专题 1.9 全等三角形中的经典模型 【苏科版】 【题型 1 平移模型】 【例 1】（2020 秋•襄城区期末）如图，点襄城区期末）如图，点 B、E、C、F 四点在一条直线上，∠A＝∠D，AB∥DE，老师说： 再添加一个条件就可以使△ABC≌△DEF．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加 AB＝DE；乙说乙说： 添加 AC∥DF；乙说丙说：添加 BE＝CF．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加 （1）甲、乙、丙三个同学说法正确的是 ；乙说 （2）请你从正确的说法中选择一种，给出你的证明．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加 【解题思路】（1）根据平行线的性质，由 AB∥DE 可得∠B＝∠DEC，再加上条件∠A＝∠D，只需要添 加一个能得出边相等的条件即可证明两个三角形全等，添加 AC∥DF 不能证明△ABC≌△DEF；乙说 （2）添加 AB＝DE，然后再利用 ASA 判定△ABC≌△DEF 即可．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加 【解答过程】解：（1）说法正确的是：甲、丙， 故答案为：甲、丙；乙说 （2）证明：∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEC， 在△ABC 和△DEF 中 ¿， ∴△ABC≌△DEF（ASA）．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加 【变式 1-1】（2020 秋•襄城区期末）如图，点苏州期末）如图， AD，BF 相交于点 O，AB∥DF，AB＝DF，点 E 与点 C 在 BF 上， 且 BE＝CF．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加 （1）求证：△ABC≌△DFE；乙说 （2）求证：点 O 为 BF 的中点．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加 【变式 1-2】（2020 秋•襄城区期末）如图，点富顺县校级月考）如图 1，A，B，C，D 在同一直线上，AB＝CD，DE∥AF，且 DE ＝AF，求证：△AFC≌△DEB．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加如果将 BD 沿着 AD 边的方向平行移动，如图 2，3 时，其余条件不变， 结论是否成立？如果成立，请予以证明；乙说如果不成立，请说明理由．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加 【 变 式 1-3 】 （ 2021 春 •襄城区期末）如图，点 雁 塔 区 校 级 期 中 ） 如 图 ① 点 A 、 B 、 C 、 D 在 同 一 直 线 上 ， AB ＝ CD ， 作 CE⊥AD，BF⊥AD，且 AE＝DF．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加 （1）证明：EF 平分线段 BC；乙说 （2）若△BFD 沿 AD 方向平移得到图②时，其他条件不变，（1）中的结论是否仍成立？请说明理由．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加 【题型 2 轴对称模型】 【例 2】（2020 秋•襄城区期末）如图，点杭州校级月考）如图，在△ ABC 和△BAD 中，AC 与 BD 相交于点 E，已知 AD＝BC，另 外只能从下面给出的三个条件①∠DAB＝∠CBA，②∠D＝∠C③∠DBA＝∠CAB 选择其中的一个用来 证明在△ABC 和△BAD 全等，这个条件是 ．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加（填写编号），并证明△ABC≌△BAD．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加 【解题思路】选择条件①，根据全等三角形的判定定理 SAS 进行证明即可．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加 【解答过程】解：这个条件是：①，证明如下： 在△ABD 与△BAC 中， BC = AD ∠ CBA=∠ DAB ， BA= AB { ∴△ABC≌△BAD（SAS）．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加 【变式 2-1】如图，AB＝AC，BE⊥AC 于 E，CD⊥AB 于 D，BE、CD 交于点 O，求证：OB＝OC．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加 【变式 2-2】（2020 秋•襄城区期末）如图，点 海珠区校级期中）如图， PB⊥AB，PC⊥AC，PB＝PC，D 是 AP 上一点．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加求 证： ∠BDP＝∠CDP．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加 【变式 2-3】如图，AB＝AC，D、E 分别是 AB、AC 的中点，AM⊥CD 于 M，AN⊥BE 干 N．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加 求证：AM＝AN．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加 【题型 3 旋转模型】 【例 3】（2020 秋•襄城区期末）如图，点渝水区校级期中）如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加求证：∠ABD＝∠ACE．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加 【解题思路】根据等式的性质得出∠BAD＝∠CAE，利用 SAS 证明△ABD 与△ACE 全等，进而解答即可．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加 【解答过程】证明：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD 与△ACE 中， AB=AC ∠ BAD=∠CAE ， AD= AE { ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加 【变式 3-1】（2020 秋•襄城区期末）如图，点怀宁县期末）如图，已知： AD＝AB，AE＝AC，AD⊥AB，AE⊥AC．