专题 2.4 角平分线的性质和判定-重难点题型 【苏科版】 【知识点 1 角平分线的作法】 ① 以 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于 D，交 OB 于 E. 1 ② 分别以 D、E 为圆心，大于 2 DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点 C. ③ 画射线 OC.即射线 OC 即为所求. 【题型 1 角平分线的作法及应用】 【例 1】（2020 秋 •曲靖校级月考）如图所示，已知∠ 曲靖校级月考）如图所示，已知∠ AOB，求作射线 OC，使 OC 平分 ∠AOB，作法的合理顺序是 ．（将①②③重新排列） ① 作射线 OC； ② 以 O 为圆心，任意长为半径画弧交 OA、OB 于 D、E； 1 2 ③ 分别以 D、E 为圆心，大于 DE 的长为半径作弧，在∠AOB 内，两弧交于点 C． 【变式 1-1】（2020•连城县模拟）如图，已知∠MON，点 B，C 分别在射线 OM，ON 上， 且 OB＝OC． （1）用直尺和圆规作出∠ MON 的角平分线 OP，在射线 OP 上取一点 A，分别连接 AB、AC（只需保留作图痕迹，不要求写作法）． （2）在（1）的条件下求证：AB＝AC． 【变式 1-2】（2020 秋•曲靖校级月考）如图所示，已知∠沛县期中）如图，已知点 D 在△ABC 的边 AB 上，且 AD＝CD， （1）用直尺和圆规作∠BDC 的平分线 DE，交 BC 于点 E（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，判断 DE 与 AC 的位置关系，并写出证明过程． 【变式 1-3】（2021 秋•曲靖校级月考）如图所示，已知∠孟州市校级期中）数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直 尺和圆规作角平分线，方法如下： 根据以上情境，解决下列问题： 作法：（如图 1） ① 在 OA 和 OB 上分别截取 OD、OE，使 OD＝OE． 1 2 ② 分别以 D、E 为圆心，以大于 DE 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 内交于点 C． ③ 作射线 OC，则 OC 就是∠AOB 的平分线． 小聪只带来直角三角板，他发现利用三角板也可以作角平分线（如图 2），方法如下： 步骤：①利用三角板上的刻度，在 OA 和 OB 上分别截取 OM、ON，使 OM＝ON． ② 分别过 M、N 作 OM、ON 的垂线，交于点 P． ③ 作射线 OP，则 OP 为∠AOB 的平分线． 小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线． ① 李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是 ． ② 小聪的作法正确吗？请说明理由． ③ 请你帮小颖设计用刻度尺作角平分线的方法．（要求：作出图形，写出作图步骤，不 予证明） 【知识点 2 角平分线的性质】 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 用符号语言表示角的平分线的性质定理： 若 CD 平分∠ADB，点 P 是 CD 上一点，且 PE⊥ADAD 于点 E，PF⊥ADBD 于点 F，则 PE＝PF. 【题型 2 角平分线的性质的应用】 【例 2】（2021 春 •曲靖校级月考）如图所示，已知∠ 毕节市期末）如图，已知△ ABC 中，∠C＝90o ，AC＝BC，AD 平分 ∠CAB，交 BC 于点 D，DE⊥AB 于点 E，且 AB＝10，则△DEB 的周长为（ A．9 B．5 C．10 ） D．不能确定 【变式 2-1】（2021 春 •曲靖校级月考）如图所示，已知∠ 汉寿县期中）如图，四边形 ABCD 中，∠A＝90°，AD＝3，连接 BD，BD⊥CD，垂足是 D 且∠ADB＝∠C，点 P 是边 BC 上的一动点，则 DP 的最小值是 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式 2-2】（2020 秋•曲靖校级月考）如图所示，已知∠增城区期末）如图，已知△ ABC 的周长是 18cm，∠ABC 和∠ACB 的 角平分线交于点 O，OD⊥BC 于点 D，若 OD＝3cm，则△ABC 的面积是（ A．24 B．27 C．30 ）cm2． D．33 【变式 2-3】（2021 春 •曲靖校级月考）如图所示，已知∠武侯区校级期中）如图， AD 是△ABC 的角平分线，DF⊥AB 于点 F，且 DE＝DG，S△ADG＝24，S△AED＝18，则△DEF 的面积为（ ） A．2 D．6 B．3 C．4 【题型 3 角平分线的性质与等积法】 【例 3】（2020 秋 •曲靖校级月考）如图所示，已知∠ 云南期末）如图，在△ ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，△ABC 面积是 152cm2，AB＝20cm，AC＝18cm，求 DE 的长． 【变式 3-1】（2021 春 •曲靖校级月考）如图所示，已知∠ 浦江县期末）如图，在△ ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝ 8，BC＝10，若 AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，求 BD 的长． 