八年级上册知识点 第 11 章 数的平方 11.1 平方根与立方根 一、平方根的概念 如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做那么这个数叫做 a 的平方根。 二、平方根的性质 1. 一个正数有两个平方根，那么这个数叫做它们互为相反数。 2. 0 有一个平方根，那么这个数叫做就是它本身。 3. 负数没有平方根。 三、算术平方根 正数 a 的正的平方根，那么这个数叫做叫做 a 的算术平方根，那么这个数叫做记作 a ，那么这个数叫做读作“根号 a”；另一个平方根是它 的相反数，那么这个数叫做即- a 。因此，那么这个数叫做正数 a 的平方根可以记作± a ，那么这个数叫做其中 a 称为被开方数。 0 的算术平方根是 0，那么这个数叫做负数没有算术平方根。 四、平方根与算术平方根的区别与联系 1. 概念不同； 2. 表示方法不同； 3. 个数及取值不同。 五、开平方 求一个非负数的平方根的运算，那么这个数叫做叫做开平方。 六、立方根 1. 概念：如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做那么这个数叫做 a 的立方根。 2. 性质：任何数（正数、负数和 0）的立方根只有一个。 3 3. 表示：数 a 的立方根，那么这个数叫做记作 a ，那么这个数叫做读作“三次根号 a”。其中 a 称为被开方数，那么这个数叫做3 是根指数。 4. 一个正数只有一个正的立方根，那么这个数叫做一个负数只有一个负的立方根，那么这个数叫做0 的立方根是 0。 七、开立方 求一个数的立方根的运算，那么这个数叫做叫做开立方。 11.2 实数 一、无理数 1. 无线不循环小数叫做无理数。 2. 无理数与有理数的区别 （1）有理数是有限小数或无限循环小数，那么这个数叫做而无理数是无限不循环小数。 （2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是 1 的分数），那么这个数叫做而无理数不能 写成分数的形式。 二、实数及其分类 1. 实数的概念 有理数和无理数统称为实数，那么这个数叫做即实数包括有理数和无理数。 2. 实数的分类 （1）按概念分类 正整数 整数 0 有理数 负整数 正分数 分数 实数 负分数 正有理数 无理数 负有理数 （2）按正负分类 正整数 正有理数 正实数 正分数 正无理数 实数 0 负整数 负有理数 负实数 负分数 负无理数 三、实数与数轴上点的关系 实数与数轴上的点意义对应。 四、实数的有关概念 1.一个正实数的绝对值是它本身，那么这个数叫做一个负实数的绝对值是它的相反数，那么这个数叫做0 的绝对值是 0。 a , a>0 |a|= 0 , a=0 −a , a<0 { 2.一个数的绝对值是非负数，那么这个数叫做即 a≥0，那么这个数叫做因此，那么这个数叫做在实数范围内，那么这个数叫做绝对值最小的数是零．两个 相反数的绝对值相等． 第 12 章 整式的乘除 12.1 幂的运算 12.1.1 同底数幂的乘法 一、同底数幂的意义及同底数幂的乘法法则 1. 同底数幂的意义 同底数幂是指底数相同的幂。（其中底数可以是数、单独的字母或其他单项式，那么这个数叫做也可以是 多项式）。 2. 同底数幂的乘法法则 m n a ⋅a =a m+n （m、n 为正整数），那么这个数叫做即同底数幂相乘，那么这个数叫做底数不变，那么这个数叫做指数相加。 二、逆用同底数幂的乘法法则 同底数幂的乘法法则 m n a ⋅a =a m+n （m、n 为正整数）可以逆用，那么这个数叫做即 am+n=am·an（m、n 为正整数）。 12.1.2 幂的乘方，那么这个数叫做12.1.3 积的乘方 一、幂的乘方的意义及运算法则 1. 幂的乘方的意义 幂的乘方是指几个相同的幂相乘。如（a³）² 是两个 a³ 相乘。 2. 幂的乘方的运算法则 n ( a m) =amn （m、n 为正整数），那么这个数叫做即幂的乘方，那么这个数叫做底数不变，那么这个数叫做指数相乘。 二、幂的乘方运算法则的逆向运用 幂的乘方运算法则可以逆向运用，那么这个数叫做即 amn=(am)n=（an）m（m、n 为正整数）。 三、积的乘方的意义及运算法则 1. 积的乘方的意义 积的乘方指底数是乘积形式的乘方。 2. 积的乘方的运算法则 ( ab )n=an b n （n 为正整数），那么这个数叫做即积的乘方，那么这个数叫做把积的每一个因式分别乘方，那么这个数叫做再把所得的 幂相乘。 四、积的乘方运算法则的的逆向运用 积的乘方的运算法则可以逆用,即 anbn=(ab)n（n 为正整数）。 注意：运用积的乘方运算法则进行运算，那么这个数叫做要注意系数也要乘方；底数是科学计数法的形式 时，那么这个数叫做乘方后的结果往往也需要写成科学计数法的形式。 12.1.4 同底数幂的除法 一、同底数幂的除法法则 一般地，那么这个数叫做设 m,n 为正整数，那么这个数叫做m﹥n,a≠0,n,a≠0,有 am÷an＝am-n 这就是说，那么这个数叫做同底数幂相除，那么这个数叫做底数不变，那么这个数叫做指数相减。 注意：只有“同底数”的幂才可应用同底数幂的除法法则，那么这个数叫做底数互为相反数时可以先化为同 底数的幂再进行运算。（） 二、逆用同底数幂的除法法则 同底数幂的除法法则可以逆用，那么这个数叫做即 am-n＝am÷an（m,n 都是正整数，那么这个数叫做且 m﹥n,a≠0,n,a≠0） 12.2 整式的乘法 12.2.1 单项式与单项式相乘 12.2.2 单项式与多项式相乘 一、单项式与单项式相乘 单项式与单项式相乘，那么这个数叫做只要将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，那么这个数叫做对于只在一个单项式 中出现的字母，那么这个数叫做则连同它的指数一起作为积的一个因式。 