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加猜想线段 CD 与 BE 之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加 【变式 3-2】（2020 秋 •襄城区期末）如图，点 合江县月考）已知△ ABC 和△ADE 均为等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，AB＝ AC，AD＝AE．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加 （1）如图 1，点 E 在 BC 上，求证：BC＝BD+BE；乙说 （2）如图 2，点 E 在 CB 的延长线上，求证：BC＝BD﹣BE．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加 【变式 3-3】（2021 春•襄城区期末）如图，点浦东新区期末）如图，在△ ABC 和△ADE 中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE ＝90°．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加 （1）当点 D 在 AC 上时，如图①，线段 BD，CE 有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想；乙说 （2）将图①中的△ADE 绕点 A 顺时针旋转 α（0°＜α＜90°），如图②，线段 BD，CE 有怎样的数量 关系和位置关系？请说明理由．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加 【题型 4 一线三等角模型】 【例 4】（2020 秋•襄城区期末）如图，点覃塘区期中）已知： D，A，E 三点都在直线 m 上，在直线 m 的同一侧作△ABC，使 AB ＝AC，连接 BD，CE．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加 （1）如图①，若∠BAC＝90°，BD⊥m，CE⊥m，求证：△ABD≌△ACE；乙说 （2）如图②，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，请判断 BD，CE，DE 三条线段之间的数量关系，并说明理 由．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加 【解题思路】（1）根据 BD⊥直线 m，CE⊥直线 m 得∠BDA＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，根据等角 的余角相等得∠CAE＝∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA；乙说 （2）由∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，就可以求出∠BAD＝∠ACE，进而由 ASA 就可以得出△BAD≌△ACE， 就可以得出 BD＝AE，DA＝CE，即可得出结论．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加 【解答过程】解：（1）证明：如图①，∵D，A，E 三点都在直线 m 上，∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAE＝90°， ∵BD⊥m，CE⊥m， ∴∠ADB＝∠CEA＝90°， ∴∠BAD+∠ABD＝90°， ∴∠ABD＝∠CAE， 在△ABD 和△ACE 中， ∠ ADB=∠ AEC ∠ ABD=∠CAE ， AB= AC { ∴△ABD≌△ACE（AAS）；乙说 （2）DE＝BD+CE．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加 理由是：如图②，∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC， ∴由三角形内角和及平角性质，得： ∠BAD+∠ABD＝∠BAD+∠CAE＝∠CAE+∠ACE， ∴∠ABD＝∠CAE，∠BAD＝∠ACE， 在△ABD 和△ACE 中， ∠ ABD=∠ CAE ， AB=AC ∠ BAD=∠ ACE { ∴△ABD≌△ACE（ASA）， ∴BD＝AE，AD＝CE， ∴DE＝AD+AE＝BD+CE．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加 【变式 4-1】（2020 春•襄城区期末）如图，点香坊区期末）如图，在△ ABC 中，点 D 是边 BC 上一点，CD＝AB，点 E 在边 AC 上， 且 AD＝DE，∠BAD＝∠CDE．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加 （1）如图 1，求证：BD＝CE；乙说 （2）如图 2，若 DE 平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠ADE 相等的角 （∠ADE 除外）．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加 【变式 4-2】（2020 春•襄城区期末）如图，点历下区期中） CD 是经过∠BCA 定点 C 的一条直线，CA＝CB，E、F 分别是直线 CD 上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠β．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加 （1）若直线 CD 经过∠BCA 内部，且 E、F 在射线 CD 上， ① 若∠BCA＝90°，∠β＝90°，例如图 1，则 BE CF，EF |BE﹣AF|．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加（填“＞”，“＜”，“＝”）；乙说 ② 若 0°＜∠BCA＜180°，且∠β+∠BCA＝180°，例如图 2，①中的两个结论还成立吗？并说明理由；乙说 （2）如图 3，若直线 CD 经过∠BCA 外部，且∠β＝∠BCA，请直接写出线段 EF、BE、AF 的数量关系 （不需要证明）．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加 【变式 4-3】（2020 秋•襄城区期末）如图，点余杭区月考）如图 ①，点 B、C 在∠MAN 的边 AM、AN 上，点 E，F 在∠MAN 内部 的射线 AD 上，∠1、∠2 分别是△ABE、△CAF 的外角．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加已知 AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加求证： △ABE≌△CAF．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加 应用：如图②，在△ABC 中，AB＝AC，AB＞BC，点 D 在边 BC 上，且 CD＝2BD，点 E，F 在线段