专题 4.3 实数-重难点题型 【苏科版】 【知识点 1 无理数的概念】 无理数：无限不循环小数叫无理数． 无理数常见的三种类型： （1）开不尽的方根；（2）特定结构的无限不循环小数；（3）含有 π 的绝大部分数． 【题型 1 无理数的概念】 7 8 【例 1】（2021 春•汉阴县期末）下列实数汉阴县期末）下列实数 3π，− ，0，❑√ 2，﹣3.1415，❑√ 9， 理数有（ A．1 个 3 ） B．2 个 C．3 个 D．4 个 【 变 式 1-1 】 （ 2021 春 •汉阴县期末）下列实数 乌 苏 市 期 末 ） 在 实 数 3.14 ， − 22 ， − ❑√ 9， 1.7 ， ❑√ 5， 0 ， ﹣ 7 π，4.262262226…（两个 6 之间依次增加一个“2”）中，无理数有（ A．2 个 √5 中，无 ❑ B．3 个 C．4 个 ） D．5 个 1 9 【变式 1-2】（2021 春•汉阴县期末）下列实数西双版纳期末）已知下列各数： ，3.14159265，﹣3，❑√ 5，π，0. ⋅ ⋅ 2 3，0.3131131113…（每相邻两个 3 之间依次多一个 1），其中无理数一共有（ A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 1 4 【变式 1-3】（2021 春•汉阴县期末）下列实数扶沟县期末）下列各数﹣ 0.101001，❑√ 7， ，− √ 16中，无理数的个数有（ ❑ A．1 B．2 π ❑ ， 2− ❑√ 3 ，0， 2 √ ） C．3 ） D．4 【知识点 2 实数的分类】   正整数       整数 0  负整数  有限小数或无限循环小数 有理数         实数  分数 正分数    负分数     正无理数  无理数   无限不循环小数  负无理数  【题型 2 实数的分类】 【例 2】（2021 春•汉阴县期末）下列实数裕华区校级期末）把下列数填入相应的集合中． √ 9 ， √3 4 ， ❑ ⋅ 5π 3 ，0.6 ，− ，3． 3 4 （1）整数集合 （2）分数集合 ； ； （3）有理数集合 ； （4）无理数集合 ； （5）实数集合 ． 【变式 2-1】（2020 秋•汉阴县期末）下列实数杭州期中）用序号将下列各数填入相应的集合内． ①− ⋅ ⋅ 11 π 3 ，②√ 2，③− ❑√ 4 ，④ 0，⑤− ❑√ 0.4 ，⑥√3 8，⑦− ，⑧ 0.2 3，⑨ 3.14 12 4 （1）整数集合{ …}； （2）分数集合{ …}； （3）无理数集合{ …}． 【变式 2-2】（2020 春•汉阴县期末）下列实数赣州期中）把下列各数分别填入相应的集合中 0，− ⋅ 5 ❑ 3 ， √ 16，3.1415926，− √ 7 ，2π，❑√ 2−1，0.13030030003…，0.15，√3 −125 4 （1）整数集合：{ （2）分数集合：{ （3）有理数集合：{ …} …} …} （4）无理数集合：{ …} 【变式 2-3】（2020 秋•汉阴县期末）下列实数海曙区期中）把下列各数的序号填入相应的括号内 ①﹣3，② π， 3 ③√ −27 ，④﹣3.14，⑤ ❑√ 2，⑥ 0，⑦ （两个“8”之间依次多一个“0”）． 22 ，⑧﹣1，⑨ 1.3，⑩ 1.8080080008… 7 整数集合{ …}； 负分数集合{ …}； 正有理数集合{ …}； 无理数集合{ …}． 【题型 3 实数的性质】 【 例 3】 （ 2020 春 •汉阴县期末）下列实数 丛 台 区 校 级 月 考 ） 已 知 ， a 、 b 互 为 倒 数 ， c 、 d 互 为 相 反 数 ， 则 − √3 ab +❑√ c +d +¿ 1 的平方根为（ A．1 B．﹣1 ） C．0 D．±1 【变式 3-1】（2020 春•汉阴县期末）下列实数丛台区校级月考）已知实数 a，b，c，d，e，f，且 a，b 互为倒数， 1 2 c，d 互为相反数，e 的绝对值为❑√ 2，f 的算术平方根是 8，求 ab （ + c+ d +¿ e2+ √3 f 的值是 5 ） 9 2 A． + √ 2 ❑ 9 2 B． − √ 2 ❑ 9 2 9 2 C． + √ 2或 − √ 2 D． ❑ ❑ 13 2 【变式 3-2】（2020 春•汉阴县期末）下列实数渝中区校级月考）已知 x 是整数，当|x− ❑√ 23|取最小值时，x 的值是 （ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式 3-3】（2021 春•汉阴县期末）下列实数营口期末）已知 a、b 满足❑√ −¿ ¿，则 a2+b2 的平方根为 ． 