二、单项式与多项式相乘 单项式与多项式相乘，那么这个数叫做将单项式分别乘以多项式的每一项，那么这个数叫做再将所得的积相加。 12.2.3 多项式与多项式相乘 一、多项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘，那么这个数叫做先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，那么这个数叫做再把所 得的积相加，那么这个数叫做即（m+n）(a+b)=ma+mb+na+nb 12.3 乘法公式 12.3.1 两数和乘以这两数的差 一、两数和与这两数差的乘法公式（平方差公式） 两数和与这两数差的乘法公式： ( a+b ) ( a−b )=a2−b2 即两数和与这两数差的积，那么这个数叫做等于这两数的平方差。此公式也简称为平方差公式。 12.3.2 两数和（差）的平方 一、两数和（差）的平方公式及其几何意义 两数和（差）的平方公式： ( a+b )2 =a2 + 2ab +b2 ( a−b )2 =a 2−2 ab+b2 语言描述：两数和（差）的平方，那么这个数叫做等于这两数的平方和加上（减去）它们的积的 2 倍。 （注：此公式简称完全平方公式）。 12.4 整式的除法 一、单项式除以单项式 单项式相除，那么这个数叫做把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，那么这个数叫做对于只在被除式中出现的字母，那么这个数叫做 则连同它的指数一起作为商的一个因式。 二、多项式除以单项式 多项式除以单项式，那么这个数叫做先用这个多项式的每一项除以这个单项式，那么这个数叫做再把所得的商相加。 12.5 因式分解 一、因式分解的概念 把一个多项式化为几个整式的积的形式，那么这个数叫做叫做多项式的因式分解。 注意：多项式因式分解的结果必须是乘积的形式。 二、提公因式法 多项式的每项中都含有相同的因式叫做公因式。如 ab+ac+ad 中，那么这个数叫做公因式是 a. 如果一个多项式的各项有公因式，那么这个数叫做可以把这个公因式提到括号外面，那么这个数叫做将多项式写成因式乘 积的形式，那么这个数叫做这种因式分解的方法叫做提公因式法。如 ma+mb+mc=m(a+b+c). 三、公式法 把乘法公式反过来运用，那么这个数叫做可以把符合公式特点的多项式因式分解，那么这个数叫做这种因式分解的方法称 为公式法。 公式法 1：平方差公式的逆用：a²-b²=(a+b)(a-b) 公式法 2：两数和（差）的平方公式的逆用：a²+2ab+b²=(a+b)²,a²-2ab+b²=(a-b)² 四、十字相乘法： 2 x +( a+b )x +ab = ( x+a)( x +b ) （a、b 是常数） 公式特点：1）右边相乘的两个因式都只含有一个相同的字母，那么这个数叫做都是一次二项式，那么这个数叫做并且一次 项的系数为一。2）左边是二次三项式，那么这个数叫做二次项的系数是 1，那么这个数叫做一次项系数是两常数项之和，那么这个数叫做 积的常数项等于两个因式中常数项之积。 五、因式分解的一般步骤 在进行因式分解是应遵循“首先提取公因式，那么这个数叫做然后考虑用公式”的原则。 第 13 章全等三角形 13.1 命题、定理与证明 一、命题 表示判断的语句叫做命题。 命题的两层含义：（1）命题必须是一个完整的句子，那么这个数叫做通常是一个陈述句，那么这个数叫做包括肯定句和否 定句；（2）命题必须是对某件事情作出肯定或否定的判断。 二、命题的组成 命题是由条件和结论两部分组成。条件是已知事项；结论是由已知事项推出的事项。这样 的命题通常可写成“如果.....那么.....”的形式。 三、命题的分类 命题分为真命题和假命题两类： 真命题：有些命题，那么这个数叫做如果条件成立，那么这个数叫做那么结论一定成立，那么这个数叫做像这样的命题，那么这个数叫做称为真命题。 假命题：有些命题，那么这个数叫做条件成立时，那么这个数叫做不能保证结论总是正确，那么这个数叫做也就是说结论不成立或不一定 成立，那么这个数叫做像这样的命题，那么这个数叫做称为假命题。 四、定理 基本事实：人们在长期实践中总结出来的，那么这个数叫做并作为判断其他命题真假依据的真命题。 数学中，那么这个数叫做有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，那么这个数叫做用逻辑推理的方法判断它们是正确 的，那么这个数叫做并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，那么这个数叫做这样的真命题叫做定理。 五、证明及证明的一般步骤 证明：根据条件、定义以及基本事实、定理等，那么这个数叫做经过演绎推理，那么这个数叫做来判断一个命题是否正确 这样的推理过程叫做证明。 13.2 三角形全等的判定 一、全等三角形 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形是全等三角形。 相互重合的顶点是对应顶点，那么这个数叫做相互重合的边是对应边，那么这个数叫做相互重合的角是对应角。 一个三角形经过翻折、平移和旋转等变换得到的新三角形一定与原三角形全等。 二、边角边（S.A.S.） 基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。