专题 8.5 期末满分计划之解答压轴专项训练（30 道） 【苏科版】 1．（2021•沈北新区期末）如图，将两个全等的直角三角形△ ABD、△ACE 拼在一起（图 1），△ABD 不 动． （1）若将△ACE 绕点 A 逆时针旋转，连接 DE，M 是 DE 的中点，连接 MB、MC（图 2），证明：MB ＝MC． （2）若将图 1 中的 CE 向上平移，∠CAE 不变，连接 DE，M 是 DE 的中点，连接 MB、MC（图 3）， 判断并直接写出 MB、MC 的数量关系． （3）在（2）中，若∠CAE 的大小改变（图 4），其他条件不变，则（2）中的 MB、MC 的数量关系还 成立吗？说明理由． 2．（2021 秋•梁园区期末）如图梁园区期末）如图 1 是 3×3 的正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使涂黑后的整个图案 是轴对称图形，（要求：绕正方形 ABCD 的中心旋转能重合的图案都视为同一种图案，例如图 2 中的两 幅图就视为同一种图案），请在图 3 中的四幅图中完成你的设计． 3．（2021•昌平区期末）（1）如图 1，在四边形 ABCD 中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F 分别是边 1 2 BC、CD 上的点，且∠EAF¿ ∠BAD．求证：EF＝BE+FD； （2）如图 2，在四边形 ABCD 中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F 分别是边 BC、CD 上的点，且 1 2 ∠EAF¿ ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图 3，在四边形 ABCD 中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F 分别是边 BC、CD 延长线上的点， 1 2 且∠EAF¿ ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数 量关系，并证明． 4．（2021 春•梁园区期末）如图杨浦区期末）已知在△ ABC 与△CDE 中，AB＝CD，∠B＝∠D，∠ACE＝∠B，点 B、C、D 在同一直线上，射线 AH、EI 分别平分∠BAC、∠CED． （1）如图 1，试说明 AC＝CE 的理由； （2）如图 2，当 AH、EI 交于点 G 时，设∠B＝α，∠AGE＝β，求 β 与 α 的数量关系，并说明理由； （3）当 AH∥EI 时，求∠B 的度数． 5．（2021 秋•梁园区期末）如图大安市期末）已知：如图，在△ABC 中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE． 求证：AC﹣AB＝2BE． 6．（2021•沈阳期末）将两个全等的直角三角形 ABC 和 DBE 按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝ 90°，∠A＝∠D＝30°，点 E 落在 AB 上，DE 所在直线交 AC 所在直线于点 F． （1）求证：AF+EF＝DE； （2）若将图①中的△DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转角 α，且 0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图② 中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立； （3）若将图①中的△DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转角 β，且 60°＜β＜180°，其它条件不变，如图③． 你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出 AF、EF 与 DE 之间的 关系，并说明理由． 7．（2021•淮安期末）阅读理解 如图 1，△ABC 中，沿∠BAC 的平分线 AB1 折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C 的平分线 A1B2 折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠BnAnC 的平分线 AnBn+1 折叠，点 Bn 与点 C 重合，无论折叠多 少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC 是△ABC 的好角． 小丽展示了确定∠BAC 是△ABC 的好角的两种情形．情形一：如图 2，沿等腰三角形 ABC 顶角∠BAC 的 平分线 AB1 折叠，点 B 与点 C 重合；情形二：如图 3，沿∠BAC 的平分线 AB1 折叠，剪掉重复部分；将 余下部分沿∠B1A1C 的平分线 A1B2 折叠，此时点 B1 与点 C 重合． 探究发现 （1）△ABC 中，∠B＝2∠C，经过两次折叠，∠BAC 是不是△ABC 的好角？ （填“是”或“不是”）． （2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC 是△ABC 的好角，请探究∠B 与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等 量关系．根据以上内容猜想：若经过 n 次折叠∠BAC 是△ABC 的好角，则∠B 与∠C（不妨设∠B＞∠C） 之间的等量关系为 ． 应用提升 （3）小丽找到一个三角形，三个角分别为 15°、60°、105°，发现 60°和 105°的两个角都是此三角形的好 角． 请你完成，如果一个三角形的最小角是 4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是 此三角形的好角． 8．（2021•饶平县校级期末）已知：在△AOB 和△COD 中，OA＝OB，OC＝OD． （1）如图①，若∠AOB＝∠COD＝60°，求证：① AC＝BD②∠APB＝60°． （2）如图②，若∠ AOB＝∠ COD＝α，则 AC 与 BD 间的等量关系式为 （直接写出结果，不证明） ，∠APB 的大小为 9．