【变式 3-2】（2020 春 •曲靖校级月考）如图所示，已知∠ 番禺区校级期中）点 P 为△ABC 三内角平分线的交点，∠ACB＝ 90°，AB＝10cm，AC＝6cm，BC＝8cm，求：点 P 到三边的距离． 【变式 3-3】（2020 秋•曲靖校级月考）如图所示，已知∠渝水区校级期中）知识储备： 1 2 （1）如图 1，AD 是△ABC 的高，则△ABC 的面积 S△ABC¿ BC•AD． b a d c 比例的性质：若 = =⋯= n b+ d+⋯+ n b d n = = = ． ，则 m a+c +⋯+m a c m 知识运用： （2）如图 2，BE 是△ABC 的角平分线，运用上述知识，求证： AB AE = ； BC CE 知识延展： （3）如图 3，△ABC 的角平分线 BE 平分△ABC 的周长，求证：△ABC 是等腰三角形． 【题型 4 角平分线的性质与全等】 【例 4】（2020 秋•曲靖校级月考）如图所示，已知∠肇源县期末）如图，在△ ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠CAB，DE⊥AB 于点 E，点 F 在 AC 上，BE＝FC．求证：BD＝DF． 【变式 4-1】（2020 秋•曲靖校级月考）如图所示，已知∠平山县期中）如图，∠ AOB＝90°，OM 平分∠AOB，将直角三角板 的顶点 P 在射线 OM 上移动，两直角边分别与 OA、OB 相交于点 C、D，问 PC 与 PD 相 等吗？试说明理由． 【变式 4-2】（2021 春•曲靖校级月考）如图所示，已知∠盐田区校级期中）已知：如图， OC 是∠AOB 的平分线，P 是 OC 上 的 一 点 ， PD⊥OA ， PE⊥OB ， 垂 足 分 别 为 D 、 E ， 点 F 是 OC 上 的 另 一 点 ， 连 接 DF，EF．求证：DF＝EF． 【变式 4-3】如图，AB∥CD，以点 A 为圆心，小于 AC 长为半径作圆弧，分别交 AB，AC 于 1 2 E，F 两点，再分别以 E，F 为圆心，大于 EF 长为半径作圆弧，两条圆弧交于点 P，作 射线 AP，交 CD 于点 M （1）求证：AP 平分∠CAB； （2）若∠ACD＝114°，求∠MAB 的度数； （3）若 CN⊥AM，垂足为 N，求证：△CAN≌△CMN． 【知识点 3 角平分线的判定】 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 用符号语言表示角的平分线的判定： 若 PE⊥ADAD 于点 E，PF⊥ADBD 于点 F，PE＝PF，则 PD 平分∠ADB 【题型 5 角平分线的判定】 【例 5】（2020 秋•曲靖校级月考）如图所示，已知∠鼓楼区校级期中）如图， l3 与两条平行公路 l1，l2 三条公路相交，若要 在 l1 上确定某个位置，使其到另两条公路的距离相等，这样的位置有（ A．1 个 B．2 个 C．3 个 ） D．无数个 【变式 5-1】（2020 秋•曲靖校级月考）如图所示，已知∠长垣市月考）如图为三条两两相交的公路，某石化公司拟建立一个 加油站，计划使得该加油站到三条公路的距离相等，则加油站的可选位置有（ A．1 个 B．2 个 C．3 个 ） D．4 个 【变式 5-2】（2020 秋•曲靖校级月考）如图所示，已知∠夏津县期末）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只 用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线． 如图：一把直尺压住射线 OB，另一把直尺压住射线 OA 并且与第一把直尺交于点 P，小 明说：“射线 OP 就是∠BOA 的角平分线．”他这样做的依据是（ ） A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．以上均不正确 【变式 5-3】（2021 春•曲靖校级月考）如图所示，已知∠道县期末）如图，已知点 P 到 AE、AD、BC 的距离相等，下列说法： ① 点 P 在∠BAC 的平分线上； ② 点 P 在∠CBE 的平分线上； ③ 点 P 在∠BCD 的平分线上； ④ 点 P 在∠BAC，∠CBE，∠BCD 的平分线的交点上． 其中正确的是（ A．①②③④ ） B．①②③ C．④ D．②③ 【题型 6 角平分线的性质与判定综合】 【例 6】（2020 秋 •曲靖校级月考）如图所示，已知∠ 朝阳区校级期中）如图， OD 平分∠AOB，OA＝OB，P 是 OD 上一点， PM⊥BD 于点 M，PN⊥AD 于点 N．求证：PM＝PN． 【变式 6-1】（2020 秋 •曲靖校级月考）如图所示，已知∠ 临西县期末）已知：如图， BP、CP 分别是△ABC 的外角平分线， PM⊥AB 于点 M，PN⊥AC 于点 N．求证：PA 平分∠MAN． 【 变 式 6-2 】 （ 2020 秋 •曲靖校级月考）如图所示，已知∠ 常 熟 市 期 中 ） 如 图 ， △ ABC 中 ， 点 D 在 BC 边 上 ， ∠ BAD ＝ 100°，∠ABC 的平分线交 AC 于点 E，过点 E 作 EF⊥AB，垂足为 F，且∠AEF＝50°，连 接 DE． （1）求∠CAD 的度数； （2）求证：DE 平分∠ADC； （3）若 AB＝7，AD＝4，CD＝8，且 S△ACD＝15，求△ABE 的面积． 【变式 6-3】（2020 秋•曲靖校级月考）如图所示，已知∠庆阳期中）如图，在△ ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平 分线交于点 P，PD⊥AC 于点 D，PH⊥BA 于点 H． （1）