专题 6.4 一次函数的应用-重难点题型 【苏科版】 【知识点 1 一次函数与实际问题】 在研究有关一次函数的实际问题时，要遵循一审、二设、三列、四解的方法： 第 1 步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系； 第 2 步：设自变量。根据各个量之间的关系设满足题意的自变量； 第 3 步：列函数。根据各个量之间的关系列出函数； 第 4 步：求解。求出满足题意的数值。 【题型 1 一次函数的应用（行程问题）】 【例 1】（2021 春•海门市期中）甲、乙两人分别从笔直道路上的海门市期中）甲、乙两人分别从笔直道路上的 A、B 两地同时出发相向 匀速而行，已知甲比乙先出发 6 分钟，两人在 C 地相遇，相遇后甲立即按原速原路返回 A 地，乙继续向 A 地前行，约定先到 A 地者停止运动就地休息．若甲、乙两人相距的路 程 y（米）与甲行走的时间 x（分钟）之间的关系如图所示，有下列说法：①甲的速度 是 60 米/分钟，乙的速度是 80 米/分钟；②甲出发 30 分钟时，两人在 C 地相遇；③乙 到达 A 地时，甲与 A 地相距 450 米，其中正确的说法有（ A．0 个 B．1 个 C．2 个 ） D．3 个 【变式 1-1】（2021 春•海门市期中）甲、乙两人分别从笔直道路上的巴彦淖尔期末）如图，折线 ABCDE 描述了一辆汽车在某一直线上 的行驶过程中，汽车离出发地的距离 s（km）与行驶时间 t（h）之间的函数关系，根据 图中提供的信息，判断下列结论正确的选项是（ ） ① 汽车在行驶途中停留了 0.5h； ② 汽车在整个行驶过程的平均速度是 40km/h； ③ 汽车共行驶了 240km； ④ 汽车出发 4h 离出发地 40km． A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【变式 1-2】（2021•沙坪坝区校级开学）某天上午，大学生小南从学校出发去重庆市图书 馆查阅资料，同时他的同学小开从该图书馆看完书回学校．两人在途中相遇，于是马上 就各自最近的研究课题交流了 6 分钟，又各自按原速前往自己的目的地．直到小开回到 学校并电话告知小南后，小南决定提速 25%到达图书馆（接打电话的时间忽略不计）． 在整个运动过程中，小南和小开之间的距离 y（m）与小南所用的时间 x（min）之间的 函数关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A．学校和图书馆的之间的距离为 1200m B．小南提速前，小开的速度是小南的 1.8 倍 C．m＝1500 D．n＝62 【变式 1-3】（2021•蒙阴县二模）甲、乙两车从 M 地到 480 千米的 N 地，甲车比乙车晚出 发 2 小时，乙车途中因故停车检修，图中线段 DE、折线 OABC 分别表示甲、乙两车所 行路程 y（千米）与时间 x（小时）之间的函数图象，请根据图象所提供的信息，解决 如下问题： （1）求两车在途中第二次相遇时，它们距目的地的路程； （2）甲车出发多长时间，两车在途中第一次相遇？ 【题型 2 一次函数的应用（调运问题）】 【例 2】（2021 春•海门市期中）甲、乙两人分别从笔直道路上的大安市期末） A 城有肥料 400 吨，B 城有肥料 300 吨，现要把这些肥料 全部运往 C、D 两乡镇，从 A 城运往 C、D 两乡镇肥料费为 20 元/吨和 25 元/吨；从 B 城 往 C、D 两乡镇运肥料的费用分别为 15 元/吨和 24 元/吨，C 乡镇需要肥料 340 吨，D 乡 镇需要肥料 360 吨．设 A 城运往 C 乡镇 x 吨肥料，请解答下列问题： （1）根据题意，填写下列表格： 城、乡/吨数 C A x D B （2）设总运费为 W（元），求出 W（元）与 x（吨）的函数关系式，并写出自变量的取 值范围； （3）求怎样调运可使总运费最少？最少为多少元？ 【变式 2-1】（2021•寻乌县模拟）疫情期间，甲、乙两个仓库要向 M，N 两地运送防疫物 资，已知甲仓库可调出 50 吨防疫物资，乙仓库可调出 40 吨防疫物资，M 地需 35 吨防疫 物资，N 地需 55 吨防疫物资，两仓库到 M，N 两地的路程和运费如下表： 路程/千米 运送 1 千米所需运费/ （元/吨） 甲仓库 乙仓库 甲仓库 乙仓库 M地 20 15 12 12 N地 25 20 10 8 （1）设从甲仓库运往 M 地防疫物资 x 吨，两仓库运往 M，N 两地的总费用为 y 元，求 y 关于 x 的函数关系式． （2）如何调运才能使总运费最少？总运费最少是多少？ 【变式 2-2】（2021 春•海门市期中）甲、乙两人分别从笔直道路上的满洲里市期末）已知 A 地有蔬菜 200t，B 地有蔬菜 300t，现决定将 这些蔬菜全部调运给 C，D 两地，C，D 两地分别需要调运蔬菜 240t 和 260t．其中从 A 地运往 C，D 两处的费用分别为每吨 20 元和 25 元，从 B 地运往 C，D 两处的费用分别 为每吨 15 元和 18 元．设从 B 地运往 C 地的蔬菜为 x 吨．设 A，B 两个蔬菜基地的总运 费为 w 元，求出 w 与 x 之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案． 