冀教版数学八年级上册重点知识点汇总 第十二章 分式和分式方程 知识导图 重点知识点 要点一、分式的有关概念及性质 1．分式 一般地，如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 A 叫做分式.其中 A B 叫做分子，B 叫做分母. 要点诠释：分式中的分母表示除数，由于除数不能为 0，所以分式的分母不能为 0，即 当 B≠0 时，分式 A 才有意义. B 2.分式的基本性质 （M 为不等于 0 的整式）. 3．最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 要点二、分式的运算 1．约分 利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样 的分式变形叫做分式的约分. 2．通分 利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分 式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． 3．基本运算法则 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1）加减运算 1 a b a b   c c c ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. （2）乘法运算 a c ac   ，其中 a、b、c、d 是整式， bd  0 . b d bd 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. （3）除法运算 a c a d ad     ，其中 a、b、c、d 是整式， bcd  0 . b d b c bc 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘. （4）乘方运算 分式的乘方，把分子、分母分别乘方. 4.分式的混合运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的. 要点三、分式方程 1．分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2．分式方程的解法 解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程． 3．分式方程的增根问题 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为 0 的条件，当把分式方程转化为整式方程后， 方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值 为 0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根. 要点诠释：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将 所得的根带入到最简公分母中，看它是否为 0，如果为 0，即为增根，不为 0，就是原方程 的解. 要点四、分式方程的应用 列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住 “找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量” 等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解. 第十三章 全等三角形 重点知识点 判定 一般三角形 直角三角形 边角边（SAS） 两直角边对应相等 2 角边角（ASA） 角角边（AAS） 边边边（SSS） 一边一锐角对应相等 斜边、直角边定理（HL） 性质 对应边相等，对应角相等 （其他对应元素也相等，如对应边上的高相等） 备注 判定三角形全等必须有一组对应边相等 要点一、全等三角形的判 定与性质 要点二、全等三角形的证明思路  找夹角  SAS   已知两边 找直角  HL 找另一边  SSS     边为角的对边  找任一角  AAS   找夹角的另一边  SAS   已知一边一角    边为角的邻边 找夹边的另一角  ASA 找边的对角  AAS       找夹边  ASA 已知两角   找任一边  AAS   要点三、角平分线的性质 1.角的平分线的性质定理 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 2.角的平分线的判定定理 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 3.三角形的角平分线 三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等. 4.与角平分线有关的辅助线 在角两边截取相等的线段，构造全等三角形； 在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段. 要点四、全等三角形证明方法 全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、 相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等 三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何 问题.可以适当总结证明方法. 1． 证明线段相等的方法： (1) 证明两条线段所在的两个三角形全等. (2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等. (3) 等式性质. 3 2． 证明角相等的方法： (1) 利用平行线的性质进行证明. (2) 证明两个角所在的两个三角形全等. (3) 利用角平分线的判定进行证明. (4) 同角（等角）的余角（补角）相等. (5) 对顶角相等. 3． 证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法； 可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明. 4． 辅助线的添加: (1)作公共边可构造全等三角形； (2)倍长中线法； (3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形； (4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形. 5. 证明三角形全等的思维方法: （1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发 现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件. （2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据 图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件. （3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之 出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质. 第十四章 实数 知识导图 重点知识点 【高清课堂：389318 实数复习，知识要点】 要点一：平方根和立方根 类型 项目 平方根 立方根 4 被开方数 非负数 符号表示  a 性质 重要结论 任意实数 3 a 一个正数有两个平方根， 且互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零； ( a ) 2  a ( a  0) (3 a ) 3  a  a ( a  0) a2  a     a ( a  0) 3 a3  a 3  a  3 a 要点二：实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 ①按定义分： 有理数：有限小数或无限循环小数 实数  无理数：无限不循环小数 ②按与 0 的大小关系分：  正有理数 正数  正无理数   实数 0  负数 负有理数  负无理数 要点诠释： （1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小 数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数． 3 （2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如 5 ， 2 等；②有特殊意义的数， 如π； ③有特定结构的数，如 0.1010010001… （3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. （4）实数和数轴上点是一一对应的. 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之 对应. 3.三类具有非负性的实数 在实数范围内，正数和零统称为非负数.我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数 a 的绝对值是非负数，即| a |≥0； （2）任何一个实数 a 的平方是非负数，即 a ≥0； 2 （3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 a  0 ( a  0 ). 5 非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值——零； （2）有限个非负数之和仍是非负数； （3）几个非负数之和等于 0，则每个非负数都等于 0. 4.实数的运算 数 a 的相反数是－ a ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反 数；0 的绝对值是 0. 有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、 开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较 有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立. （1）实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大； （2）正数大于 0，0 大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小； （3）两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 要点三、近似数及精确度 1.近似数 接近准确值而不等于准确值的数，叫做这个精确数的近似数或近似值. 一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入. 2.精确度 近似数中，四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个 近似数的精确度. 要点诠释： （1）精确度是指近似数与准确数的接近程度. （2）精确度一般用“精确到哪一位”的形式的来表示，一般来说精确到哪一位表示误差 绝对值的大小，例如精确到 0.1 米，说明结果与实际数相差不超过 0.05 米. 第十五章 二次根式 知识导图 6 重点知识点 要点一、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式 形如 a (a  0) 的式子叫做二次根式，如 3, 1 , 0.02, 0 等式子，都叫做二 2 次根式. 要点诠释：二次根式 a 有意义的条件是 a  0 ，即只有被开方数 a  0 时，式子 a 才是二次根式， a 才有意义. 2.二次根式的性质 （1） ； （2） ； （3） . 要点诠释：（1） 一个非负数 a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即 1 1 a  ( a ) 2 （ a  0 ），如 2  ( 2) 2 ;  ( ) 2 ; x  ( x ) 2 （ x  0 ）. 3 3 （2） a 2 中 a 的取值范围可以是任意实数，即不论 a 取何值， a 2 一定有意义. 2 （3）化简 a 时，先将它化成 a ，再根据绝对值的意义来进行化简. 2 2 （4） a 与 ( a ) 的异同 2 2 不同点： a 中 a 可以取任何实数，而 ( a ) 中的 a 必须取非负数； a 2 = a ， ( a ) 2 = a （ a  0 ）. 2 2 相同点：被开方数都是非负数，当 a 取非负数时， a = ( a )