B 和∠H，∠C 和∠I，∠D 和∠J，∠E 和∠F； ∵两个五边形全等， ∴a＝12，c＝8，b＝10，d＝5，e＝11，α＝90°，β＝115°． 【点评】此题主要考查全等图形，关键是找准全等图形的对应顶点，知道对应边相等，对应角相等． 【变式 2-3】如图，在五边形 ABCDE 和五边形 A′B′C′D′E′中，如果 AB＝A′B′，BC＝B′C′， CD＝C′D′，DE＝D′E′，EA＝E′A′．请添加尽可能少的条件，使它们全等（写出添加的条件， 不需要说明理由） 【分析】根据全等图形是完全重合的图形可得答案． 【解答】解：如图： ， 连接 AC，AD，A′C′，A′D′， AC＝A′C′，AD＝A′D′，五边形 ABCDE≌五边形 AB′C′D′E′． 【点评】本题考查了全等图形，把五边形分割成三角形解题是解本题的关键． 【题型 3 全等图形性质的应用】 【例 3】（2020 秋•连山区期末）如图，已知方格纸中是 4 个相同的正方形，则∠1 与∠2 的和为（ A．45° B．60° C．90° ） D．100° 【分析】首先证明△ABC≌△DFE，根据全等三角形的性质可得∠1＝∠BAC，再根据余角的定义可得∠ BAC+∠2＝90°，再根据等量代换可得∠1 与∠2 的和为 90°． 【解答】解：在△ABC 和△DFE 中， �� = �� ∠��� = ∠��� = 90°， �� = �� ∴△ABC≌△DFE（SAS）， ∴∠1＝∠BAC， ∵∠BAC+∠2＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， 故选：C． 【点评】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定和性质． 【变式 3-1】（2020 秋•洪山区期末）如图为正方形网格，则∠1+∠2+∠3＝（ ） A．105° B．120° C．115° D．135° 【分析】首先证明△ABC≌△AEF，然后证明∠1+∠3＝90°，再根据等腰直角三角形的性质可得∠2＝ 45°，进而可得答案． �� = �� 【解答】解：∵在△ABC 和△AEF 中， ∠� = ∠�， �� = �� ∴△ABC≌△AEF（SAS）， ∴∠4＝∠3， ∵∠1+∠4＝90°， ∴∠1+∠3＝90°， ∵AD＝MD，∠ADM＝90°， ∴∠2＝45°， ∴∠1+∠2+∠3＝135°， 故选：D． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及等腰直角三角形的性质，关键是掌握全等三角 形对应角相等． 【变式 3-2】（2021•仪征市二模）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2 ＝ ． 【分析】直接利用网格得出对应角∠1＝∠3，进而得出答案． 【解答】解：如图所示： 由题意可得：∠1＝∠3， 则∠1+∠2＝∠2+∠3＝135°． 故答案为：135°． 【点评】此题主要考查了全等图形，正确借助网格分析是解题关键． 【变式 3-3】（2020 秋•大冶市期末）如图，是一个 3×3 的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ ． 【分析】仔细分析图中角度，可得出，∠1+∠4＝90°，∠2+∠3＝90°，进而得出答案． 【解答】解：∵∠1 和∠4 所在的三角形全等， ∴∠1+∠4＝90°， ∵∠2 和∠3 所在的三角形全等， ∴∠2+∠3＝90°， ∴∠1+∠2+∠3 十∠4＝180°． 故答案为：180°． 【点评】此题主要考查了全等图形，解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三 角形的应用． 【题型 4 全等图形的分割】 【例 4】如图所示，请你在图中画两条直线，把这个“+”图案分成四个全等的图形（要求至少要画出两种 方法）． 【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形画线即可． 【解答】解：如图所示： ． 【点评】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的概念． 【变式 4-1】如图，某校有一块正方形花坛，现要把它分成 4 块全等的部分，分别种植四种不同品种的花卉， 图中给出了一种设计方案，请你再给出四种不同的设计方案． 【分析】根据正方形的性质，①两条对角线把正方形分成四个全等的三角形；②作一组对边的平行线 也能把正方形分成四个全等的矩形；③连接一组对边的中点，把正方形分成两个全等的矩形，再作矩形 的对角线就把每个矩形都分成两个全等的三角形，这样就分成了四个全等的三角形；④过正方形的中心 做互相垂直的两条线也能把正方形分成四个全等的四边形． 【解答】解：设计方案如下： 【点评】本题主要考查了全等图形的意义，要利用正方形及全等形的性质解答，方案多种多样，只要是 满足要求就可以． 【变式 4-2】试在下列图中，沿正方形的网格线（虚线）把这两个图形分别割成两个全等的图形 【分析】根据全等形的定义，利用图形的对称性和互补性来分隔成两个全等的图形． 【解答】解：如图所示： 【点评】本题主要考查了学生的动手操作能力和学生的空间想象能力，重视知识的发生过程，让学生体 验学习的过程． 【变式 4-3】我们把两个能够互相重合的图形称为全等形． （1）请你用四种方法把长和宽分别为 5 和 3 的矩形分成四个均不全等的小矩形或正方形，且矩形或正方 形的各边长均为整数； （2）是否能将上述 3×5 的矩形分成五个均不全等的整数边矩形？若能，请画出． 【分析】（1）根据题意画出图形即可，注意所得的图形不应全等． （2）作长为 1，宽分别为 1，2，3，4，5 的图形即可． 【解答】 解：（1）所画图形如上． （2）能，所画图形如上所示． 【点评】本题考查分割图形的知识，有一定难度，关键是根据题意作答，注意作图的规范性．