北师大版八年级数学上册知识点 第一章 勾股定理 1.勾股定理 直角三角形两直角边 a，b 的平方和等于斜边 c 的平方，即 a 2  b 2  c 2 2.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a，b，c 有关系 a 2  b 2  c 2 ，那么这个三角形是直角三角形。 3.勾股数：满足 a 2  b 2  c 2 的三个正整数，称为勾股数。 第二章 实数 一、实数的概念及分类 1.实数的分类 正有理数 有理数 实数 零 有限小数和无限循环小数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2.无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： (1)开方开不尽的数，如 7 , 3 2 等； π (2)有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如 +8 等； 3 (3)有特定结构的数，如 0.1010010001…等； 第 1 页 共 13 页 (4)某些三角函数值，如 sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1.相反数 实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反 数是零)，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果 a 与 b 互为相反数，则有 a+b=0，a= —b，反之亦成立。 2.绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。(|a|≥0)。零的 绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则 a≥0；若|a|= -a，则 a≤0。 3.倒数 如果 a 与 b 互为倒数，则有 ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是 1 和-1。零 没有倒数。 4.数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时，要注意上述规定的 三要素缺一不可)。 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵 活运用。 5.估算 三、平方根、算数平方根和立方根 1.算术平方根：一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2=a，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根。特别地，0 的算术平方根是 0。 表示方法：记作“ a ”，读作根号 a。 第 2 页 共 13 页 性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 2.平方根：一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2=a，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根(或二次方根)。 表示方法：正数 a 的平方根记做“  a ”，读作“正、负根号 a”。 性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平 方根。 开平方：求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。 a 0 注意 a 的双重非负性： a 0 3.立方根 一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 x3=a 那么这个数 x 就叫做 a 的立方根(或 三次方根)。表示方法：记作 3 a 性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是 零。 注意： 3  a  3 a ，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 四、实数大小的比较 1.实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个 点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。 2.实数大小比较的几种常用方法 (1)数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 (2)求差比较：设 a、b 是实数， 第 3 页 共 13 页 a  b  0  a  b, a  b  0  a  b, a b  0  a  b a a a (3)求商比较法：设 a、b 是两正实数，  1  a  b;  1  a  b;  1  a  b; b b b (4)绝对值比较法：设 a、b 是两负实数，则 a  b  a  b 。 (5)平方法：设 a、b 是两负实数，则 a 2  b 2  a  b 。 五、算术平方根有关计算(二次根式) 1.含有二次根号“ ”；被开方数 a 必须是非负数。 2.性质： (1) ( a ) 2  a ( a  0) a (a  0) (2) a 2  a   a (a  0) (3) ab  a  b (a  0, b  0) ( a  b  ab (a  0, b  0) ) (4) a a  (a  0, b  0) b b ( a b  a (a  0, b  0) ) b 3.运算结果若含有“ a ”形式，必须满足：(1)被开方数的因数是整数，因式是整 式；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 六、实数的运算 (1)六种运算：加、减、乘、除、乘方、开方 (2)实数的运算顺序 先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。 (3)运算律 第 4 页 共 13 页 加法交换律 ab ba 加法结合律 (a  b)  c  a  (b  c) 乘法交换律 ab  ba 乘法结合律 (ab )c  a (bc ) 乘法对加法的分配律 a (b  c )  ab  ac 第三章 位置与坐标 一、 在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据。 二、平面直角坐标系及有关概念 1.平面直角坐标系 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。其中，水 平的数轴叫做 x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴，取向 上为正方向；x 轴和 y 轴统称坐标轴。它们的公共原点 O 称为直角坐标系的原点； 建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。 2.为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被 x 轴和 y 轴分割而成的四个 部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意：x 轴和 y 轴上的点(坐标轴上的点)，不属于任何一个象限。 3.点的坐标的概念 对于平面内任意一点 P，过点 P 分别 x 轴、y 轴向作垂线，垂足在上 x 轴、y 轴 对应的数 a，b 分别叫做点 P 的横坐标、纵坐标，有序数对(a，b)叫做点 P 的坐 标。 点的坐标用(a，b)表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开， 横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当 a  b 时，(a，b) 第 5 页 共 13 页 和(b，a)是两个不同点的坐标。 平面内点的与有序实数对是一一对应的。 4.不同位置的点的坐标的特征 (1)各象限内点的坐标的特征 点 P(x，y)在第一象限  x  0, y  0 点 P(x，y)在第二象限  x  0, y  0 点 P(x，y)在第三象限  x  0, y  0 点 P(x，y)在第四象限  x  0, y  0 (2)坐标轴上的点的特征 点 P(x，y)在 x 轴上  y  0 ，x 为任意实数 点 P(x，y)在 y 轴上  x  0 ，y 为任意实数 点 P(x，y)既在 x 轴上，又在 y 轴上  x，y 同时为零，即点 P 坐标为(0，0)即原 点 (3)两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点 P(x，y)在第一、三象限夹角平分线(直线 y=x)上  x 与 y 相等 点 P(x，y)在第二、四象限夹角平分线上  x 与 y 互为相反数 (4)和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于 x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于 y 轴的直线上的各点的横坐标相同。 (5)关于 x 轴、y 轴或原点对称的点的坐标的特征 点 P 与点 P’关于 x 轴对称  横坐标相等，纵坐标互为相反数，即点 P(x，y)关于 x 轴的对称点为 P’(x，-y) 第 6 页 共 13 页 点 P 与点 P’关于 y 轴对称  纵坐标相等，横坐标互为相反数，即点 P(x，y)关于 y 轴的对称点为 P’(-x，y) 点 P 与点 P’关于原点对称  横、纵坐标均互为相反数，即点 P(x，y)关于原点的 对称点为 P’(-x，-y) (6)点到坐标轴及原点的距离 点 P(x，y)到坐标轴及原点的距离： ①点 P(x，y)到 x 轴的距离等于 y ②点 P(x，y)到 y 轴的距离等于 x ③点 P(x，y)到原点的距离等于 x 2  y 2 三、坐标变化与图形变化的规律： 坐标( x ， y )的变化 图形的变化 x×a或 y×a 被横向或纵向拉长(压缩)为原来的 a 倍 x × a， y × a 放大(缩小)为原来的 a 倍 x ×( -1)或 y ×( -1) 关于 y 轴或 x 轴对称 x ×( -1)， y ×( -1) 关于原点成中心对称 x +a 或 y+ a x +a，y+ a 沿 x 轴或 y 轴平移 a 个单位 沿 x 轴平移 a 个单位，再沿 y 轴平移 a 个单位 第四章 一次函数 一、函数： 一般地，在某一变化过程中有两个变量 x 与 y，如果给定一个 x 值，相应地就确 定了一个 y 值，那么我们称 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量，y 是因变量。 二、自变量取值范围 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。一般从整式(取 第 7 页 共 13 页 全体实数)，分式(分母不为 0)、二次根式(被开方数为非负数)、实际意义几方面 考虑。 k 的符 号 b 的符 号 函数图像 图像特征 y b>0 k>0 0 图像经过一、二、三象限， y 随 x 的增大而增大。 x y b<0 0 x 图像经过一、三、四象限， y 随 x 的增大而增大。 y b>0 x K<0 图像经过一、二、四象限， y 随 x 的增大而减小 y b<0 0 x 图像经过二、三、四 象限，y 随 x 的增大而减小。 注：当 b=0 时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。 三、函数的三种表示法及其优缺点 (1)关系式(解析)法 第 8 页 共 13 页 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式 表示，这种表示法叫做关系式(解析)法。 (2)列表法 把自变量 x 的一系列值和函数 y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示 法叫做列表法。 (3)图象法 用图象表示函数关系的方法叫做图象法。 四、由函数关系式画其图像的一般步骤 (1)列表：列表给出自变量与函数的一些对应值 (2)描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点 (3)连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点