北京版数学八年级上册重点知识点汇总 第十章 分式 知识导图 重点知识点 知识点一、分式的有关概念及性质 1．分式 一般地，如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 A 叫做分式.其中 A B 叫做分子，B 叫做分母. 知识点诠释：分式中的分母表示除数，由于除数不能为 0，所以分式的分母不能为 0， 即当 B≠0 时，分式 A 才有意义. B 2.分式的基本性质 （M 为不等于 0 的整式）. 3．最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 知识点二、分式的运算 1．约分 利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样 的分式变形叫做分式的约分. 2．通分 利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分 式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． 3．基本运算法则 1 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1）加减运算 a b a b   c c c ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. （2）乘法运算 a c ac   ，其中 a、b、c、d 是整式， bd  0 . b d bd 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. （3）除法运算 a c a d ad     ，其中 a、b、c、d 是整式， bcd  0 . b d b c bc 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘. （4）乘方运算 分式的乘方，把分子、分母分别乘方. 4．零指数 . 5.负整数指数 6.分式的混合运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的. 7.科学记数法 （1）把一个绝对值大于 10 的数表示成 a  10 n 的形式，其中 n 是正整数， 1 | a | 10 （2）利用 10 的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即 a  10 n 的形式，其中 n 是正整 数， 1 | a | 10 .用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法. 知识点三、分式方程 1．分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2．分式方程的解法 解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程． 3．分式方程的增根问题 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为 0 的条件，当把分式方程转化为整式方程后， 方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值 2 为 0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根. 知识点诠释：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是 将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为 0，如果为 0，即为增根，不为 0，就是原方 程的解. 知识点四、分式方程的应用 列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住 “找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量” 等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解. 第十一章 实数和二次根式 知识导图 重点知识点 知识点一、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式 形如 a (a  0) 的式子叫做二次根式，如 3, 1 , 0.02, 0 等式子，都叫做二 2 次根式. 知识点诠释：二次根式 a 有意义的条件是 a  0 ，即只有被开方数 a  0 时，式 子 a 才是二次根式， a 才有意义. 2.二次根式的性质 （1） （2） （3） ； ； . 3 知识点诠释：（1） 一个非负数 a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即 1 1 a  ( a ) 2 （ a  0 ），如 2  ( 2) 2 ;  ( ) 2 ; x  ( x ) 2 （ x  0 ）. 3 3 （2） a 2 中 a 的取值范围可以是任意实数，即不论 a 取何值， a 2 一定有意义. 2 （3）化简 a 时，先将它化成 a ，再根据绝对值的意义来进行化简. 2 2 （4） a 与 ( a ) 的异同 2 2 不同点： a 中 a 可以取任何实数，而 ( a ) 中的 a 必须取非负数； a 2 = a ， ( a ) 2 = a （ a  0 ）. 2 2 相同点：被开方数都是非负数，当 a 取非负数时， a = ( a ) . 3. 最简二次根式 （1）被开方数是整数或整式； （2)被开方数中不含能开方的因数或因式. 2 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如 2, ab ,3 x , a  b 2 等都是最简二次根式. 知识点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方 数中每个因式的指数都小于根指数 2. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类 二次根式. 知识点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开 方数是否相同，再判断.如 2 与 8 ，由于 8 = 2 2 ， 2 与 8 显然是同类二 次根式. 知识点二、二次根式的运算 1. 乘除法 （1）乘除法法则： 类型 二次根式的乘法 法则 逆用法则 积的算术平方根化简公式： a  b  ab (a  0, b  0) ab  a  b (a  0, b  0) 商的算术平方根化简公式： 二次根式的除法 a b = a ( a  0, b  0) b a a  (a  0, b  0) b b 知识点诠释： （1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的 4 法则，如 a b  c d  ac bd . （2）被开方数 a、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如 (4)  (9)  4  9 . 2.加减法 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数 和根指数不变，即合并同类二次根式. 知识点诠释： 二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二 次根式，最后合并同类二次根式.如 2  3 2  5 2  (1  3  5) 2   2 . 第十二章 三角形 知识导图 重点知识点 知识点一、三角形的内角和 三角形内角和定理：三角形的内角和为 180°． 知识点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 知识点二、三角形的分类 【高清课堂：与三角形有关的线段 1.按角分类： 三角形的分类】 5 直角三角形  三角形  锐角三角形 斜三角形 钝角三角形   知识点诠释： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 2.按边分类： 不等边三角形  三角形  底边和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形   知识点诠释： ①不等边三角形：三边都不相等的三角形； ②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边 叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ③等边三角形：三边都相等的三角形. 知识点三、三角形的三边关系 1.定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边. 知识点诠释： （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长 线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长， 可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系． 2.三角形的重要线段： 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，这点称为三角形的重心． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内； 直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外. 知识点四、全等三角形的性质与判定 1.全等三角形的性质 全等三角形对应边相等，对应角相等. 2.全等三角形的判定定理 全等三角形判定 1——“边边边” ：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边 边边”或“SSS” ）. “ 全等三角形判定 2——“角边角”：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可 以简写成“角边角”或“ASA” ）. 全等三角形判定 3——“角角边”：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形 全等（可以简写成“角角边”或“AAS” ） 全等三角形判定 4—— “边角边”：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可 以简写成“边角边”或“SAS” ）. 6 知识点诠释： （1）如何选择三角形证全等，可以从求证出发，看求证的线段或角（用等 量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 知识点五、用尺规作三角形 1.基本作图 利用尺规作图作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角，并利用全等三角形的知 识作一个三角形与已知三角形全等； 知识点诠释：要熟练掌握直尺和圆规在作图中的正确应用，对于作图要用正确语言来进 行表达. 第十三章 事件与可能性 重点知识点 知识点一、必然事件、不可能事件和随机事件 1.定义： （1）必然事件 在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做必然事件． （2）不可能事件 在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件． （3）随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件. 知识点诠释： 1.必然发生的事件和不可能发生的事件均为“确定事件” ，随机事件又称为“不确定事 件” ； 2.要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件 发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大 有小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同. 知识点二、概率的意义 概率是从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.一般地，在大量重复试 验中，如果事件 A 发生的频率 会稳定在某个常数 件 A