专题 3.3 勾股定理的简单应用-重难点题型 【苏科版】 【题型 1 勾股定理的应用（最短路径问题）】 【 例 1 】 （ 2021 春 •肥乡区月考）如图所示，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 肥 乡 区 月 考 ） 如 图 所 示 ， 是 一 个 三 级 台 阶 ， 它 的 每 一 级 的 长 、 宽 、 高 分 别 为 55cm，10cm，6cm，点 A 和点 B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点处有一只蚂蚁，那么这只蚂蚁从点 A 爬到点 B 的最短路程是多少？ 【变式 1-1】（2020 秋•肥乡区月考）如图所示，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为长春期末）如图所示，有一个圆柱，底面圆的直径 AB¿ 16 ，高 BC＝12cm，在 BC π 的中点 P 处有一块蜂蜜，聪明的蚂蚁总能找到距离食物的最短路径，求蚂蚁从 A 点爬到 P 点的最短距离． 【变式 1-2】（2020 秋 •肥乡区月考）如图所示，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 碑林区校级月考）如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为 16cm，在容器内壁离容器底部 4cm 的点 B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器 上底面距离为 4cm 的点 A 处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为 20cm，则该圆柱底面周长为多少？ 【变式 1-3】（2020 秋 •肥乡区月考）如图所示，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 淅川县期末）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中 AB＝18cm，BC＝ 12cm，BF＝10cm，点 M 在棱 AB 上，且 AM＝6cm，点 N 是 FG 的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的 表面从点 M 爬行到点 N，它需要爬行的最短路程是多少？ 【题型 2 勾股定理的应用（方位角问题）】 【例 2】（2020 秋•肥乡区月考）如图所示，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为龙口市期中）甲、乙两船同时从港口 A 出发，甲船以 30 海里/时的速度沿北偏东 35°方 向航行，乙船沿南偏东 55°向航行，2 小时后，甲船到达 C 岛，乙船到达 B 岛，若 C，B 两岛相距 100 海 里，问乙船的速度是每小时多少海里？ 【变式 2-1】（2020 春•肥乡区月考）如图所示，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为孟村县期末）如图，甲、乙两艘轮船同时从港口 O 出发，甲轮船以 20 海里/时的速 度向南偏东 45°方向航行，乙轮船向南偏西 45°方向航行．已知它们离开港口 O 两小时后，两艘轮船相 距 50 海里，求乙轮船平均每小时航行多少海里？ 【变式 2-2】（2020 春•肥乡区月考）如图所示，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为鹿邑县期中）如图，北部湾诲面有一艘解放军军舰正在基地 A 的正东方向且距 A 地 40 海里的 B 处训练，突然接到基地命令，要该舰前往 C 岛接送一名患病的渔民到基地的医院救治．已 知 C 岛在基地 A 的北偏东 58°方向且距基地 A32 海里，在 B 处的北偏西 32°的方向上．军舰从 B 处出发， 平均每小时行驶 40 海里．问至少需要多长时间能把患病渔民送到基地？ 【变式 2-3】（2020 春•肥乡区月考）如图所示，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为灌阳县期中）如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、 乙两艘巡逻艇立即从相距 13 海里的 A、B 两个基地前去拦截，6 分钟后同时到达 C 处将其拦截．已知甲 巡逻艇每小时航行 120 海里，乙巡逻艇每小时航行 50 海里，航向为北偏西 23°． （1）求甲巡逻艇的航行方向； （2）成功拦截后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变， 3 分钟后甲、乙两艘巡逻艇相距 多少海里？ 【题型 3 勾股定理的应用（范围影响问题）】 【例 3】（2021 春•肥乡区月考）如图所示，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为江岸区校级月考）国家交通法规定：汽车在城市街道上行驶速度不得超过 60km/h，一辆 汽车在解放大道上由西向东行驶，此时小汽车在 A 点处，在它的正南方向 21m 处的 B 点处有一个车速 检测仪，过了 4s 后，测得小汽车距离测速仪 75m．这辆小汽车超速了吗？通过计算说明理由． 【变式 3-1】（2021 春•肥乡区月考）如图所示，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为南川区期中）为了积极宣传防疫，南川区政府采用了移动车进行广播，如图，小明 家在南大街这条笔直的公路 MN 的一侧点 A 处，小明家到公路 MN 的距离为 600 米，假使广播车 P 周围 1000 米以内能听到广播宣传，广播车 P 以 250 米/分的速度在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，若小明此时 在家，他是否能听到？若能，请求出他总共能听到多长时间的广播？ 【变式 3-2】（2020 秋•肥乡区月考）如图所示，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为雁江区期末）拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台拖拉 机沿公路 AB 由点 A 向点 B 行驶，已知点 C 为一所学校，且点 C 与直线 AB 上两点 A，B 的距离分别为 150m 和 200m，又 AB＝250m，拖拉机周围 130m 以内为受噪声影响区域． （1）学校 C 会受噪声影响吗？为什么？ （2）若拖拉机的行驶速度为每分钟 50 米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？ 