专题 2.2 轴对称的性质+设计轴对称图案-重难点题型 【苏科版】 【知识点 1 轴对称的性质】 （1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ① 如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对 称； ② 如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线 ， 就可以得到这 两个图形的对称轴． （2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 【题型 1 利用轴对称的性质求角度】 【例 1】（2021 春•沙坪坝区校级期中）如图，△沙坪坝区校级期中）如图，△AOB 与△COB 关于边 OB 所在的直线成轴 对称，AO 的延长线交 BC 于点 D．若∠BOD＝46°，∠C＝20°，则∠ADC＝ °． 【变式 1-1】（2021 春•沙坪坝区校级期中）如图，△汉台区期末）如图，∠ MON 内有一点 P，点 P 关于 OM 的轴对称点 是 G，点 P 关于 ON 的轴对称点是 H，GH 分别交 OM、ON 于 A、B 点，若∠MON＝ 35°，则∠GOH＝ ． 【变式 1-2】（2021 春•沙坪坝区校级期中）如图，△雁塔区校级期末）如图，点 P 为∠AOB 内一点，分别作出 P 点关于 OB、OA 的对称点 P1 ，P2 ，连接 P1P2 交 OB 于 M，交 OA 于 N，若∠AOB＝40°，则 ∠MPN 的度数是（ A．90° ） B．100° C．120° D．140° 【变式 1-3】（2020•射阳县校级模拟）如图，四边形 ABCD 中，AB＝AD，点 B 关于 AC 的 对称点 B′恰好落在 CD 上，若∠BAD＝100°，则∠ACB 的度数为（ A．40° B．45° C．60° ） D．80° 【题型 2 利用轴对称的性质求线段】 【例 2】（2021•深圳模拟）如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，BC 上，点 A 与点 E 关于直线 CD 对称．若 AB＝7，AC＝9，BC＝12，则△DBE 的周长为（ A．9 B．10 C．11 D．12 ） 【变式 2-1】（2021 春 •沙坪坝区校级期中）如图，△ 海口期末）如图所示，点 P 关于直线 OA、OB 的对称点分别为 C 、 D ， 连 接 CD ， 交 OA 于 M ， 交 OB 于 N ， 若 △ PMN 的 周 长 为 8cm ， 则 CD 为 cm． 【变式 2-2】（2021 春 •沙坪坝区校级期中）如图，△ 驿城区期末）如图，点 P 是∠AOB 外的一点，点 M，N 分别是 ∠AOB 两边上的点，点 P 关于 OA 的对称点 Q 恰好落在线段 MN 上，点 P 关于 OB 的对 称点 R 落在 MN 的延长线上．若 PM＝3cm，PN＝4cm，MN＝4.5cm，则线段 QR 的长为 ． 【变式 2-3】（2020 春•沙坪坝区校级期中）如图，△ 双流区校级期末）如图，△ ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝ 8，AB＝10，动点 P 在边 AB 上运动（不与端点重合），点 P 关于直线 AC，BC 对称的 点分别为 P1，P2．则在点 P 的运动过程中，线段 P1P2 的长的最小值是 ． 【题型 3 画轴对称图形】 【例 3】（2020 春•沙坪坝区校级期中）如图，△荷塘区期末）如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中， 给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）． （1）请画出△ABC 关于直线 l 对称的△A1B1C1； （2）将△A1B1C1 再向下平移 5 个单位，画出平移后得到的△A2B2C2，并计算△A2B2C2 的面积． 【变式 3-1】（2021 春•沙坪坝区校级期中）如图，△秦都区期末）请在网格中完成下列问题： （1）如图 1，网格中的△ABC 与△DEF 为轴对称图形，请用所学轴对称的知识作出 △ABC 与△DEF 的对称轴直线 PQ； （2）如图 2，请在图中作出△ABC 关于直线 MN 对称的△A'B'C'． 【变式 3-2】（2021 秋•沙坪坝区校级期中）如图，△南昌期中）如图，将已知四边形分别在格点图中补成关于已知直线 ： l、m、n、p 为对称轴的轴对称的图形． 