勾股定理（提高） 【巩固练习】 一．选择题 1．如图，△ABC 中，D 为 AB 中点，E 在 AC 上，且 BE⊥AC．若 DE=10，AE=16，则 BE 的长度为（ ） A．10 B．11 C．12 D．13 2. （2016•漳州）如图，△ABC 中，AB=AC=5,BC=8，D 是线段 BC 上的动点（不含 端点 B、C）.若线段 AD 长为正整数，则点 D 的个数共有（ ） A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个 3．如图，长方形 AOBC 中，AO=8，BD=3，若将矩形沿直线 AD 折叠，则顶点 C 恰好 落在边 OB 上 E 处，那么图中阴影部分的面积为（ ） A.30 B．32 C．34 D．16 4．如图，已知△ABC 中，∠ABC＝90°,AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线 l1 ， l2 ， l3 上，且 l1 ， l2 之间的距离为 2 , l2 ， l3 之间的距离为 3 ,则 AC 2 的值是（ ） A．68 B．20 C．32 D．47 5．在△ABC 中，AB＝15，AC＝13，高 AD＝12,则△ABC 的周长为（ A．42 B．32 C．42 或 32 D．37 或 33 ） 6．（2015•烟台）如图，正方形 ABCD 的边长为 2，其面积标记为 S1，以 CD 为斜边作等 腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 S2， …按照此规律继续下去，则按照此规律继续下去，则 S2015 的值为（ ）   A．  2   2    2012   B．  2   2    2013 C．  1     2 2012 D．  1  2013    2 二．填空题 7．若一个直角三角形的两边长分别为 12 和 5，则此三角形的第三边的平方为______． 8． 将一根长为 15cm 的很细的木棒置于底面直径为 5cm，高为 12cm 的圆柱形杯中， 木棒露在杯子外面的部分长度 x 的范围是 ． 9．如图，在 55 的正方形网格中，以 AB 为边画直角△ABC，使点 C 在格点上，这样的 点C共 个． 10．（2016•黄冈校级自助招生）如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正 方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是 13，小正方形的面积是 1，直角三 角形较短的直角边长为 a，较长的直角边长为 b，那么（a+b）2 的值是 _________ ． 11．已知长方形 ABCD，AB＝3 cm ，AD＝4 cm ，过对角线 BD 的中点 O 做 BD 的垂直 平分线 EF，分别交 AD、BC 于点 E、F，则 AE 的长为_______________． 12．（2015 春•召陵区期中）如图，在四边形•召陵区期中）如图，在四边形 ABCD 中， AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，那么四边形 ABCD 的面积是 ． 三．解答题 13．（2015•青岛模拟）如图，∠MON=90°，矩形 ABCD 的顶点 A、B 分别在边 OM，ON 上，当 B 在边 ON 上运动时，A 随之在边 OM 上运动，矩形 ABCD 的形状保持不变，其 中 AB=2，BC=1，求运动过程中，点 D 到点 O 的最大距离． 14．现有 10 个边长为 1 的正方形，排列形式如左下图, 请把它们分割后拼接成一个新的 正方形．要求： 在左下图中用实线画出分割线, 并在右下图的正方形网格图（图中每 个小正方形的边长均为 1）中用实线画出拼接成的新正方形． 15．由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭．近日，A 城气 象局测得沙尘暴中心在 A 城的正西方向 240km 的 B 处，以每时 12km 的速度向北偏 东 60°方向移动，距沙尘暴中心 150km 的范围为受影响区域． （1）A 城是否受到这次沙尘暴的影响？