青岛版数学八年级上册重点知识点汇总 第一章 全等三角形 知识导图 重点知识点 要点一、全等三角形的判定与性质 判定 一般三角形 直角三角形 边角边（SAS） 角边角（ASA） 角角边（AAS） 边边边（SSS） 两直角边对应相等 一边一锐角对应相等 斜边、直角边定理（HL） 性质 对应边相等，对应角相等 （其他对应元素也相等，如对应边上的高相等） 备注 判定三角形全等必须有一组对应边相等 要点二、全等三角形的证明思路  找夹角  SAS   已知两边 找直角  HL 找另一边  SSS     边为角的对边  找任一角  AAS   找夹角的另一边  SAS   已知一边一角    边为角的邻边 找夹边的另一角  ASA 找边的对角  AAS       找夹边  ASA 已知两角   找任一边  AAS   要点三、角平分线的性质 1.角的平分线的性质定理 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 2.角的平分线的判定定理 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 1 3.三角形的角平分线 三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等. 4.与角平分线有关的辅助线 在角两边截取相等的线段，构造全等三角形； 在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段. 要点四、全等三角形证明方法 全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、 相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等 三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何 问题.可以适当总结证明方法. 1． 证明线段相等的方法： (1) 证明两条线段所在的两个三角形全等. (2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等. (3) 等式性质. 2． 证明角相等的方法： (1) 利用平行线的性质进行证明. (2) 证明两个角所在的两个三角形全等. (3) 利用角平分线的判定进行证明. (4) 同角（等角）的余角（补角）相等. (5) 对顶角相等. 3． 证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法； 可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明. 4． 辅助线的添加: (1)作公共边可构造全等三角形； (2)倍长中线法； (3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形； (4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形. 5. 证明三角形全等的思维方法: （1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发 现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件. （2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据 图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件. （3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之 出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质. 第二章 图形的轴对称 知识导图 2 重点知识点 要点一、轴对称 1.轴对称图形和轴对称 （1）轴对称图形 如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴 对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一 对对应点所连线段的垂直平分线. （2）轴对称 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两 个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质： ①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形； ②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在 对称轴上. （3）轴对称图形与轴对称的区别和联系 区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴 对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对 3 称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个 整体，那么它就是一个轴对称图形． 2.线段的垂直平分线 垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线． 3.作轴对称图形 （1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再 连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形； （2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段 端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形. 4.用坐标表示轴对称 点（ x , y ）关于 x 轴对称的点的坐标为（ x ,－ y ）；点（ x , y ）关于 y 轴对称的 点的坐标为（－ x , y ）；点（ x , y ）关于原点对称的点的坐标为（－ x ,－ y ）. 要点二、线段、角的轴对称性 1.线段的轴对称性 （1）线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. （2）线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等； （3）线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端距离相等的点在线段的垂直平分 线 2.角的轴对称性 （1）角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴. （2）角平分线上的点到角两边的距离相等. （3）角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 要点三、等腰三角形 1.等腰三角形 （1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形. （2）等腰三角形性质 ①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角” ； ②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三 线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于 45°. （3）等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等 边”）. 2.等边三角形 （1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形. （2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于 60°. （3）等边三角形的判定： ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形. 第三章 分式 知识导图 4 重点知识点 要点一、分式的有关概念及性质 1．分式 一般地，如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 A 叫做分式.其中 A B 叫做分子，B 叫做分母. 要点诠释：分式中的分母表示除数，由于除数不能为 0，所以分式的分母不能为 0，即 当 B≠0 时，分式 A 才有意义. B 2.分式的基本性质 （M 为不等于 0 的整式）. 3．最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 要点二、分式的运算 1．约分 利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样 的分式变形叫做分式的约分. 2．通分 利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分 式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． 3．基本运算法则 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1）加减运算 a b a b   c c c ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. 5 ；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. （2）乘法运算 a c ac   ，其中 a、b、c、d 是整式， bd  0 . b d bd 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. （3）除法运算 a c a d ad     ，其中 a、b、c、d 是整式， bcd  0 . b d b c bc 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘. （4）乘方运算 分式的乘方，把分子、分母分别乘方. 4．零指数 . 5.负整数指数 6.分式的混合运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的. 7.科学记数法 （1）把一个绝对值大于 10 的数表示成 a  10 n 的形式，其中 n 是正整数， 1 | a | 10 （2）利用 10 的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即 a  10 n 的形式，其中 n 是正整 数， 1 | a | 10 .用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法. 要点三、分式方程 1．分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2．分式方程的解法 解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程． 3．分式方程的增根问题 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为 0 的条件，当把分式方程转化为整式方程后， 方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值 为 0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根. 要点诠释：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将 所得的根带入到最简公分母中，看它是否为 0，如果为 0，即为增根，不为 0，就是原方程 的解. 要点四、分式方程的应用 6 列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住 “找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量” 等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解. 第四章 数据分析 重点知识点 要点一、平均数 1.算术平均数 一般地，有 n 个数 x1 , x 2 ,…,x n ，我们把 1 (x1  x 2  …+x n ) 叫做这 n 个数的算术平均 n 数，简称平均数.记作 x （读做“x 拔”）. 要点诠释： （1）平均数表示一组数据的“平均水平”，反映了一组数据的集中趋势. （2）平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任一数据的变动都会引起 平均数的变动，所以平均数容易受到个别特殊值的影响. 2.加权平均数 在一组数据中，数据重复出现的次数 f 叫做这个数据的权.按照这种方法求出的平均数， 叫做加权平均数. 加权平均数的计算公式为：若数据 x1 出现 f1 次， x 2 出现 f 2 次， x 3 出现 f 3 次…… x k 出 现 f k 次，这组数据 的平均数为 x ，则 x = 1 （ f1 x1 + f 2 x 2 + f 3 x 3 +…+ f k x k ）（其中 n n= f1 + f 2 + f 3 +…