【变式 2-3】（2021 春 •海门市期中）甲、乙两人分别从笔直道路上的 昆明期末）某市 A、B 两个仓库分别有救灾物资 200 吨和 300 吨， 2021 年 5 月 18 日起云南大理州漾濞县已连续发生多次地震，最高震级为 5 月 21 日发生 的 6.4 级地震，为援助灾区，现需将这些物资全部运往甲，乙两个受灾村．已知甲村需 救灾物资 240 吨，乙村需救灾物资 260 吨，从 A 仓库运往甲，乙两村的费用分别为每吨 20 元和每吨 25 元，从 B 仓库运往甲，乙两村的费用分别为每吨 15 元和 24 元．设 A 仓 库运往甲村救灾物资 x 吨，请解答下列问题： （1）根据题意，填写下表格： 仓库 A ①＝ B ；②＝ ；③＝ 甲村 乙村 x ① ② ． ③ （2）设总运费为 W（元），求出 W（元）与 x（吨）的函数关系式． （3）求怎么调运可使总运费最少？最少运费为多少元？ 【题型 3 一次函数的应用（利润最大化）】 【例 3】（2021•镇雄县二模）2020 年 6 月 1 日上午，国务院总理在山东烟台考察时表示， 地摊经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．“地 摊经济”成为了社会关注的热门话题．小明从市场得知如表信息： 甲商品 乙商品 进价（元/件） 35 5 售价（元/件） 45 8 小明计划购进甲、乙商品共 100 件进行销售，设小明购进甲商品 x 件，甲、乙商品全部 销售完后获得利润为 y 元． （1）求出 y 与 x 之间的函数关系式； （2）小明用不超过 2000 元资金一次性购进甲，乙两种商品，求 x 的取值范围； （3）在（2）的条件下，若要求甲，乙商品全部销售完后获得的利润不少于 632.5 元， 请说明小明有哪些可行的进货方案，并计算哪种进货方案的利润最大． 【变式 3-1】（2021•青白江区模拟）在近期“抗疫”期间，某药店销售 A，B 两种型号的口罩， 已知销售 80 只 A 型和 45 只 B 型的利润为 21 元，销售 40 只 A 型和 60 只 B 型的利润为 18 元． （1）求每只 A 型口罩和 B 型口罩的销售利润； （2）该药店计划一次购进两种型号的口罩共 2000 只，其中 B 型口罩的进货量不少于 A 型口罩的进货量且不超过它的 3 倍，则该药店购进 A 型、B 型口罩各多少只，才能使销 售总利润 y 最大？ 【变式 3-2】（2021 春•海门市期中）甲、乙两人分别从笔直道路上的连山区期末）由于新能源汽车越来越受到消费者的青睐，某经销商 决定分两次购进甲、乙两种型号的新能源汽车（两次购进同一种型号汽车的每辆的进价 相同）．第一次用 270 万元购进甲型号汽车 30 辆和乙型号汽车 20 辆；第二次用 128 万 元购进甲型号汽车 14 辆和乙型号汽车 10 辆． （1）求甲、乙两种型号汽车每辆的进价； （2）经销商分别以每辆甲型号汽车 8.8 万元，每辆乙型号汽车 4.2 万元的价格销售后， 根据销售情况，决定再次购进甲、乙两种型号的汽车共 100 辆，且乙型号汽车的数量不 少于甲型号汽车数量的 3 倍，设再次购进甲型汽车 a 辆，这 100 辆汽车的总销售利润为 W 万元． ① 求 W 关于 a 的函数关系式；并写出自变量的取值范围； ② 若每辆汽车的售价和进价均不变，该如何购进这两种汽车，才能使销售利润最大？最 大利润是多少？ 【变式 3-3】（2021•鹿邑县一模）草莓是一种极具营养价值的水果，当下正是草莓的销售 旺季．某水果店以 2850 元购进两种不同品种的盒装草莓．若按标价出售可获毛利润 1500 元（毛利润＝售价﹣进价），这两种盒装草莓的进价、标价如表所示： 价格/品种 A 品种 B 品种 进价（元/盒） 45 60 标价（元/盒） 70 90 （1）求这两个品种的草莓各购进多少盒； （2）该店计划下周购进这两种品种的草莓共 100 盒（每种品种至少进 1 盒），并在两 天内将所进草莓全部销售完毕（损耗忽略不计）．因 B 品种草莓的销售情况较好，水果 店计划购进 B 品种的盒数不低于 A 品种盒数的 2 倍，且 A 品种不少于 20 盒．如何安排 进货，才能使毛利润最大，最大毛利润是多少？ 【题型 4 一次函数的应用（费用最低）】 【例 4】（2021 春•海门市期中）甲、乙两人分别从笔直道路上的广安期末）为积极响应垃圾分类的号召，某街道决定在街道内的所有小 区安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱．已知购买 3 个垃圾箱和 2 个温馨提示牌需要 280 元，购买 2 个垃圾箱和 3 个温馨提示牌需要 270 元． （1）每个垃圾箱和每个温馨提示牌各多少元？ （2）若购买垃圾箱和温馨提示牌共 100 个（两种都买），且垃圾箱的个数不少于温馨 提示牌个数的 3 倍，请写出总费用 w（元）与垃圾箱个数 m（个）之间的函数关系式， 并说明当购买垃圾箱和温馨提示牌各多少个时，总费用最低，最低费用为多少元？ 【变式 4-1】（2021 春•海门市期中）甲、乙两人分别从笔直道路上的环江县期末）某县园林局打算购买三角梅、水仙装点城区道路，负 责人小李去花卉基地调查发现：购买 1 盆三角梅和 2 盆水仙需要 14 元，购买 2 盆三角梅 和 1 盆水仙需要 13 元． （1）求三角梅、水仙的单价各是多少元？ （2）购买三角梅、水仙共 10000 盆，且购买的三角梅不少