为什么？ （2）若 A 城受这次沙尘暴影响，那么遭受影响的时间有多长？ 【答案与解析】 一．选择题 1. 【答案】C 【 解 析 】 ∵ BE⊥AC ， ∴ △ AEB 是 直 角 三 角 形 ， ∵ D 为 AB 中 点 ， DE=10，∴AB=20，∵AE=16， BE 2  AB 2  AE 2 144 ,所以 BE=12. 2. 【答案】C 【解析】过点 A 作 AE⊥BC,则由勾股定理得 AE=3，点 D 是线段 BC 上的动点（不含 端点 B、C）.所以 3≤AD＜5，AD=3 或 4，共有 3 个符合条件的点. 3．【答案】A 【 解 析 】 由 题 意 CD ＝ DE ＝ 5 ， BE ＝ 4 ， 设 OE ＝ x ， AE ＝ AC ＝ x  4 ， 所 以 1 1 2 82  x 2  x  4  ， x 6 ，阴影部分面积为 6 8  4 3 30 ． 2 2 4．【答案】A 【解析】如图，分别作 CD⊥ 交 于点 E，作 AF⊥ ，则可证△AFB≌△BDC，则 AF l3 l2 l3 ＝3＝BD, BF＝CD＝2＋3＝5，∴DF＝5＋3＝8＝AE，在直角△AEC 中，勾股定理得 ． 2 2 2 AC 8 +2 =68 5．【答案】C 【解析】高在△ABC 内部，第三边长为 14；高在△ABC 外部，第三边长为 4，故选 C． 6．【答案】C 【解析】解：根据题意：第一个正方形的边长为 2； 第二个正方形的边长为： 第三个正方形的边长为： ； ， …按照此规律继续下去，则 第 n 个正方形的边长是 ， 所以 S2015 的值是（ ）2012， 故选 C. 二．填空题 7．【答案】169 或 119； 【解析】没有指明这两边为直角边，所以要分类讨论，12 也可能是斜边． 8．【答案】2cm≤x≤3cm； 【解析】由题意可知 BC=5cm，AC=12cm，AB=13cm．当木棒垂直于底面时露在 杯子外面的部分长度最长为，15-AC=15-12=3cmAC=15-AC=15-12=3cm12=3cm，当木棒与 AB 重合时露在杯子外面的 部分长度最短为 15-AC=15-12=3cmAB=15-AC=15-12=3cm13=2cm. 9．【答案】8； 【解析】如图所示：有 8 个点满足要求． 10．【答案】25； 【解析】根据题意，结合勾股定理 a2+b2=13，四个三角形的面积=4× ab=13﹣ 1，∴2ab=12，联立解得：（a+b）2=13+12=25． 11．【答案】 7 cm ； 8 2 7 8 【解析】连接 BE，设 AE＝ x ，BE＝DE＝ 4  x ，则 32  x 2  4  x  ， x  ． 12．【答案】36. 【解析】解：∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4， ∴AC= = =5， 在△ACD 中，AC2+CD2=25+144=169=AD2， ∴△ACD 是直角三角形， ∴S 四边形 ABCD= AB•BC+ AC•CD = ×3×4+ ×5×12 =36． 故答案是：36． 三．解答题 13．【解析】解：如图，取 AB 的中点 E，连接 OE、DE、OD， ∵OD≤OE+DE， ∴当 O、D、E 三点共线时，点 D 到点 O 的距离最大， 此时，∵AB=2，BC=1， ∴OE=AE= AB=1， DE= = ∴OD 的最大值为： = ， +1． 14．【解析】 解：如图所示： 15．【解析】 解：（1）过点 A 作 AC⊥BM，垂足为 C， 在 Rt△ABC 中，由题意可知∠CBA=30°， ∴AC= 1 1 AB= ×240=120， 2 2 ∵AC=120＜150， ∴A 城将受这次沙尘暴的影响. （2）设点 E，F 是以 A 为圆心，150km 为半径的圆与 MB 的交点，连接 AE，AF， 由题意得, CE 2  AE 2  AC 2 1502  1202 8100 ∴EF=2CE=2×90=180 180÷12=15（小时） ∴A 城受沙尘暴影响的时间为 15 小时. ，CE=90