专题 6.5 一次函数与方程、不等式的关系-重难点题型 【苏科版】 【知识点 1 一次函数与一元一次方程、不等式的关系】 1. 任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b 为常数，k≠0）的形式． 的形式． 而一次函数解析式形式正是 y=kx+b（k、b 为常数，k≠0）的形式． ．当函数值为 0 时，即 kx+b=0 就与一元一次方程完全相同． 结论：由于任何一元一次方程都可转化为 kx+b=0（k、b 为常数，k≠0）的形式． 的形式．所以解一 元一次方程可以转化为：当一次函数值为 0 时，求相应的自变量的值． 从图象上看，这相当于已知直线 y=kx+b 确定它与 x 轴交点的横坐标值． 2.解一元一次不等式可以看作：当一次函数的函数值大（小）的形式． 于 0 时，求自变量相应的取 值范围. 【题型 1 一次函数的与一元一次方程】 【例 1】（2020 秋•包河区期中）根据一次函数包河区期中）的形式． 根据一次函数 y＝kx+b 的图象，直接写出下列问题的答案： （1）的形式． 关于 x 的方程 kx+b＝0 的解； （2）的形式． 代数式 k+b 的值； （3）的形式． 关于 x 的方程 kx+b＝﹣3 的解． 1 2 【变式 1-1】（2021 秋•包河区期中）根据一次函数泰兴市校级期末）的形式． 已知一次函数 y＝kx+1 与 y¿ − x+b 的图象相交 于点（2，5）的形式． ，求关于 x 的方程 kx+b＝0 的解． 【变式 1-2】一次函数 y＝kx+b（k，b 为常数，且 k≠0）的形式． 的图象如图所示，根据图象信息可 求得关于 x 的方程 kx+b＝4 的解为多少？ 【变式 1-3】已知一次函数 y＝kx﹣6 的图象如图 （1）的形式． 求 k 的值； （2）的形式． 在图中的坐标系中画出一次函数 y＝﹣3x+3 的图象（要求：先列表，再描点，最 后连线）的形式． ； （3）的形式． 根据图象写出关于 x 的方程 kx﹣6＝﹣3x+3 的解． 【题型 2 一次函数的与一元一次不等式（数形结合）的形式． 】 【例 2】（2021 春•包河区期中）根据一次函数高明区期末）的形式． 一次函数 y1＝ax+b 与 y2＝cx+d 的图象如图所示，下列说 法：①对于函数 y1＝ax+b 来说，y 随 x 的增大而增大；②函数 y＝ax+d 不经过第二象限； ③不等式 ax﹣d≥cx﹣b 的解集是 x≥4；④ a﹣c¿ 1 （d﹣b）的形式． ，其中正确的是（ 4 ）的形式． A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【变式 2-1】（2021•安徽模拟）的形式． 已知一次函数 y1＝kx+3（k 为常数，且 k≠0）的形式． 和 y2＝x﹣3． 当 x＜2 时，y1＞y2，则 k 的取值范围是（ ）的形式． A．﹣2≤k≤1 且 k≠0 B．k≤﹣2 C．k≥1 D．﹣2＜k＜1 且 k≠0 【变式 2-2】（2021 春•包河区期中）根据一次函数盐湖区校级期末）的形式． 我们知道，若 ab＞0．则有 {ab ＞＞ 00 {ab ＜＜ 00 或 ．如 图，直线 y＝kx+b 与 y＝mx+n 分别交 x 轴于点 A（﹣0.5，0）的形式． 、B（2，0）的形式． ，则不等式 （kx+b）的形式． （mx+n）的形式． ＞0 的解集是（ ）的形式． A．x＞2 B．﹣0.5＜x＜2 C．0＜x＜2 D．x＜﹣0.5 或 x＞2 【变式 2-3】（2021 春•包河区期中）根据一次函数中山市期末）的形式． 一次函数 y1＝ax+b 与 y2＝cx+d 的图象如图所示，下列 说法： ① 对于函数 y1＝ax+b 来说，y 随 x 的增大而减小； ② 函数 y＝ax+d 的图象不经过第一象限； ③ 不等式 ax+b＞cx+d 的解集是 x＞3； ④d﹣b＝3（a﹣c）的形式． ． 其中正确的有（ ）的形式． A．①③ B．②③④ C．①②④ D．②③ 【题型 3 一次函数的与一元一次不等式（取值范围）的形式． 】 【例 3】（2021 春•包河区期中）根据一次函数海淀区期末）的形式． 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：y1＝x+1 与直线 l2：y2 ＝2x﹣2 交于点 A． （1）的形式． 求点 A 的坐标； （2）的形式． 当 y1＞y2 时，直接写出 x 的取值范围； （3）的形式． 已知直线 l3：y3＝kx+1，当 x＜3 时，对于 x 的每一个值，都有 y3＞y2，直接写出 k 的取值范围． 【变式 3-1】（2021 春•包河区期中）根据一次函数茌平区期末）的形式． 已知：如图一次函数 y1＝﹣x﹣2 与 y2＝x﹣4 的图象相 交于点 A． （1）的形式． 求点 A 的坐标； （2）的形式． 若一次函数 y1＝﹣x﹣2 与 y2＝x﹣4 的图象与 x 轴分别相交于点 B、C，求△ABC 的 面积． （3）的形式． 结合图象，直接写出 y1≥y2 时 x 的取值范围． 【变式 3-2】（2021 春•包河区期中）根据一次函数海珠区期末）的形式． 