【变式 3-3】（2020 秋•肥乡区月考）如图所示，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为内江期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形 成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向 AB 由 A 行驶向 B，已知点 C 为一海港， 且点 C 与直线 AB 上的两点 A，B 的距离分别为 AC＝300km，BC＝400km，又 AB＝500km，以台风中心 为圆心周围 250km 以内为受影响区域． （1）求∠ACB 的度数； （2）海港 C 受台风影响吗？为什么？ （3）若台风的速度为 20 千米/小时，当台风运动到点 E 处时，海港 C 刚好受到影响，当台风运动到点 F 时，海港 C 刚好不受影响，即 CE＝CF＝250km，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【题型 4 勾股定理的应用（梯子问题）】 【例 4】（2021 春•肥乡区月考）如图所示，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为前郭县月考）如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦 8 米处（车尾 AE 到 大厦墙面 CD），升起云梯到火灾窗口 B．已知云梯 AB 长 17 米，云梯底部距地面的高 AE＝1.5 米，问 发生火灾的住户窗口距离地面多高？ 【变式 4-1】（2020 秋•肥乡区月考）如图所示，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为玄武区期末）如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道，已知滑道 AC 与 AE 的长度一样，滑梯的高度 BC＝4m，BE＝1m．求滑道 AC 的长度． 【变式 4-2】（2020 秋•肥乡区月考）如图所示，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为阜宁县期中）如图，教学楼走廊左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯 子底端到左墙角的距离为 0.7 米，顶端距离地面 2.4 米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜在右墙 时，顶端距离地面 2 米，求教学楼走廊的宽度． 【变式 4-3】（2020 秋•肥乡区月考）如图所示，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为惠来县期末）如图所示，一架梯子 AB 斜靠在墙面上，且 AB 的长为 2.5 米． （1）若梯子底端离墙角的距离 OB 为 1.5 米，求这个梯子的顶端 A 距地面有多高？ （2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端 A 下滑 0.5 米到点 A'，那么梯子的底端 B 在水平方向滑动的距 离 BB'为多少米？ 【题型 5 勾股定理的应用（九章算术问题）】 【例 5】（2021 春•肥乡区月考）如图所示，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为合肥期中）《九章算术》是我国古代数学的经典著作．书中有一个“折竹抵地”问题：“今 有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病， 一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？ 【变式 5-1】（2021 春•肥乡区月考）如图所示，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为汉阳区期中）“引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题：“今有池一丈，葭生其中央， 出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个边长为 10 尺的正方形池塘， 一棵芦苇 AB 生长在它的中央，高出水面 BC 为 1 尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边， 那么芦苇的顶部 B 恰好碰到岸边的 B'（如图）．问水深和芦苇长各多少？（画出几何图形并解答） 【变式 5-2】（2020 春•肥乡区月考）如图所示，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为安庆期中）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了 一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如 图所示，△ABC 中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝4，求 AC 的长． 【变式 5-3】（2020•庐阳区一模）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三 ． 乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何”． 大意是说，已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为 7，乙的速度为 3．乙一直向东走，甲先 向南走 10 步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？ 【题型 6 勾股定理的应用（其他问题）】 【例 6】（2020 秋•肥乡区月考）如图所示，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为沙坪坝区期末）如图是某“飞越丛林”俱乐部新近打造的一款儿童游戏项目，工作人员告 诉小敏，该项目 AB 段和 BC 段均由不锈钢管材打造，总长度为 26 米，长方形 CDEF 为一木质平台的主 视图．小敏经过现场测量得知：CD＝1 米，AD＝15 米，于是小敏大胆猜想立柱 AB 段的长为 10 米，请 判断小敏的猜想是否正确？如果正确，请写出理由，如果错误，请求出立柱 AB 段的正确长度． 【变式 6-1】（2020 秋•肥乡区月考）如图所示，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为宽城区期末）如图，在一条东西走