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专题 6.2 一次函数与正比例函数-重难点题型 【苏科版】 【知识点 1 一次函数和正比例函数的概念】 一般地,若两个变量 x,y 间的关系可以表示成 y=kx+b (k,b 为常数,k ¿ 0)的形式,则称的形式,则称 y 是 x 的一次函数(x 为自变量,y 为因变量)的形式,则称。 特别地,当一次函数 y=kx+b 中的 b=0 时(即 y=kx )的形式,则称(k 为常数,k ¿ 0)的形式,则称,称 y 是 x 的正比例函数。 【题型 1 一次函数的概念】 【 例 1 】 ( 2021 春 •娄星区期末)在下列函数中: 娄 星 区 期 末 )的形式,则称 在 下 列 函 数 中 : ① y = ﹣ 8x ; ② y= y=❑√ x+ 1;④ y=﹣8x2+5;⑤ y=﹣0.5x﹣1,一次函数有( )的形式,则称 A.1 个 D.4 个 B.2 个 C.3 个 3 x +1; ③ 2 【变式 1-1】(2020 秋•娄星区期末)在下列函数中:肥西县校级月考)的形式,则称下列函数:( 1)的形式,则称y=3x;(2)的形式,则称y=2x﹣1;(3)的形式,则称 1 x y= ;(4)的形式,则称y=x2﹣1;(5)的形式,则称 y=− 中,是一次函数的有( x 8 A.4 B.3 C.2 )的形式,则称个 D.1 3 x 【变式 1-2】(2021 春•娄星区期末)在下列函数中:汉阴县期末)的形式,则称在 ① y=﹣8x:② y¿ − :③ y¿ ❑√ x +¿ 1;④ y=﹣ 5x2+1:⑤ y=0.5x﹣3 中,一次函数有( )的形式,则称 A.1 个 C.3 个 B.2 个 【变式 1-3】下列语句中,y 与 x 是一次函数关系的有( D.4 个 )的形式,则称个 (1)的形式,则称汽车以 60 千米/时的速度匀速行驶,行驶路程 y(千米)的形式,则称与行驶时间 x(时)的形式,则称之间 的关系 (2)的形式,则称圆的面积 y(厘米 2)的形式,则称与它的半径 x(厘米)的形式,则称之间的关系; (3)的形式,则称一棵树现在高 50 厘米,每个月长高 2 厘米,x 月后这个棵树的高度为 y 厘米,y 与 x 的关系; (4)的形式,则称某种大米的单价是 2.2 元/千克,当购买大米 x 千克大米时,花费 y 元,y 与 x 的关 系. A.1 B.4 C.3 D.2 【题型 2 利用一次函数的概念求值】 【例 2】(2021 春•娄星区期末)在下列函数中:昭通期末)的形式,则称若 y=(k﹣2)的形式,则称x|k﹣1|+1 表示一次函数,则 k 等于( A.0 C.0 或 2 B.2 )的形式,则称 D.﹣2 或 0 【变式 2-1】(2021 春•娄星区期末)在下列函数中:雨花区期中)的形式,则称若函数 y=(m+2)的形式,则称x|m|﹣1﹣5 是一次函数,则 m 的值为 ( )的形式,则称 A.±2 B.2 C.﹣2 D.±1 【变式 2-2】(2021 春 •娄星区期末)在下列函数中: 杨浦区期末)的形式,则称如果 y=kx+x+k 是一次函数,那么 k 的取值范围是 . 【变式 2-3】已知 y=(k﹣1)的形式,则称x|k|+(k2﹣4)的形式,则称是一次函数. (1)的形式,则称求 k 的值; (2)的形式,则称求 x=3 时,y 的值; (3)的形式,则称当 y=0 时,x 的值. 【题型 3 正比例函数的概念】 【例 3】(2021 春•娄星区期末)在下列函数中:萝北县期末)的形式,则称若 y=(m+2)的形式,则称x+m2﹣4 是关于 x 的正比例函数,则常数 m = . 2 【变式 3-1】函数 y=(k+1)的形式,则称 x k 是正比例函数,则常数 k 的值为 . 【变式 3-2】已知函数 y=mx+25﹣m 是正比例函数,则该函数的表达式为 【变式 3-3】已知函数 y=2x2a+b+a+2b 是正比例函数,则 a= 【知识点 2 正比例函数和一次函数解析式的确定】 【例 4】已知 y+2 与 x﹣1 成正比例,且当 x=3 时,y=4. (1)的形式,则称求 y 与 x 之间的函数表达式; (2)的形式,则称当 y=1 时,求 x 的值. . y=kx (k ¿ 0)的形式,则称中的常数 y=kx+b (k ¿ 0)的形式,则称中的常数 k 和 确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式 k。