已知一次函数 y1＝ax+b 的图象交 x 轴和 y 轴于点 B 和 D；另一个一次函数 y2＝bx+a 的图象交 x 轴和 y 轴于点 C 和 E，且两个函数的图象交于 点 A（1，4）的形式． （1）的形式． 当 a，b 为何值时，y1 和 y2 的图象重合； （2）的形式． 当 0＜a＜4，且在 x＜1 时，则 y1＞y2 成立．求 b 的取值范围； 【变式 3-3】（2020 春•包河区期中）根据一次函数赣县区期末）的形式． 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y＝kx+b 2 3 的图象经过点 A（﹣2，4）的形式． ，且与正比例函数 y¿ − x 的图象交于点 B（a，2）的形式． ． （1）的形式． 求 a 的值及一次函数 y＝kx+b 的解析式； 2 3 （2）的形式． 若一次函数 y＝kx+b 的图象与 x 轴交于点 C，且正比例函数 y¿ − x 的图象向下平 移 m（m＞0）的形式． 个单位长度后经过点 C，求 m 的值； 2 3 （3）的形式． 直接写出关于 x 的不等式 0＜ − x＜kx+b 的解集． 【题型 4 一次函数与一元一次不等式（面积问题）的形式． 】 【例 4】（2021 春 •包河区期中）根据一次函数 诸城市期末）的形式． 如图，直线 y＝kx+b 分别与 x 轴、y 轴交于点 A（﹣ 2，0）的形式． ，B（0，3）的形式． ；直线 y＝1﹣mx 分别与 x 轴交于点 C，与直线 AB 交于点 D，已知 4 5 关于 x 的不等式 kx+b＞1﹣mx 的解集是 x＞ − ． （1）的形式． 分别求出 k，b，m 的值； （2）的形式． 求 S△ACD． 【变式 4-1】（2021 春•包河区期中）根据一次函数东辽县期末）的形式． 已知直线 y＝kx+5 交 x 轴于 A，交 y 轴于 B 且 A 坐标为 （5，0）的形式． ，直线 y＝2x﹣4 与 x 轴于 D，与直线 AB 相交于点 C． （1）的形式． 求点 C 的坐标； （2）的形式． 根据图象，写出关于 x 的不等式 2x﹣4＞kx+5 的解集； （3）的形式． 求△ADC 的面积． 【变式 4-2】（2020 春•包河区期中）根据一次函数宁化县校级月考）的形式． 如图，直线 l1：y＝2x 与直线 l2：y＝kx+3 在同一 平面直角坐标系内交于点 P（a，2）的形式． ． （1）的形式． 求出不等式 2x≤kx+3 的解集； （2）的形式． 求出△OAP 的面积． 1 2 【变式 4-3】已知一次函数 y1＝﹣2x﹣3 与 y2¿ x+2． （1）的形式． 在同一平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； 1 2 （2）的形式． 根据图象，不等式﹣2x﹣3＞ x+2 的解集为 ； （3）的形式． 求两图象和 y 轴围成的三角形的面积． 【题型 5 一次函数的与一元一次不等式（求点的坐标）的形式． 】 【例 5】如图，直线 y＝kx+b 与坐标轴相交于点 M（3，0）的形式． ，N（0，4）的形式． ，且 MN=5. （1）的形式． 求直线 MN 的解析式； （2）的形式． 根据图象，写出不等式 kx+b≥0 的解集； （3）的形式． 若点 P 在 x 轴上，且点 P 到直线 y＝kx+b 的距离为 的坐标． 12 ，直接写出符合条件的点 P 5 【变式 5-1】（2021 春•包河区期中）根据一次函数顺德区期末）的形式． 一次函数 y1＝kx+b 和 y2＝﹣4x+a 的图象如图所示， 且 A（0，4）的形式． ，C（﹣2，0）的形式． ． （1）的形式． 由图可知，不等式 kx+b＞0 的解集是 ； （2）的形式． 若不等式 kx+b＞﹣4x+a 的解集是 x＞1． ① 求点 B 的坐标； ② 求 a 的值． 【变式 5-2】（2020 秋•包河区期中）根据一次函数南京期末）的形式． 已知直线 y＝kx+b 经过点 A（5，0）的形式． ，B（1，4）的形式． ． （1）的形式． 求直线 AB 的函数关系式； （2）的形式． 若直线 y＝2x﹣4 与直线 AB 相交于点 C，求点 C 的坐标； （3）的形式． 根据图象，直接写出当 x 在什么范围内，不等式 2x﹣4＞kx+b． 【变式 5-3】在平面直角坐标系中，直线 y＝﹣2x+1 与 y 轴交于点 C，直线 y＝x+k（k≠0）的形式． 与 y 轴交于点 A，与直线 y＝﹣2x+1 交于点 B，设点 B 的横坐标为﹣2． （1）的形式． 求点 B 的坐标及 k 的值； （2）的形式． 求直线 y＝﹣2x+1、直线 y＝x+k 与 y 轴所围成的△ABC 的面积； （3）的形式． 根据图象直接写出不等式﹣2x+1＞x+k 的解集． 【知识点 2 一次函数与二元一次方程】 （1）的形式． 每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线. （2）的形式． 解二元一次方程组，从“数”的角度看，相当于考虑当自変量为何值时两个函数的值相 等，以及这个函数值是多少，从