【题型 4 实数与数轴的关系】 【例 4】（2021 春•汉阴县期末）下列实数德阳期末）如图，数轴上 A，B 两点表示的数分别为﹣1，❑√ 5，且 AC＝ AB，则点 C 所表示的数为（ A．﹣1+ ❑√ 5 ） B．﹣1− ❑√ 5 C．﹣2− ❑√ 5 D．1+ ❑√ 5 【变式 4-1】（2021 春•汉阴县期末）下列实数景县月考）如图，将面积为 3 的正方形放在数轴上，以表示实数 1 的点为圆心，正方形的边长为半径，作圆交数轴于点 A、B，则点 A 表示的数为（ ） A．1− ❑√ 3 B．❑√ 3 −1 C．− ❑√ 3 −1 D．❑√ 3+¿1 【变式 4-2】（2021 春•汉阴县期末）下列实数单县期末）数轴上 A、C 两点分别对应实数 1 和 2❑√ 3 −1，点 A、C 关于点 B 对称，则下列各数中，与点 B 所对应的数最接近的是（ A．1 B．2 C．3 ） D．4 【变式 4-3】（2021 春•汉阴县期末）下列实数铜官区期末）已知数轴上点 A、B 分别表示 ❑√ 2、❑√ 3，若点 C 也在 数轴上，且 AC＝2AB，则点 C 所表示的数为（ ） A．3❑√ 2− 2❑√ 3 B．2❑√ 3 − ❑√ 2 C．❑√ 3+ ❑√ 2 或 3❑√ 2− 2❑√ 3 D．3❑√ 2− 2❑√ 3或 2❑√ 3 − ❑√ 2 【题型 5 利用数轴化简】 【例 5】（2020 秋 •汉阴县期末）下列实数 二七区校级月考）实数 A，B 在数轴上的位置，如图所示，那么化简| a+b|+|﹣a|+ 3 b3 的结果为 √ ． 【变式 5-1】（2020 秋•汉阴县期末）下列实数东坡区月考）实数 a、b 在数轴上对应点 A、B 的位置如图，化简：| 3 a+b|− ❑ a2 − √ ¿ ¿． √ 【变式 5-2】（2021•玉田县二模）如图，数轴上有 A、B、C 三个点，它们所表示的数分别 为 a、b、c 三个数，其中 b＜0，且 b 的倒数是它本身，且 a、c 满足（c﹣4 ）2+|a+3|＝ 0． （1）计算：a2﹣2a− ❑√ c 的值； （2）若将数轴折叠，使得点 A 与点 B 重合，求与点 C 重合的点表示的数． 【变式 5-3】（2021 春•汉阴县期末）下列实数雨花区期中）实数 a、b、c 在数轴上的位置如图所示，其中 c 为 8 的立方根，求代数式❑ a2 +¿|b﹣a|+ ❑ (b − c)2 −|2b|的值． √ √ 【题型 6 实数的应用】 【例 6】（2021 春 •汉阴县期末）下列实数嘉祥县期末）如图 ①是由 8 个同样大小的立方体组成的魔方，体积为 8． （1）求出这个魔方的棱长； （2）图①中阴影部分是一个正方形 ABCD，求出阴影部分的面积及其边长． （3）把正方形 ABCD 放到数轴上，如图②，使得点 A 与﹣1 重合，那么点 D 在数轴上 表示的数为 ． 【变式 6-1】如图，4×4 方格中每个小正方形的边长都为 1． （1）直接写出图（1）中正方形 ABCD 的面积及边长； （2）在图（2）的 4×4 方格中，画一个面积为 8 的格点正方形（四个顶点都在方格的顶 点上）；并把图（2）中的数轴补充完整，然后用圆规在数轴上表示实数❑√ 8． 【变式 6-2】如图 1，纸上有五个边长为 1 的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼 成一个正方形． （1）拼成的正方形的边长为 ． （2）如图 2，以数轴的单位长度的线段为边作一个直角三角形，以数轴上表示的﹣ 1 点 为圆心，直角三角形的最大边为半径画弧，交数轴正半轴于点 A，那么点 A 表示的数是 ． （3）如图 3，网格中每个小正方形的边长为 1，若能把阴影部分剪拼成一个新的正方形， 求新的正方形的面积和边长． 【变式 6-3】（2020 秋•汉阴县期末）下列实数瑞安市期中）如图（ 1），在 4×4 的方格中，每个小正方形的边长 为 1． （1）求图（1）中正方形 ABCD 的面积； （2）如图（2），若点 A 在数轴上表示的数是﹣1，以 A 为圆心，AD 为半径画圆弧与数 轴的正半轴交于点 E，则点 E 所表示的数是 ．