（2021 秋•梁园区期末）如图甘井子区期末）附加题：如图，△ ABC≌△BDE，M、M′分别为 AB、DB 中点，直线 MM′交 CE 于 K．试探索 CK 与 EK 的数量关系． 10．（2021•上海期末）如图，在△ABC 中，点 D 在边 AC 上，DB＝BC，点 E 是 CD 的中点，点 F 是 AB 的 中点． 1 2 （1）求证：EF¿ AB； （2）过点 A 作 AG∥EF，交 BE 的延长线于点 G，求证：△ABE≌△AGE． 11．（2021•太原期末）数学课上，同学们探究下面命题的正确性：顶角为 36°的等腰三角形具有一种特性， 即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形．为此，请你解答问题（1）． （1）已知：如图①，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，直线 BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D．求证： △ABD 与△DBC 都是等腰三角形； （2）在证明了该命题后，小乔发现：下面两个等腰三角形如图②、③也具有这种特性．请你在图②、 图③中分别画出一条直线，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所有等腰三角形两个底角的 度数； （3）接着，小乔又发现：其它一些非等腰三角形也具有这样的特性，即过它其中一个顶点画一条直线 可以将原三角形分成两个小等腰三角形．请你画出两个不同类型且具有这种特性的三角形的示意图，并 在图中标出可能的各内角的度数．（说明：要求画出的两个三角形不相似，且不是等腰三角形．） （4）请你写出两个符合（3）中一般规律的非等腰三角形的特征． 12．（2021•无锡期末）（1）已知△ABC 中，∠A＝90°，∠B＝67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成 两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说 明理由，但要在图中标出相等两角的度数） （2）已知△ABC 中，∠C 是其最小的内角，过顶点 B 的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角 形，请探求∠ABC 与∠C 之间的关系． 13．（2021•金华期末）现有 9 个相同的小正三角形拼成的大正三角形，将其部分涂黑．如图（ 1），（2） 所示． 观察图（1），图（2）中涂黑部分构成的图案．它们具有如下特征：①都是轴对称图形；②涂黑部分 都是三个小正三角形． 请在图（3），图（4）内分别设计一个新图案，使图案具有上述两个特征． 14．（2021•内蒙古自期末））如图，已知△ABC 为等边三角形，延长 BC 到 D，延长 BA 到 E，并且使 AE ＝BD，连接 CE，DE．求证：EC＝ED． 15 ． （ 2021 春 •梁园区期末）如图 任 城 区 校 级 期 末 ） 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 直 线 AB 与 x 轴 、 y 轴 相 交 于 A（6，0）、B（0，2）两点，动点 C 在线段 OA 上，将线段 CB 绕着点 C 顺时针旋转 90°得到 CD，此时 点 D 恰好落在直线 AB 上时，过点 D 作 DE⊥x 轴于点 E． （1）求证：△BOC≌△CED； （2）求经过 A、B 两点的一次函数表达式及点 D 的坐标； （3）在 x 轴上是否存在点 P，使得以 C、D、P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出 P 点的坐标．（不用写过程） 16．（2021•巴中期末）在学习勾股定理时，我们学会运用图（Ⅰ）验证它的正确性；图中大正方形的面积 可表示为： 1 2 （a+b）2，也可表示为：c2+4•（ ab）， 1 2 即（a+b）2＝c2+4•（ ab）由此推出勾股定理 a2+b2＝c2，这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数 学规律和公式的方法，简称“无字证明”． （1）请你用图（II）（2002 年国际数字家大会会标）的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角 形全等）； （2）请你用（III）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证（x+y）2＝x2+2xy+y2； （ 3 ） 请 你 自 己 设 计 图 形 的 组 合 ， 用 其 面 积 表 达 式 验 证 ： （ x+p ） （ x+q ） ＝ x2+px+qx+pq ＝ x2+ （p+q）x+pq． 17．（2021•临沂期末）△ABC 中，BC＝a，AC＝b，AB＝c．若∠C＝90°，如图 1，根据勾股定理，则 a2+b2＝c2．若△ABC 不是直角三角形，如图 2 和图 3，请你类比勾股定理，试猜想 a2+b2 与 c2 的关系， 并证明你的结论． 18．（2021 秋•梁园区期末）如图凤凰县期末）如图，正方形 ABCD 的边 AB 在数轴上，数轴上点 A 表示的数为﹣1，正方形 ABCD 的面积为 16． （1）数轴上点 B 表示的数为 ； （2）将正方形 ABCD 沿数轴水平移动，移动后的正方形记为 A′B′C′D′，移动后的正方形 A′B′C′D′与原正 方形 ABCD 重叠部分的面积为 S． ① 当 S＝4 时，画出图形，并求出数轴上点 A′表示的数； ② 设正方形 ABCD 的移动速度为每秒 2 个单位长度，点 E 为线段 AA′的中点，点 F 在线段 BB′上，且 BF 1 ¿ BB′．经过 t 秒后，点 E，F 所表示的数互为相反数，直接写出 t 的值． 4 19．（2021•南京期末）如果将点 P 绕定点 M 旋转 180°后与点 Q 重合，那么称点 P 与点 Q 关于点 M 对称， 定点 M 叫做对称中心．此时，M 是线段