【变式 3-3】（2020 秋•沙坪坝区校级期中）如图，△江汉区期末）如图，所有的网格都是由边长为 1 的小正方形构成， 每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形，△ ABC 为格点 三角形． （1）如图，图 1，图 2，图 3 都是 6×6 的正方形网格，点 M，点 N 都是格点，请分别按 要求在网格中作图： ① 在图 1 中作△MNP，使它与△ABC 全等； ② 在图 2 中作△MDE，使△MDE 由△ABC 平移而得； ③ 在图 3 中作△NFG，使△NFG 与△ABC 关于某条直线对称； （2）如图 4，是一个 4×4 的正方形网格，图中与△ABC 关于某条直线轴对称的格点三 角形有 个． 【题型 4 利用轴对称的性质解折叠问题】 【例 4】（2021 春•沙坪坝区校级期中）如图，△锦江区期末）如图，在△ ABC 中，∠ACB＝90°，D 是 AC 上一点，连接 BD，将△BDA 沿 BD 对折得到△BDE，若 BE 恰好经过点 C，则下列结论错误的是（ ） A．DA＝DE B．∠CDE＝2∠ABD C．∠BDE﹣∠ABD＝90° D．S△ABD：S△CDE＝BC：CE 【变式 4-1】（2021 春•沙坪坝区校级期中）如图，△于洪区期末）如图，△ ABC 中，∠ACB＝90°，将△ABC 沿着一条直 线折叠后，使点 A 与点 C 重合（如图②） （1）在图①中画出折痕所在的直线 l，问直线 l 是线段 AC 的 线； （ 2 ） 设 直 线 l 与 AB 、 AC 分 别 相 交 于 点 M 、 N ， 连 接 CM ， 若 △ CMB 的 周 长 是 21cm，AB＝14cm，求 BC 的长． 【变式 4-2】（2021•启东市开学）如图，将 Rt△ABC 沿斜边翻折得到△ADC，点 E，F 分别 1 2 为 DC，BC 边上的点，且∠EAF¿ ∠DAB．试猜想 DE，BF，EF 之间有何数量关系，并 证明你的猜想． 【变式 4-3】（2020 秋•沙坪坝区校级期中）如图，△建邺区期末） ABCD 是长方形纸片的四个顶点，点 E、F、H 分别边 AD、BC、AD 上的三点，连接 EF、FH． （1）将长方形纸片的 ABCD 按如图①所示的方式折叠，FE、FH 为折痕，点 B、C、D 折叠后的对应点分别为 B′、C′、D′，点 B′在 FC′上，则∠EFH 的度数为 ； （2）将长方形纸片的 ABCD 按如图②所示的方式折叠，FE、FH 为折痕，点 B、C、D 折叠后的对应点分别为 B′、C′、D'（B′、C′的位置如图所示），若∠ B'FC′＝16°，求 ∠EFH 的度数； （3）将长方形纸片的 ABCD 按如图③所示的方式折叠，FE、FH 为折痕，点 B、C、D 折叠后的对应点分别为 B′、C′，D′（B′、C′的位置如图所示）．若∠EFH＝n°，则∠B ′FC′的度数为 ． 【题型 5 剪纸问题】 【例 5】（2021•门头沟区二模）有一正方形卡纸，如图①，沿虚线向上翻折，得到图②， 再沿虚线向右翻折得到图③，沿虚线将一角剪掉后展开，得到的图形是（ A． B． C． D． ） 【变式 5-1】（2020 秋•沙坪坝区校级期中）如图，△恩施市期末）将一张正方形按图 1，图 2 方式折叠，然后用剪刀沿 图 3 中虚线剪掉一角，再将纸片展开铺平后得到的图形是（ A． B． C． ） D． 【变式 5-2】（2020 秋•沙坪坝区校级期中）如图，△石景山区期末）剪纸是我国传统的民间艺术．如图 ①，②将一张 纸片进行两次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得 图案应该是（ ） A． B． C． D． 【变式 5-3】（2021•邢台三模）一张正方形纸片按图 1、图 2 箭头方向依次对折后，再沿图 3 虚线裁剪得到图 4，把图 4 展开铺平的图案应是（ A． B． ） C． D． 【题型 6 设计轴对称图案】 【例 6】（2021•石城县模拟）如图是由三个全等的菱形拼接而成的图形，若平移其中一个 菱形，与其他两个菱形重新拼接（无覆盖，有公共顶点），并使拼接成的图形为轴对称 图形，则平移的方式共有（ A．5 种 ） B．6 种 C．7 种 D．8 种 【变式 6-1】（2021•武汉模拟）如图，在 5×5 的小正方形网格中有 4 个涂阴影的小正方形， 它们组成一个轴对称图形．现在移动其中一个小正方形到空白的小正方形处，使得新的 4 个阴影的小正方形组成一个轴对称图形，不同的移法有（ A．8 种 B．12 种 C．16 种 ） D．20 种 【变式 6-2】（2021 春•沙坪坝区校级期中）如图，△道县期末）在 4×4 的方格中有五个同样大小的正方形（阴影）如图 摆放，移动标号为①的正方形到空白方格中，使其与其余四个正方形组成的新图形是 一个轴对称图形，这样的移法有 3 种． 【变式 6-3】（2021 春•沙坪坝区校级期中）如图，△宛城区期末）如图，已知点 A、B、C 都在方格纸的格点上． （1）若把线段 BC 平移后，对应线段恰好为 AM，请画出线段 AM； （2）请你再找一个格点 D，使点 A、B、C、D 组成一个轴对称图形，并画出对称轴． （请分别在下图及备用图中尽可能多地设计出不同的图形，格点 D 分别用 D1、D2、D3、…表示）．表示）．