确定一个一次函数,需要确定一次函数定义式 b。解这类问题的一般方法是待定系数法。 【题型 4 用待定系数法求一次函数解析式】 . 【变式 4-1】已知 y﹣1 与 x+2 成正比例,且 x=﹣1 时,y=3. (1)的形式,则称求 y 与 x 之间的关系式; (2)的形式,则称它的图象经过点(m﹣1,m+1)的形式,则称,求 m 的值. 【变式 4-2】直线 AB 与 x 轴交于点 A(2,0)的形式,则称,与 y 轴交于点 B(0,﹣4)的形式,则称. (1)的形式,则称求直线 AB 的解析式. (2)的形式,则称若直线 CD 与 AB 平行,且直线 CD 与 y 轴的交点与 B 点相距 2 个单位,则直线 CD 的解析式为 . 【变式 4-3】已知一次函数 y=kx+b,当 x=2 时 y 的值是﹣1,当 x=﹣1 时 y 的值是 5. (1)的形式,则称求此一次函数的解析式; (2)的形式,则称若点 P(m,n)的形式,则称是此函数图象上的一点,﹣3≤m≤2,求 n 的最大值. 【题型 5 用待定系数法求正比例函数解析式】 【例 5】(2020 秋•娄星区期末)在下列函数中:青山区期中)的形式,则称已知正比例函数过点 A(2,﹣4)的形式,则称,点 P 在此正比例函数 的图象上,若坐标轴上有一点 B(0,4)的形式,则称且三角形 ABP 的面积为 8. 求:(1)的形式,则称过点 A 的正比例函数关系式; (2)的形式,则称点 P 的坐标. 【变式 5-1】已知函数 y=mx+25﹣m 是正比例函数,则该函数的表达式为 . 【变式 5-2】若 y=y1+y2 且 y1 与 x 成正比例,y2 与(x﹣3)的形式,则称成正比例,当 x=1 时 y=3,当 x =﹣1 时 y=9,当 x=3 时 y 的值. 【变式 5-3】已知一个正比例函数和一个一次函数的图象交于点 P(﹣2,2)的形式,则称,且一次函数 的图象与 y 轴相交于点 Q(0,4)的形式,则称. (1)的形式,则称求这两个函数的解析式. (2)的形式,则称在同一坐标系内,分别画出这两个函数的图象. (3)的形式,则称求出△POQ 的面积. 【题型 6 一次函数解析式与三角形面积问题】 【例 6】(2021 春•娄星区期末)在下列函数中:赣州期末)的形式,则称如图,在平面直角坐标系中,直线 AC 与直线 AB 交 y 轴于点 A,直线 AC 与 x 轴交于点 C,直线 AB 与 x 轴交于点 B,已知 A(0,4)的形式,则称,B(2,0)的形式,则称. (1)的形式,则称求直线 AB 的解析式; (2)的形式,则称若 S△ABC=12,求点 C 的坐标. 【变式 6-1】(2021 春•娄星区期末)在下列函数中:阿荣旗期末)的形式,则称已知:一次函数的图象与 x 轴交于点 A(1,0)的形式,则称,与 y 轴交于点 B(0,﹣2)的形式,则称. (1)的形式,则称求一次函数的解析式; (2)的形式,则称若直线 AB 上的有一点 C,且 S△BOC=2,求点 C 的坐标. 【变式 6-2】(2020 秋•娄星区期末)在下列函数中:泰兴市期末)的形式,则称如图,已知一次函数 y=kx+b 的图象经过 A(﹣2,﹣ 1)的形式,则称,B(1,3)的形式,则称两点,并且交 x 轴于点 C,交 y 轴于点 D. (1)的形式,则称求该一次函数的表达式; (2)的形式,则称求△AOB 的面积. 【变式 6-3】(2021 春•娄星区期末)在下列函数中:雄县期末)的形式,则称如图,直线 l1 经过点 A(0,2)的形式,则称和 C(6,﹣2)的形式,则称,点 B 的坐标为(4,2)的形式,则称,点 P 是线段 AB 上的动点(点 P 不与点 A 重合)的形式,则称.直线 l2 :y= kx+2k 经过点 P,并与 l1 交于点 M,过点 P 作 PN⊥l2,交 l1 于点 N. (1)的形式,则称求 l1 的函数表达式; (2)的形式,则称当 k¿ 4 时, 9 ① 求点 M 的坐标; ② 求 S△APM.
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